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Fiche explicative de la leçon : Opérations sur les évènements Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à déterminer les probabilités de l’intersection et de l’union des événements.

Avant de commencer à discuter des différentes opérations que nous pouvons appliquer aux événements, commençons par récapituler comment nous calculons la probabilité d’un événement simple et ce que cette probabilité nous indique.

Terme clé : Probabilité d’événements simples

Si 𝐴 est un événement dans un espace échantillon 𝑆, alors la probabilité que l’événement 𝐴 se produise est 𝑃(𝐴)=𝑛(𝐴)𝑛(𝑆), avec 𝑃(𝐴) représentant la probabilité de l'événement 𝐴, 𝑛(𝐴) représentant le nombre d’éléments dans l’événement 𝐴, et 𝑛(𝑆) représentant le nombre d’éléments dans l’espace échantillon 𝑆 en supposant que chaque résultat est également probable.

Puisque 𝐴 est un sous-ensemble de 𝑆, on doit avoir 𝑛(𝐴)𝑛(𝑆). En combinant cela avec 𝑛(𝐴)0 on obtient 0𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)=𝑃(𝐴)1.

Ainsi, la probabilité qu’un événement se produise est comprise entre 0 et 1 et la valeur de cette probabilité nous indique la probabilité que l’événement se produise. En particulier, nous avons ce qui suit:

  • Si 𝑃(𝐴)=0, l’événement est impossible;cela n’arrivera jamais.
  • Si 𝑃(𝐴)=1, l’événement est certain.
  • Plus la probabilité d’un événement est élevée, plus elle est susceptible de se produire.

Par exemple, nous pouvons l’utiliser pour déterminer diverses probabilités d’événements impliquant un dé équilibré à six faces. Les faces de ce dé seront numérotées de un à six comme indiqué.

On peut calculer la probabilité d’obtenir un nombre pair, 𝑃()pair, en utilisant la formule 𝑃()=.pairnombredefacespairesnombretotaldefaces

Nous pouvons voir qu’il y a trois faces paires:

De plus, il y a 6 faces au total, donc 𝑃()=36=12.pair

Nous pouvons utiliser ce même processus pour des événements plus compliqués. Par exemple, quelle est la probabilité d’obtenir une face dont le nombre est pair et divisible par 3?

Nous avons déjà vu qu’il y a trois faces avec des nombres pairs, et nous pouvons aussi montrer qu’il y a deux faces avec des nombres divisibles par 3:

Nous pouvons le faire directement à partir des listes. On voit qu’il n’y a que dans les deux listes. Cependant, pour généraliser ce processus, nous rappelons que nous pouvons écrire des événements sous la forme d’ensembles, ce qui signifie que nous pouvons appliquer toutes les opérations des ensembles à ces événements.

Maintenant, notons que pour qu’une face soit à la fois paire et divisible par 3, elle doit être vraie pour les deux événements. Si nous introduisons des ensembles pour chaque événement, disons ,,𝐴= et ,𝐵=, alors dire que la face est à la fois paire et divisible par 3 signifie qu’elle est dans les deux ensembles, elle est donc dans leur intersection 𝐴𝐵. Nous avons 𝐴𝐵=, que nous pouvons écrire comme suit.

Définition : Intersection d’événements

L’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, noté 𝐴𝐵, est la collection de tous les résultats qui sont des éléments des deux ensembles 𝐴 et 𝐵;cela signifie que les deux événements se produisent.

Cela nous permet de déterminer la probabilité d’obtenir une face qui est paire et divisible par 3. Nous avons ,,,𝑃(𝐴𝐵)=𝑃=𝑃.

La probabilité est alors le nombre d’éléments dans 𝐴𝐵 divisé par le nombre d’éléments dans l’espace échantillon, donc 𝑃(𝐴𝐵)=16.

Ce processus est assez difficile lorsque vous travaillez avec des ensembles, car nous devons lister tous les éléments de 𝐴 et 𝐵 puis déterminer leur intersection. Il est beaucoup plus facile de suivre ce processus visuellement. Pour ce faire, nous allons introduire l’idée d’un diagramme de Venn.

