Vidéo : Racines arbitraires de nombres complexes

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment utiliser le théorème de Moivre pour trouver les racines 𝑛 ième d’un nombre complexe et explorer leurs propriétés.

16:51

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous apprendrons à utiliser le théorème de De Moivre pour trouver la racine 𝑛 ième d’un nombre complexe et explorer leurs propriétés. À ce stade, vous devriez vous sentir à l’aise de trouver les racines 𝑛 ième de l’unité. Et cette leçon cherche à étendre ces concepts pour trouver la racine 𝑛 ième de tout nombre complexe.

Nous examinerons également la relation entre les racines 𝑛 ième d’un nombre complexe et les racines de l’unité, avant d’examiner une interprétation et une application géométriques de ces racines. Commençons par rappeler le théorème de De Moivre pour les racines. Il dit que, pour un nombre complexe de la forme 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, les racines sont données par 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛. Et ce sont des valeurs entières de 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un.

Dans cette vidéo, nous utiliserons ce théorème pour les deux racines sous forme trigonométrique et exponentielle. Examinons donc un exemple d’utilisation de la formule pour résoudre une équation impliquant la recherche des racines d’un nombre complexe.

1) Résolvez 𝑧 à la puissance cinq égale 16 racine deux plus 16𝑖 racine deux. 2) En traçant les solutions sur un diagramme d’Argand ou autrement, décrivez les propriétés géométriques des solutions.

Pour la première partie, nous devons résoudre une équation qui implique de trouver les racines d’un nombre complexe écrit sous forme algébrique. Rappelez-vous cependant que le théorème de De Moivre pour les racines utilise la forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe au lieu de la forme algébrique. Nous devrons donc commencer par calculer le module et l’argument d’un nombre complexe noté 𝑧 à la puissance cinq.

La partie réelle de ce nombre complexe est 16 racine deux. De même, sa partie imaginaire est également 16 racine deux. Le module est donc assez simple à calculer. C’est la racine carrée de la somme des carrés de ces deux parties. C’est la racine carrée de 16 racine deux au carré plus 16 racine deux au carré, ce qui est tout simplement 32. Le module de 𝑧 à la puissance cinq est donc 32.

Sous forme exponentielle, c’est la valeur de 𝑟. Son argument est également assez simple. Le nombre complexe a à la fois des parties réelles et imaginaires positives. Il doit donc se situer dans le premier quadrant du diagramme d’Argand. Cela signifie que nous pouvons utiliser la formule arctan de 𝑏 divisé par 𝑎, où 𝑏 est la partie imaginaire et 𝑎 est la partie réelle, pour trouver l’argument de 𝑧 à la puissance cinq. C’est arctan de 16 racine deux sur 16 racine deux.

Eh bien, en fait, 16 racine deux divisé par 16 racine deux est un. Nous devons donc trouver l’arctan de un. Et c’est une valeur que nous devons connaître par cœur. Nous savons que le tan de 𝜋 sur quatre en est un. Donc l’arctan de un doit être 𝜋 sur quatre. Et l’argument de 𝑧 à la puissance cinq est 𝜋 sur quatre. Et nous pouvons dire, sous forme exponentielle, que nous pouvons écrire cette équation comme 𝑧 à la puissance cinq égale 32 𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖.

Pour résoudre cette équation, nous devrons trouver la racine cinquième des deux côtés. Maintenant, la racine cinquième de 𝑧 à la puissance cinq est simplement 𝑧. Et nous pouvons dire que la racine cinquième de 32𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖 est de 32𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖 à la puissance un sur cinq. En comparant cela à la formule du théorème de De Moivre, nous voyons que 𝑟, le module, est 32. 𝜃, l’argument, est 𝜋 sur quatre. Et 𝑛 doit être égal à cinq, ce qui signifie que 𝑘 va prendre les valeurs de zéro, un, deux, trois et quatre.

