Lesson Video: Racines arbitraires de nombres complexes Mathématiques • Third Year of Secondary School

Video Transcript

Dans cette leçon, nous apprendrons à utiliser le théorème de Moivre pour déterminer les racines 𝑛-ièmes d’un nombre complexe et explorer leurs propriétés. Après cela, vous devriez vous sentir à l’aise pour calculer les racines 𝑛-ièmes de l’unité. Et cette leçon cherche à étendre ces concepts pour déterminer les racines 𝑛-ièmes de tout nombre complexe..

Nous examinerons également la relation entre les racines 𝑛-ièmes d’un nombre complexe et les racines de l’unité, avant d’étudier une interprétation et une application géométrique de ces racines. Commençons par rappeler le théorème de Moivre pour les racines. Il dit que, pour un nombre complexe de la forme 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, les racines sont données par 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛. Et cela pour des valeurs entières de 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un.

Dans cette vidéo, nous utiliserons ce théorème pour les deux racines sous les formes trigonométrique et exponentielle. Examinons donc un exemple d’utilisation de la formule pour résoudre une équation impliquant la recherche des racines d’un nombre complexe.

1) Résolvez 𝑧 à la puissance cinq égale 16 racine de deux plus 16 𝑖 racine de deux. 2) En traçant les solutions sur un plan complexe d’Argand ou d’une autre manière, décrivez les propriétés géométriques des solutions.

Pour la première partie, nous devons résoudre une équation qui implique de déterminer les racines d’un nombre complexe écrit sous forme algébrique. Rappelez-vous cependant que le théorème de Moivre pour les racines utilise la forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe au lieu de la forme algébrique. Nous devrons donc commencer par calculer le module et l’argument d’un nombre complexe noté 𝑧 à la puissance cinq.

La partie réelle de ce nombre complexe est 16 racine de deux. De même, sa partie imaginaire est également 16 racine de deux. Le module est donc assez simple à calculer. C’est la racine carrée de la somme des carrés de ces deux parties. C’est la racine carrée de 16 racine de deux au carré plus 16 racine de deux au carré, ce qui fait tout simplement 32. Le module de 𝑧 à la puissance cinq est donc 32.

Sous forme exponentielle, c’est la valeur de 𝑟. Son argument est également assez simple. Le nombre complexe a à la fois des parties réelle et imaginaire positives. Il doit donc se situer dans le premier quadrant du plan complexe d’Argand. Cela signifie que nous pouvons utiliser la formule arctan de 𝑏 divisé par 𝑎, où 𝑏 est la partie imaginaire et 𝑎 est la partie réelle, pour déterminer l’argument de 𝑧 à la puissance cinq. C’est arctan de 16 racine de deux sur 16 racine de deux.

Eh bien, en fait, 16 racine de deux divisé par 16 racine de deux vaut un. Nous devons donc déterminer l’arctan de un. Et c’est une valeur que nous devons connaître par cœur. Nous savons que la tan de 𝜋 sur quatre vaut un. Donc l’arctan de un doit être 𝜋 sur quatre. Et l’argument de 𝑧 à la puissance cinq est 𝜋 sur quatre. Et nous pouvons dire, sous forme exponentielle, que nous pouvons écrire cette équation comme 𝑧 à la puissance cinq égale 32𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖.

Pour résoudre cette équation, nous devrons prendre la racine cinquième des deux côtés. Maintenant, la racine cinquième de 𝑧 à la puissance cinq est simplement 𝑧. Et nous pouvons dire que la racine cinquième de 32𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖 est de 32𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖 à la puissance un sur cinq. En comparant cela à la formule du théorème de Moivre, nous voyons que 𝑟, le module, est 32. 𝜃, l’argument, est 𝜋 sur quatre. Et 𝑛 doit être égal à cinq, ce qui signifie que 𝑘 va prendre les valeurs zéro, un, deux, trois et quatre.

En appliquant ce théorème avec 𝑛 égal à cinq, nous obtenons 𝑧 est égal à 32 à la puissance un cinquième fois 𝑒 de 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑘 sur cinq 𝑖. 32 à la puissance un cinquième vaut deux. Et en substituant 𝑘 est égal à zéro dans l’équation, nous voyons que la première solution doit être deux 𝑒 de 𝜋 sur 20 𝑖.

Notre deuxième solution est deux 𝑒 de neuf 𝜋 sur 20 𝑖. Lorsque 𝑘 est égal à deux, nous obtenons deux 𝑒 de 17𝜋 sur 20 𝑖. En substituant 𝑘 est égal à trois dans notre équation, puis en soustrayant deux 𝜋 de l’argument pour qu’il soit dans l’intervalle de l’argument principal, nous voyons que la quatrième solution est deux 𝑒 de moins trois 𝜋 sur quatre 𝑖. Et de même, la solution finale est deux 𝑒 de moins sept 𝜋 sur 20 𝑖.