Définition : Diagramme de Venn

Un diagramme de Venn est une représentation visuelle d’un espace échantillon 𝑆 et d’un nombre fini de sous-ensembles. Chaque sous-ensemble est représenté par une figure (généralement un cercle), tout ce qui est à l’intérieur de la figure est un élément du sous-ensemble (ou parfois le nombre d’éléments de ce sous-ensemble), et tout ce qui se trouve à l’extérieur de la forme n’est pas un élément du sous-ensemble.

Les diagrammes de Venn montrent généralement toutes les relations possibles entre les sous-ensembles en superposant les différents cercles pour représenter des éléments appartenant à plusieurs sous-ensembles.

Pour voir un exemple de diagramme de Venn, créons un diagramme de Venn pour l’événement dans l’exemple ci-dessus. Notre espace échantillon sera toutes les faces possibles, donc ,,,,,𝑆=. Nous avons montré que ,,𝐴=,,𝐵=, et 𝐴𝐵=. Ainsi, dans notre diagramme de Venn, doit être à l’intérieur des deux cercles pour 𝐴 et 𝐵, et sera dans 𝐴 mais pas dans 𝐵, est dans 𝐵 mais pas dans 𝐴, et et ne sont pas dans 𝐴 ou 𝐵 mais sont dans 𝑆. On obtient le diagramme suivant.

Nous pouvons utiliser ce diagramme pour déterminer différentes probabilités. Par exemple, pour que la face soit à la fois un nombre pair et divisible par 3, elle doit se situer à l’intérieur des deux cercles. Nous pouvons voir cet ensemble sur le diagramme comme suit.

L’intersection des événements correspond à tous les éléments des deux cercles, comme indiqué. Nous pouvons voir que cela représente seulement un élément sur les six éléments au total, donc 𝑃(𝐴𝐵)=16.

Ce n’est pas la seule probabilité que nous pouvons déterminer à partir de ce diagramme. On voit qu’il y a trois éléments dans l’événement 𝐴, donc 𝑃(𝐴)=36=12, et il y a 2 éléments dans l’événement 𝐵, alors 𝑃(𝐵)=26=13. Nous pouvons également utiliser ce diagramme pour répondre à une question plus complexe:quelle est la probabilité d’obtenir une face paire ou une face divisible par 3?

Cela revient à demander la probabilité de 𝐴 ou 𝐵;par conséquent, nous devons déterminer les éléments qui sont soit dans 𝐴 ou 𝐵. On peut rappeler qu’il s’agit de l’union des ensembles 𝐴𝐵.

Définition : Union des événements

L’union des événements 𝐴 et 𝐵, noté 𝐴𝐵, est la collection de tous les résultats qui sont des éléments de l’ensemble 𝐴, de l’ensemble 𝐵 ou des deux ensembles;cela signifie qu’au moins un des événements se produit.

Sur la figure, pour qu’une face soit paire ou divisible par 3, elle peut se situer soit dans 𝐴 ou 𝐵, il peut donc s’agir de tout élément à l’intérieur de ces cercles, comme illustré.

Il y a 4 éléments dans 𝐴 ou 𝐵, donc 𝑃(𝐴𝐵)=46=23.

Avant de passer à notre premier exemple, il convient de noter qu’il peut y avoir un nombre illimité d’ensembles inclus dans un diagramme de Venn et qu’ils n’ont pas besoin de se chevaucher. C’est parce qu’il peut ne pas y avoir d’éléments dans les deux événements. Par exemple, sur un dé à six faces, il n’y a pas de face à la fois paire et impaire. Le diagramme de Venn des événements où on obtient un nombre pair et un nombre impair peut être tracé comme suit.

On peut voir sur le diagramme qu’il n’y a pas de chevauchement entre les deux événements. Cela signifie que l’événement des deux est impossible car 𝑛()=0pairimpair. Pour nous aider à comprendre cette possibilité, nous allons introduire l’idée de l’ensemble vide, qui est l’ensemble sans éléments.

