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Vidéo de la leçon : Opérations sur les événements Mathématiques

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment déterminer les probabilités de l'intersection et de l'union des évènements.

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Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment déterminer les probabilités de l'intersection et de l'union des évènements Commençons par présenter la définition de la réunion et de l’intersection d’événements et comment elles peuvent être représentées sur un diagramme de Venn.

L’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴 inter 𝐵, est l’ensemble de toutes les issues qui appartiennent à la fois à l’ensemble 𝐴 et à l’ensemble 𝐵. En d’autres termes, 𝐴 inter 𝐵 est l’événement où les événements 𝐴 et 𝐵 se produisent tous les deux. Il peut être représenté sur un diagramme de Venn, comme ceci. On hache la région qui est dans le cercle 𝐴 et dans le cercle 𝐵. La réunion des événements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴 union 𝐵, est l’ensemble de toutes les issues qui appartiennent à l’ensemble 𝐴, à l’ensemble 𝐵 ou aux deux. Cela signifie que 𝐴 union 𝐵 est l’événement où 𝐴 se produit, 𝐵 se produit, ou les deux se produisent. On peut représenter 𝐴 union 𝐵 sur un diagramme de Venn en hachant tout le cercle 𝐴 et tout le cercle 𝐵. On va maintenant étudier quelques exemples où on peut utiliser des diagrammes de Venn pour calculer la probabilité de l’intersection et de la réunion d’événements.

Le diagramme ci-dessous représente l’univers Ω et les événements 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Calculez la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.

On rappelle que l’intersection de deux événements 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble des issues qui appartiennent à l’événement 𝐴 et à l’événement 𝐵. Sur un diagramme de Venn, elle est représentée par la zone de coïncidence entre le cercle 𝐴 et le cercle 𝐵. On peut voir sur le diagramme de Venn que l’univers Ω contient les nombres quatre, six, huit, 16, 18 et 19. Il y a donc un total de six issues. Parmi ces six issues, une seule apparaît dans l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, il s’agit du nombre six. On sait alors que la probabilité qu’un événement se produise est égale au nombre d’issues de l’événement sur le nombre total d’issues. Cela signifie que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à un sur six. Il y a une chance sur six de sélectionner une issue qui se trouve dans l’événement 𝐴 et dans l’événement 𝐵.

La prochaine question est un problème concret de probabilité.

Dans un groupe de 100 personnes, 46 personnes ont des chiens, 41 ont des chats et 28 ont des lapins. De plus, 12 d’entre elles ont des chiens et des chats, 10 ont des chats et des lapins et neuf ont des chiens et des lapins. Enfin, huit personnes ont des chiens, des chats et des lapins. Ce problème pose ensuite quatre questions. Calculez la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui a des chiens, des chats et des lapins. Calculez la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui n’a que des chiens et des lapins. Calculez la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui a un animal domestique. Et calculez la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui n’a pas d’animal domestique.

Pour ces quatre questions, nous devons donner notre réponse sous forme de fraction irréductible. On peut répondre aux deux premières questions directement à partir de l’énoncé. On nous dit que le groupe est composé de 100 personnes et que huit d’entre elles ont des chiens, des chats et des lapins. Cela signifie que la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui a des chiens, des chats et des lapins est égale à huit sur 100. En divisant le numérateur et le dénominateur par quatre, on peut le simplifier par deux sur 25. L’énoncé indique également que neuf personnes ont des chiens et des lapins. Cet ensemble contient des personnes qui ont les trois animaux : chiens, chats et lapins. Et on sait que huit personnes ont des chiens, des chats et des lapins. On peut donc soustraire huit à neuf pour calculer le nombre de personnes qui n’ont que des chiens et des lapins. Ce qui fait un. Et on peut ainsi conclure que la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui n’a que des chiens et des lapins est un sur 100.

Une autre façon de visualiser ce problème est d’utiliser un diagramme de Venn. Faisons donc un peu de place pour en dessiner un. Notre diagramme de Venn comporte trois sections, une pour les chiens, une pour les chats et une pour les lapins. Les parties du diagramme de Venn où ces sections se coïncident représentent les personnes ayant deux ou plus espèces d’animaux domestiques. Comme huit personnes ont les trois espèces d’animaux, on peut placer un huit à l’intersection des chiens, des chats et des lapins. Comme neuf personnes ont des chiens et des lapins et que huit d’entre elles ont les trois espèces, une seule personne a uniquement des chiens et des lapins. De la même manière, il est indiqué que 10 personnes ont des chats et des lapins. Cela signifie que deux personnes n’ont que des chats et des lapins. Enfin, puisqu’un total de 12 personnes ayants des chiens et des chats, quatre d’entre elles n’ont que des chiens et des chats.

On voit ensuite que 28 personnes ont des lapins. Cela signifie que la somme des nombres dans le cercle des lapins doit être égale à 28 et il y a donc 17 personnes qui n’ont que des lapins. En répétant cela pour les chats et les chiens, on trouve que 27 personnes n’ont que des chats et 33 personnes n’ont que des chiens. Afin de calculer le nombre de personnes qui ont un animal domestique, on calcule la somme des sept nombres actuellement présents sur le diagramme de Venn. Elle est égale à 92 et cela signifie que la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui a un animal domestique est de 92 sur 100. Comme le numérateur et le dénominateur sont tous les deux divisibles par quatre, cela se simplifie par 23 sur 25. La probabilité de sélectionner une personne qui a un animal domestique est donc égale à vingt-trois sur 25.