Et là, nous avons les cinq solutions de l’équation 𝑧 à la puissance cinq est égal à 16 racine de deux plus 16 𝑖 racine de deux. Et nous les avons exprimées sous forme exponentielle.

Pour la deuxième partie, nous allons devoir représenter ces solutions sur un plan complexe d’Argand. Maintenant, une façon de le faire serait de reconvertir ces nombres sous leur forme algébrique. Une fois que nous connaissons les parties réelles et imaginaires, nous pouvons les représenter assez facilement sur le plan complexe d’Argand. Alternativement, nous pourrions remarquer que leur module est deux, puis utiliser leurs arguments pour représenter les racines. De toute façon, nous voyons qu’elles sont représentées par les sommets d’un pentagone régulier, inscrit dans un cercle de rayon deux, dont le centre est l’origine du repère.

Géométriquement, on peut dire que les racines 𝑛-ièmes d’un nombre complexe, tout comme les racines 𝑛-ièmes de l’unité, sont représentées par les sommets d’un polygone régulier à 𝑛 côtés, un 𝑛-gone régulier. Il existe maintenant d’autres relations entre ces racines générales et les racines de l’unité. Voyons plus en détail ces propriétés.

1) Déterminez les solutions de l’équation 𝑧 à la puissance six égale 125𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖. Quelles sont leurs propriétés géométriques ? 2) Énoncez les racines sixièmes de l’unité. Et 3) Quelle est la relation entre les racines sixièmes de l’unité et les solutions de l’équation 𝑧 à la puissance six égale 125𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖 ?

Ici, nous avons une équation impliquant de déterminer les racines d’un nombre complexe. Pour résoudre cette équation, nous allons prendre la racine sixième des deux côtés. Et pour ce faire, nous devrons appliquer le théorème de Moivre pour les racines. Cela nous indique que les solutions de cette équation sont données par 125 à la puissance un sixième fois 𝑒 à la puissance deux 𝜋 sur trois plus deux 𝜋𝑘 sur six 𝑖, où 𝑘 prend les valeurs entières de zéro à cinq.

En substituant ces valeurs de 𝑘 dans notre formule, puis en soustrayant les multiples de deux 𝜋 si nécessaire, nous exprimons notre argument dans l’intervalle principal. Et nous voyons que nos solutions à l’équation sont la racine de cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖, de racine de cinq 𝑒 de quatre 𝜋 sur neuf 𝑖, de racine de cinq 𝑒 de sept 𝜋 sur neuf 𝑒, de racine de cinq 𝑒 de moins huit 𝜋 sur neuf 𝑖, racine de cinq 𝑒 de moins cinq 𝜋 sur neuf 𝑖, et enfin racine de cinq 𝑒 de moins deux 𝜋 sur neuf 𝑖.

Comme prévu, lorsque nous les plaçons sur un plan complexe d’Argand, nous voyons qu’elles forment les sommets d’un hexagone régulier. Et cet hexagone est inscrit dans un cercle dont le centre est l’origine et dont le rayon est la racine carrée de cinq.

Maintenant que nous allons de l’avant et répondons aux deuxième et troisième parties de cette question, nous laisserons le plan complexe d’Argand en place. Ça va nous être utile dans un instant. De la même manière, nous pourrions utiliser le théorème de Moivre pour déterminer les racines sixièmes de l’unité. Ou nous pouvons simplement rappeler qu’elles sont un, 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, moins un, 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖.

Donc, pour déterminer la relation entre les racines sixièmes de l’unité et les solutions de notre équation, rappelons l’interprétation géométrique des racines sixièmes de l’unité. Les racines sixièmes de l’unité sont représentées géométriquement par les sommets d’un hexagone régulier. Cette fois, cet hexagone est inscrit dans un cercle unité. Et encore une fois, son centre est en l’origine du repère. Et nous pouvons voir qu’il est possible de transformer les racines sixièmes de l’unité en racines de notre équation par une homothétie de rapport racine de cinq et une rotation dans le sens direct de 𝜋 sur neuf radians.

Une autre façon de le voir est de les multiplier par le nombre complexe dont le module est la racine carrée de cinq et dont l’argument est 𝜋 sur neuf, en d’autres termes, racine de cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖. Cela signifie que si nous appelons les racines sixièmes de l’unité un, 𝜔, 𝜔 au carré jusqu’à 𝜔 à la puissance cinq, alors les racines de notre équation peuvent s’exprimer sous la forme racine de cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖, 𝜔 fois racine de cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖, et ainsi de suite jusqu’à ω à la puissance cinq fois racine de cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖. Et ces résultats auraient été valables si nous avions utilisé l’une des autres racines de 𝑧 à la puissance six égale 125𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖.