Définition : Ensemble vide et événements impossibles

Si un évènement 𝐴 dans un espace échantillon 𝑆 ne peut pas se produire, alors sa probabilité est égale à 0. Puisque 𝑃(𝐴)=𝑛(𝐴)𝑛(𝑆)=0, on doit avoir 𝑛(𝐴)=0. En d’autres termes, il n’y a pas d’éléments dans 𝐴. On appelle l’ensemble sans éléments l’ensemble vide et on note cet ensemble par .

Si un événement est vide, alors il est impossible, et si un événement est impossible, alors il est vide.

Voyons maintenant un exemple d’utilisation d’un diagramme de Venn donné pour déterminer une probabilité.

Exemple 1: Déterminer la probabilité de l’intersection d’événements à partir d’un diagramme de Venn

Le diagramme représente l’espace échantillon 𝑆 et les évènements 𝐴, 𝐵 et 𝐶. Déterminez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

On rappelle qu’un diagramme de Venn est une représentation visuelle d’un espace 𝑆 et d’un nombre fini de sous-ensembles. Chaque sous-ensemble est représenté par une figure (généralement un cercle), tout ce qui est à l’intérieur de la figure est un élément du sous-ensemble, et tout ce qui se trouve à l’extérieur de la figure n’est pas un élément du sous-ensemble.

Nous voulons utiliser le diagramme de Venn donné pour déterminer 𝑃(𝐴𝐵). Pour ce faire, il faut d’abord rappeler que la probabilité d’un événement est le nombre de possibilités pour l’évènement divisé par le nombre total d’événements dans le même espace.

Nous rappelons également que 𝐴𝐵 est l’intersection des deux événements, elle contient donc tous les éléments qui se trouvent dans les deux événements à la fois. Dans le diagramme de Venn, ce seront tous les éléments à l’intérieur des figures 𝐴 et 𝐵. Nous pouvons le mettre en évidence sur la figure.

Le seul élément à la fois dans 𝐴 et 𝐵 est 6, alors 𝐴𝐵={6}.

L’espace échantillon représente chaque élément du diagramme, c’est-à-dire, 𝑆={4,6,8,16,18,19}.

Ainsi, l’espace échantillon a 6 éléments, et par conséquent, 𝑃(𝐴𝐵)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝑆)=16.

Dans notre prochain exemple, nous déterminerons la probabilité de l’union de deux événements à partir d’un diagramme de Venn donné.

Exemple 2: Utiliser un diagramme de Venn pour déterminer l’union de deux événements

Un sondage a été mené auprès d’un groupe de 263 enfants pour déterminer leurs super-héros préférés. Les résultats sont présentés dans le diagramme de Venn. Trouvez 𝑃()WonderWomanouBatman.

Réponse

On rappelle qu’un diagramme de Venn est une représentation visuelle d’un espace échantillon 𝑆 et d’un nombre fini de sous-ensembles. Chaque sous-ensemble est représenté par une figure (généralement un cercle). Dans ce diagramme de Venn, chaque nombre représente le nombre d’élèves qui ont choisi le héros donné comme super-héros préféré.

Nous voulons utiliser le diagramme de Venn donné pour déterminer 𝑃()WonderWomanouBatman. On peut noter que cela équivaut à 𝑃()WonderWomanBatman. Pour déterminer cette probabilité, il faut d’abord rappeler que la probabilité d’un événement est le nombre de possibilités que l’évènement se réalise divisé par le nombre total d’événements dans le même espace.

Nous rappelons également que 𝐴𝐵 est l’union des deux événements, il contient donc tous les éléments qui se trouvent dans chaque événement. Dans un diagramme de Venn, ce seront tous les éléments à l’intérieur de chaque figure 𝐴 ou 𝐵. Elle comprend également tous les éléments du chevauchement des deux figures.

Dans ce cas, ce sont les cercles nommés Wonder Woman ou Batman, alors nous mettons en évidence les deux ensembles sur le diagramme.

Nous pouvons déterminer le nombre d’éléments dans cette figure en additionnant les valeurs, nous avons donc 𝑛()=64+8+8+9+14+75=178.WonderWomanBatman

L’espace échantillon est celui de tous les élèves interrogés, et on nous dit qu’il s’agissait d’un groupe de 263 enfants, alors 𝑛(𝑆)=263.