Comme la somme de tous les nombres dans le diagramme de Venn doit être égale à 100, on peut calculer le nombre en dehors des trois cercles en soustrayant 92 à 100. Il y a ainsi huit personnes dans le groupe qui n’ont pas d’animal domestique. Par conséquent, la probabilité de sélectionner au hasard une personne qui n’a pas d’animal domestique est de huit sur 100. Cette fraction peut à nouveau être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par quatre. La probabilité de sélectionner au hasard une personne qui n’a pas d’animal domestique est donc de deux sur 25.

Cette question nous montre que dessiner un diagramme de Venn peut être utile pour calculer la probabilité d’événements. Avant d’étudier d’autres exemples, on va voir comment les définitions de la réunion et de l’intersection nous permettent d’établir une formule générale de probabilité. La formule de la probabilité d’une réunion indique que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. On peut le démontrer à l’aide de diagrammes de Venn. Lorsque l’on additionne la probabilité de l’événement 𝐴 et la probabilité de l’événement 𝐵, on additionne la probabilité de l’intersection deux fois. En soustrayant la probabilité de l’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, on obtient donc la probabilité de la réunion des événements 𝐴 et 𝐵. Voyons maintenant comment cette formule est utilisée dans la pratique.

Soient 𝐴 et 𝐵 deux événements tels que la probabilité de 𝐴 est égale à 0,2 et la probabilité de 𝐵 est égale à 0,47. Sachant que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à 0,18, calculez la probabilité de 𝐴 union 𝐵.

Pour répondre à cette question, rappelons la formule de la probabilité d’une réunion, qui relie ces quatre événements. Elle stipule que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. En substituant les valeurs données, on obtient probabilité de 𝐴 union 𝐵 égale 0,2 plus 0,47 moins 0,18. Ce qui fait 0,49. Il est important de noter que nous pourrions également représenter cela en utilisant ces diagrammes de Venn.

Dans le dernier exemple, on doit utiliser la formule de la probabilité d’une réunion pour résoudre un problème concret.

Les élèves d’une école doivent porter un sweatshirt ou une veste et sont autorisés à porter les deux. Dans une classe de 32 élèves, 12 élèves portent une veste et quatre des élèves qui portent une veste portent également un sweatshirt. Soient 𝐴 l’événement consistant à sélectionner au hasard un élève de la classe qui porte une veste et 𝐵 l’événement consistant à sélectionner au hasard un élève de la classe qui porte un sweatshirt. Ce problème pose ensuite quatre questions. Calculez la probabilité de 𝐴, calculez la probabilité de 𝐵, calculez la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 et calculez la probabilité de 𝐴 union 𝐵.

Dans les quatre cas, on doit donner notre réponse sous forme de fraction irréductible. On peut répondre aux première et troisième questions directement à partir de l’énoncé. On nous dit que 12 élèves sur 32 portent une veste donc la probabilité de 𝐴 est égale à 12 sur 32. Comme le numérateur et le dénominateur sont tous les deux divisibles par quatre, cela se simplifie par trois sur huit. On nous dit de plus que quatre des étudiants qui portent une veste portent également un sweatshirt. Cela signifie que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à quatre sur 32, car il s’agit de la probabilité de sélectionner un élève qui porte une veste et un sweatshirt. On peut à nouveau diviser le numérateur et le dénominateur par quatre, ce qui nous donne un sur huit.

Un mot clé de l’énoncé est « doivent » car il indique que les étudiants doivent porter un sweatshirt ou une veste. On peut utiliser cette information pour déterminer la probabilité de 𝐴 union 𝐵. Comme tous les élèves doivent porter un sweatshirt, une veste ou les deux, la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à 32 sur 32, soit un. Il est certain qu’un élève sélectionné au hasard portera un sweatshirt ou une veste.

Il ne nous reste donc plus que la deuxième question, calculer la probabilité de 𝐵, l’événement consistant à sélectionner au hasard un élève qui porte un sweatshirt. On peut répondre à cette question en utilisant la formule de la probabilité d’une réunion, qui stipule que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. En substituant les valeurs que nous connaissons déjà, on obtient un égale trois sur huit plus la probabilité de 𝐵 moins un sur huit. Le membre de droite simplifie par deux sur huit plus la probabilité de 𝐵, puis par un sur quatre plus la probabilité de 𝐵. En soustrayant un sur quatre aux deux membres de cette équation, on trouve que la probabilité de 𝐵 est égale à trois sur quatre.

On a maintenant les réponses aux quatre questions de ce problème. Elles sont respectivement trois sur huit, trois sur quatre, un sur huit et un. On aurait également pu représenter ces informations sur un diagramme de Venn, où les nombres indiqués sont le nombre d’élèves dans chaque section. 12 élèves portent une veste, 24 élèves portent un sweatshirt et quatre élèves portent les deux. La somme des trois nombres nous donne un total de 32 élèves.

On va maintenant résumer les points clés de cette vidéo. L’intersection des événements 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble de toutes les issues qui appartiennent à la fois à l’ensemble 𝐴 et à l’ensemble 𝐵. La réunion des événements 𝐴 et 𝐵 est l’ensemble de toutes les issues qui appartiennent à l’ensemble 𝐴, à l’ensemble 𝐵 ou aux deux. Ces définitions sont reliées entre elles par la formule de la probabilité d’une réunion, qui stipule que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Elle peut être représentée à l’aide de ces diagrammes de Venn.

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