Cherchons à généraliser cela. Si 𝑧 un est une racine de l’équation 𝑧 à la puissance 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro et que un, 𝜔, 𝜔 au carré, jusqu’à 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un sont les racines 𝑛-ièmes de l’unité, alors les racines de 𝑧 à la puissance 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro sont 𝑧 un, 𝑧 un multiplié par 𝜔, 𝑧 un multiplié par 𝜔 au carré, jusqu’à 𝑧 un multiplié par 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un.

Nous pouvons y penser géométriquement. Nous savons que la multiplication par un nombre complexe dont le module est un représente une rotation dans le sens direct par l’argument de ce nombre complexe. Donc, si nous commençons sur une racine de 𝑧 à la puissance 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro, chaque rotation d’un angle de deux 𝜋 sur 𝑛 associera le sommet de cette racine aux autres sommets représentant les autres racines. Voyons un exemple de cette interprétation géométrique.

Déterminez les coordonnées des sommets d’un pentagone régulier centré en l’origine avec un sommet en trois, trois.

Puisque nous avons affaire à un pentagone, voyons comment lier cela à la racine cinquième d’un nombre complexe. Nous savons que, sur un plan complexe d’Argand, les racines cinquièmes de l’unité forment un pentagone régulier. Ce pentagone est inscrit dans un cercle unité dont le centre est l’origine du repère. Et l’un des sommets est le point dont les coordonnées cartésiennes sont un, zéro. Considérons donc le plan cartésien comme un plan complexe d’Argand contenant notre pentagone régulier.

On peut transformer ce pentagone en un pentagone régulier centré en l’origine avec un sommet en 𝑧 un en multipliant chacune des racines cinquièmes de l’unité par 𝑧 un. Et cela revient à déterminer la racine cinquième de 𝑧 un à la puissance cinq.

Nous pourrions maintenant utiliser le théorème de Moivre ou simplement rappeler que les racines cinquièmes de l’unité sont un, 𝜔, 𝜔 au carré, 𝜔 au cube et 𝜔 à la puissance quatre, où 𝜔 est 𝑒 de deux 𝜋 sur cinq 𝑖. Puisque l’un des sommets de notre pentagone est situé en le point trois, trois, d’affixe le nombre complexe trois plus trois 𝑖, nous pouvons dire que 𝑧 un est égal à trois plus trois 𝑖.

Maintenant, nous savons que si 𝑧 un est une racine de l’équation 𝑧 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro et un 𝜔 jusqu’à 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un sont les racines 𝑛-ièmes de l’unité, alors les racines de 𝑧 à la puissance 𝑛 moins 𝑤 est égale à zéro sont 𝑧 un, 𝑧 un fois 𝜔, 𝑧 un fois 𝜔 au carré, et ainsi de suite jusqu’à 𝑧 un fois 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un. Ainsi, nous pouvons déterminer les coordonnées de tous les sommets de notre pentagone régulier en multipliant notre 𝑧 un par les racines cinquièmes de l’unité.

Avant de faire cela, nous devons l’écrire sous forme exponentielle. Le module de 𝑧 un est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelle et imaginaire. C’est la racine carrée de trois au carré plus trois au carré, qui fait trois racine de deux. Et puisque ses parties réelle et imaginaire sont positives, nous savons qu’il se situe dans le premier quadrant. Son argument est donc l’arctan de trois divisé par trois, qui donne 𝜋 sur quatre. Et nous pouvons dire que 𝑧 un est égal à trois racine de deux 𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖.

Le reste des racines et donc les autres sommets de notre pentagone seront donnés par 𝑧 un fois 𝜔, 𝑧 un fois 𝜔 au carré, et jusqu’à 𝑧 un fois 𝜔 à la puissance quatre. Pour déterminer 𝑧 un fois 𝜔, on effectue trois racine de deux 𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖 fois 𝑒 de deux 𝜋 sur cinq 𝑖. Et rappelez-vous, pour multiplier des nombres complexes sous forme exponentielle, nous multiplions leurs modules et nous ajoutons leurs arguments. Cela signifie que notre deuxième racine est trois racine de deux 𝑒 de 13𝜋 sur 20 𝑖.

Maintenant que nous essayons de déterminer les coordonnées, nous devons représenter cela sous forme algébrique. Et pour convertir la forme exponentielle en forme algébrique, nous la convertissons d’abord sous forme trigonométrique. C’est trois racine de deux fois cos 13𝜋 sur 20 plus 𝑖 sin de 13𝜋 sur 20. En distribuant les parenthèses, nous voyons que c’est la même chose que trois racine de deux cos de 13𝜋 sur 20 plus trois racine de deux 𝑖 sin de 13𝜋 sur 20. Et nous pouvons voir que le deuxième sommet de notre pentagone se situera en le point avec les coordonnées cartésiennes trois racine de deux cos de 13𝜋 sur 20, trois racine de deux sin de 13𝜋 sur 20.