Par conséquent, 𝑃()=𝑛()𝑛(𝑆)=178263.WonderWomanBatmanWonderWomanBatman

Nous pouvons utiliser un raisonnement similaire aux deux questions ci-dessus pour trouver une formule générale pour l’union de deux événements. Considérez le diagramme d’événements de Venn suivant 𝐴 et 𝐵.

Nous voulons déterminer 𝑃(𝐴𝐵) en termes de probabilités plus simples, nous pouvons donc commencer par mettre en évidence 𝐴𝐵 sur le diagramme de Venn. Ce sont tous les éléments de 𝐴 ou 𝐵.

On peut noter que c’est presque la même chose que la somme de 𝑃(𝐴) et 𝑃(𝐵). Nous avons ce qui suit.

L’addition de ces probabilités comptera n’importe quel élément dans 𝐴 et 𝐵 deux fois, nous devons donc soustraire la probabilité de l’intersection. Nous avons

Nous appelons cela la règle d’addition des probabilités, et nous pouvons écrire ce résultat comme suit.

Définition : Règle d’addition des probabilités

𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵).

Dans notre prochain exemple, nous aurons besoin de construire un diagramme de Venn des informations données afin de déterminer diverses probabilités.

Exemple 3: Déterminer les probabilités d’intersection et d’union des événements dans un problème de la vie courante

Les élèves d’une école doivent porter un sweat-shirt ou un blazer et sont autorisés à porter les deux. Dans une classe de 32 élèves, 12 élèves portent un blazer et 4 parmi les élèves qui portent un blazer portent aussi un sweat-shirt. Soit 𝐴 l’événement consistant à sélectionner au hasard un élève de la classe qui porte un blazer et 𝐵 l’événement de sélection aléatoire d’un élève de la classe qui porte un sweat-shirt.

  1. Trouvez 𝑃(𝐴), en donnant votre réponse sous forme de fraction irréductible.
  2. Trouvez 𝑃(𝐵), en donnant votre réponse sous forme de fraction irréductible.
  3. Trouvez 𝑃(𝐴𝐵), en donnant votre réponse sous forme de fraction irréductible.
  4. Déterminez la valeur de 𝑃(𝐴𝐵), en donnant votre réponse sous forme de fraction irréductible.

Réponse

Pour répondre à cette question, il peut être utile de tracer un diagramme de Venn des informations données. On nous dit que 4 élèves portent à la fois un blazer et un sweat-shirt, donc l’intersection de 𝐴 et 𝐵 a 4 élèves. Ensuite, 12 élèves portent des blazers. Cela inclut les 4 qui portent également un sweat-shirt, la partie restante de 𝐴 aura donc 124=8 élèves. Enfin, tous les élèves restants ne doivent porter qu’un sweat-shirt. C’est 3212=20. Cela nous donne ce qui suit.

Partie 1

Nous rappelons que la probabilité qu’un événement se produise est le nombre de possibilités où l’évènement se produit divisé par le nombre total d’évènements dans le même espace, donc 𝑃(𝐴)=𝑛(𝐴)𝑛(𝑆), avec 𝑛(𝐴) le nombre d’élèves portant un blazer et 𝑛(𝑆) le nombre total d’élèves. On nous dit que 12 élèves portent des blazers, alors 𝑛(𝐴)=12, et on sait qu’il y a 32 élèves dans la classe, donc 𝑛(𝑆)=32.

Par conséquent, 𝑃(𝐴)=1232=38.

Partie 2

Nous avons 𝑃(𝐵)=𝑛(𝐵)𝑛(𝑆), avec 𝑛(𝐵) le nombre d’élèves portant un sweat-shirt. On peut trouver 𝑛(𝐵) à partir de notre diagramme;c’est le nombre de tous les élèves portant un sweat-shirt. Nous avons 𝑛(𝐵)=4+20=24.

Par conséquent, 𝑃(𝐵)=2432=34.