Nous répétons ce processus avec le troisième sommet. Et nous soustrayons deux 𝜋 afin de pouvoir exprimer l’argument dans l’intervalle principal. Et nous voyons que la troisième solution est trois racine de deux 𝑒 de moins 19𝜋 sur 20 𝑖. Encore une fois, représentant cela sous forme trigonométrique et distribuant les parenthèses, nous déterminons ici les coordonnées sont trois racine de deux cos de moins 19𝜋 sur 20, trois racine de deux sin de moins 19𝜋 sur 20.

Nous pouvons répéter ce processus pour 𝑧 un fois 𝜔 au cube et 𝑧 un fois 𝜔 à la puissance quatre. Et nous déterminons que les sommets du pentagone se déterminent au point dont les coordonnées cartésiennes sont trois, trois ; trois racine de deux cos 13𝜋 sur 20, trois racine de deux sin 13𝜋 sur 20, trois racine de deux cos de moins 19𝜋 sur 20, trois racine de deux sin de moins 19𝜋 sur 20. Nous avons trois racine de deux cos de moins 11𝜋 sur 20, trois racine de deux sin de moins 11𝜋 sur 20, et trois racine de deux cos de moins trois 𝜋 sur 20, trois racine de deux sin de moins trois 𝜋 sur 20.

Et il existe d’autres propriétés géométriques intéressantes des racines 𝑛-ièmes de nombres complexes. Nous allons considérer un autre exemple.

1) Déterminez les racines de 𝑧 à la puissance huit plus 16 égale zéro. 2) Les nombres complexes représentant les racines de 𝑧 à la puissance huit plus 16 égale zéro sont chacun élevés au carré pour former les sommets d’une nouvelle figure. Quelle est l’aire de la figure ?

Commençons par la première partie. Pour résoudre cette équation, nous allons soustraire 16 des deux côtés pour obtenir 𝑧 à la puissance huit égale à 16. Et puis nous déterminerons les racines huitièmes des deux côtés. Mais pour appliquer le théorème de Moivre aux racines, le moins 16 devra être exprimé sous forme exponentielle ou polaire.

Écrivons-le sous forme exponentielle. Son module est 16. Et comme il s’agit d’un nombre purement réel, qui se situerait sur l’axe réel négatif d’un plan complexe d’Argand, son argument est 𝜋 radians. Et donc, les solutions de notre équation sont les racines huitièmes de 16𝑒 de 𝜋𝑖. En appliquant le théorème de Moivre et nous voyons que les racines sont données par 16 à la puissance un huitième fois 𝑒 de 𝜋 plus deux 𝜋𝑘 sur huit 𝑖, où 𝑘 prend les valeurs entières de zéro à sept.

Donc, nos racines dont les arguments sont exprimés dans l’intervalle principal sont la racine de deux 𝑒 de 𝜋 sur huit 𝑖, la racine de deux 𝑒 de trois 𝜋 sur huit 𝑖, jusqu’à la racine de deux 𝑒 de moins 𝜋 sur huit 𝑖. Et puisque ce sont les racines huitièmes d’un nombre complexe, il s’ensuit qu’elles formeront les sommets d’un octogone régulier inscrit dans un cercle dont le rayon est la racine de deux et le centre est l’origine du repère.

Et qu’en est-il de la deuxième partie ? Eh bien, pour élever au carré un nombre complexe sous forme exponentielle, nous élevons au carré son module et nous doublons son argument. Remarquez comment nos huit racines sont tombées à quatre. Ces racines représentent cette fois les sommets d’un carré, inscrit dans un cercle de rayon deux unités. Son aire peut être déterminée en utilisant le théorème de Pythagore. Et cela générera une longueur latérale de deux racine de deux unités. Son aire est donc de deux racine de deux au carré. Elle est égale à huit carrés unités.

Maintenant, avez-vous prédit ce qui se passe lorsque nous élevons au carré les racines ? Il est en fait très logique que le nombre de racines diminue de moitié. Essentiellement, c’est un peu comme déterminer simplement les racines quatrièmes de notre équation originale, qui, nous le savons, formeraient les sommets d’un carré.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons utiliser le théorème de Moivre pour déterminer des racines arbitraires de nombres complexes. Nous avons vu que si 𝑧 un est l’une des racines 𝑛-ièmes d’un nombre complexe, les autres racines sont données par 𝑧 un 𝜔, 𝑧 un 𝜔 au carré, jusqu’à 𝑧 un 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un. Et c’est là que 𝜔 est une racine primitive cubique de l’unité. Nous avons également vu que nous pouvons utiliser les propriétés géométriques des racines des nombres complexes pour nous aider à déterminer les coordonnées de polygones réguliers tracés dans le plan.