Partie 3

Nous avons 𝑃(𝐴𝐵)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝑆), avec 𝑛(𝐴𝐵) le nombre d’élèves portant un blazer et un sweat-shirt. On nous dit qu’il y a 4 élèves qui portent les deux, donc 𝑃(𝐴𝐵)=432=18.

Partie 4

Il y a trois méthodes que nous pouvons utiliser pour trouver 𝑃(𝐴𝐵).

Premièrement, rappelons que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵). Nous avons trouvé ces trois valeurs dans la partie précédente, nous pouvons donc les utiliser dans la formule pour obtenir 𝑃(𝐴𝐵)=38+3418=1.

Deuxièmement, nous rappelons que 𝐴𝐵 est l’événement de soit 𝐴 ou 𝐵;s'il s’agit donc de choisir un élève en blazer ou en sweat-shirt. Dans le diagramme de Venn, ceci est donné par tout élève dans le diagramme suivant.

Cela inclut les 32 élèves, donc 𝑃(𝐴𝐵)=3232=1.

Troisièmement, on nous dit dans la question que tous les élèves doivent porter un sweat-shirt ou un blazer, alors nous savons que la probabilité de choisir un élève portant l’un de ces articles est garantie. Par conséquent, cela doit avoir une probabilité de 1.

Dans les deux exemples suivants, nous appliquerons la formule de la probabilité d’une union d’événements pour déterminer les probabilités d’événements composés.

Exemple 4: Utiliser la règle d’addition pour déterminer la probabilité de l’union de deux événements

Soient 𝐴 et 𝐵 deux évènements avec les probabilités 𝑃(𝐴)=0,2 et 𝑃(𝐵)=0,47. Sachant que 𝑃(𝐴𝐵)=0,18, trouvez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

Rappelons que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵). On peut utiliser les valeurs données de 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵) et 𝑃(𝐴𝐵) dans la formule pour obtenir 𝑃(𝐴𝐵)=0,2+0,470,18=0,49.

Exemple 5: Utiliser la règle d’addition pour déterminer la probabilité d’intersection de deux événements

Soient 𝐴 et 𝐵 deux évènements avec les probabilités 𝑃(𝐴)=0,58 et 𝑃(𝐵)=0,2. Sachant que 𝑃(𝐴𝐵)=0,64 , trouvez 𝑃(𝐴𝐵).

Réponse

Rappelons que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵). On peut utiliser les valeurs données de 𝑃(𝐴), 𝑃(𝐵) et 𝑃(𝐴𝐵) dans la formule pour obtenir 0,64=0,58+0,2𝑃(𝐴𝐵).

Ajouter 𝑃(𝐴𝐵) des deux côtés de l’équation et soustraire 0,64 des deux côtés donne 𝑃(𝐴𝐵)=0,58+0,20,64=0,14.

Dans notre dernier exemple, nous allons construire un diagramme de Venn et utiliser la règle d’addition des probabilités pour résoudre un problème de la vie courante.

Exemple 6: Déterminer la probabilité de l’intersection d’événements dans un problème de la vie courante

Sur un groupe de 100 personnes, 46 ont des chiens, 41 ont des chats et 28 ont des lapins. 12 personnes ont à la fois des chiens et des chats, 10 ont à la fois des chats et des lapins, et 9 ont à la fois des chiens et des lapins. 8 personnes ont des chiens, des chats et des lapins.

  1. Déterminez la probabilité de choisir de manière aléatoire une personne qui a des chiens, des chats et des lapins. Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible.
  2. Déterminez la probabilité de choisir au hasard une personne qui n’a que des chiens et des lapins. Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible.
  3. Déterminez la probabilité de choisir une personne qui a des animaux domestiques. Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible.
  4. Déterminez la probabilité de choisir une personne qui n’a pas d’animaux. Donnez votre réponse sous forme de fraction irréductible.

Réponse

Pour répondre à cette question, réalisons un diagramme de Venn du groupe de personnes. Appelons le groupe de 100 personnes l’espace échantillon 𝑆, le groupe de personnes qui possèdent un chien D, le groupe de personnes qui possèdent un chat C, et le groupe de personnes qui possèdent un lapin L.

Nous savons que 8 personnes ont des chiens, des chats et des lapins, l’intersection des trois ensembles aura donc 8 membres. Par conséquent, 𝑛()=8DCL. Nous pouvons ajouter cette information pour obtenir le diagramme de Venn suivant.

Nous savons également ce qui suit:

  • 9 personnes ont à la fois des chiens et des lapins. En retirant les 8 personnes qui ont les trois animaux, nous avons 1 personne avec des chiens et des lapins mais pas de chats.
  • 10 personnes ont à la fois des chats et des lapins. En retirant les 8 personnes qui ont les trois animaux, nous avons 2 personnes avec des chats et des lapins mais pas de chiens.
  • 12 personnes ont à la fois des chiens et des chats. En retirant les 8 personnes qui ont les trois animaux, nous avons 4 personnes avec des chiens et des chats mais pas de lapins.

Nous pouvons l’utiliser pour mettre à jour le diagramme de Venn.

Nous pouvons suivre ce processus à nouveau:

  • 46 personnes ont des chiens. Retirer les 1+8+4=13 personnes que nous avons déjà représentées, nous laisse avec 4613=33 personnes qui n’ont que des chiens.
  • 41 personnes ont des chats. Retirer les 4+8+2=14 personnes que nous avons déjà représentées, nous laisse avec 4114=27 personnes qui n’ont que des chats.
  • 28 personnes ont des lapins. Retirer les 1+8+2=11 personnes que nous avons déjà représentées, nous laisse avec 2811=17 personnes qui n’ont que des lapins.

Enfin, nous pouvons voir qu’il y a 33+4+27+1+8+2+17=92 personnes représentées sur le diagramme de Venn. Ce sont les personnes qui possèdent l’un de ces animaux. Les 10092=8 personnes restantes ne doivent avoir aucun des animaux donnés. On écrit ce nombre en dehors des cercles pour obtenir ce qui suit:

Partie 1

Pour déterminer la probabilité de choisir une personne qui a les trois animaux, rappelons que la probabilité sera le nombre de personnes avec les trois animaux du groupe divisé par le nombre total de personnes du groupe.

On nous dit que 8 personnes ont des chiens, des chats et des lapins, et nous savons qu’il y a 100 personnes dans le groupe, alors 𝑃()=8100=225.DCL

Partie 2

Pour déterminer la probabilité de sélectionner de manière aléatoire une personne qui n’a que des chiens et des lapins, nous devons déterminer le nombre de personnes dans le groupe qui ont des chiens et des lapins mais qui n’ont pas de chat. Cela doit se situer dans le chevauchement entre le cercle pour les chiens et le cercle pour les lapins, mais pas le cercle pour les chats. Nous pouvons le mettre en évidence comme suit.

Nous pouvons voir qu’il n’y a qu’une seule personne, la probabilité est donc 1100.

Partie 3

Nous avons vu précédemment qu’il y avait 92 personnes avec des animaux dans le groupe, la probabilité de choisir une personne avec des animaux est donc de 92100=2325.

Partie 4

Nous avons vu précédemment qu’il y avait 8 personnes avec aucun des animaux donnés dans le groupe, la probabilité de choisir une personne avec aucun de ces animaux est donc de 8100=225.

Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • L’intersection des événements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴𝐵, est la collection de tous les résultats qui sont des éléments des deux ensembles 𝐴 et 𝐵;cela signifie que les deux événements se produisent..
  • L’union des événements 𝐴 et 𝐵, notée 𝐴𝐵, est la collection de tous les résultats qui sont des éléments de l’ensemble 𝐴, de l’ensemble 𝐵, ou des deux ensembles;cela signifie qu’au moins un des événements se produit.
  • Si un ensemble ne contient aucun élément, on l’appelle l’ensemble vide, et il est noté . Si l’ensemble des résultats d’un événement est l’ensemble vide, alors l’événement ne peut pas se produire;par conséquent, 𝑃()=0.
  • La règle d’addition des probabilité indique que 𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴𝐵).

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