En appliquant ce théorème avec 𝑛 égal à cinq, nous obtenons 𝑧 est égal à 32 à la puissance d’un cinquième fois 𝑒 de 𝜋 sur quatre plus deux 𝜋𝑘 sur cinq 𝑖. 32 à la puissance d’un cinquième est deux. Et en substituant 𝑘 est égal à zéro dans l’équation, nous voyons que la première solution doit être deux 𝑒 de 𝜋 sur 20𝑖.

Notre deuxième solution est de deux 𝑒 de neuf 𝜋 sur 20𝑖. Lorsque 𝑘 est égal à deux, nous obtenons deux 𝑒 de 17𝜋 sur 20𝑖. En substituant 𝑘 est égal à trois dans notre équation, puis en soustrayant deux 𝜋 de l’argument pour qu’il soit dans l’intervalle de l’argument principal, nous voyons que la quatrième solution est deux 𝑒 de moins trois 𝜋 sur quatre 𝑖. Et de même, la solution finale est deux 𝑒 de moins sept 𝜋 sur 20𝑖.

Et là, nous avons les cinq solutions de l’équation 𝑧 à la puissance cinq est égal à 16 racine deux plus 16𝑖 racine deux. Et nous les avons exprimés sous forme exponentielle.

Pour la deuxième partie, nous allons devoir tracer ces solutions sur un diagramme d’Argand. Maintenant, une façon de le faire serait de reconvertir ces nombres dans leur forme algébrique. Une fois que nous connaissons leurs parties réelles et imaginaires, nous pouvons les tracer assez facilement sur le diagramme d’Argand. Alternativement, nous pourrions remarquer que leur module est deux, puis utiliser leurs arguments pour tracer les racines. De toute façon, nous voyons qu’ils forment les sommets d’un pentagone régulier, inscrit dans un cercle de rayon deux, dont le centre est l’origine.

Géométriquement, on peut dire que les racines 𝑛 ième d’un nombre complexe, tout comme la racine 𝑛 ième de l’unité, forment les sommets d’un polygone régulier à 𝑛 côtés, un 𝑛-gone régulier. Il existe maintenant d’autres relations entre ces racines arbitraires et les racines de l’unité. Voyons plus en détail ces propriétés.

1) Trouvez les solutions de l’équation 𝑧 à la puissance six égale 125𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖. Quelles sont leurs propriétés géométriques ? 2) Énoncez les racines sixièmes de l’unité. Et 3) Quelle est la relation entre les racines sixièmes de l’unité et les solutions de l’équation 𝑧 à la puissance six égale 125𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖 ?

Ici, nous avons une équation impliquant de trouver les racines d’un nombre complexe. Pour résoudre cette équation, nous allons devoir prendre la racine sixième des deux côtés. Et pour ce faire, nous devrons appliquer le théorème de De Moivre pour les racines. Cela nous indique que les solutions de cette équation sont données par 125 à la puissance d’un sixième fois 𝑒 de la puissance deux 𝜋 sur trois plus deux 𝜋𝑘 sur six 𝑖, où 𝑘 prend des valeurs de zéro à cinq.

En substituant ces valeurs de 𝑘 dans notre formule, puis en soustrayant les multiples de deux 𝜋 si nécessaire de l’argument pour exprimer l’argument dans l’intervalle de l’argument principal. Et nous voyons que nos solutions de l’équation sont de la racine cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖, de la racine cinq 𝑒 de quatre 𝜋 sur neuf 𝑖, de la racine cinq 𝑒 de sept 𝜋 sur neuf 𝑖 de la racine cinq 𝑒 de moins huit 𝜋 sur neuf 𝑖, racine cinq 𝑒 de moins cinq 𝜋 sur neuf 𝑖, et racine cinq 𝑒 de moins deux 𝜋 sur neuf 𝑖.

Comme prévu, lorsque nous les plaçons sur un diagramme d’Argand, nous voyons qu’ils forment les sommets d’un hexagone régulier. Et cet hexagone est inscrit dans un cercle dont le centre est l’origine et dont le rayon est la racine de cinq.

Maintenant que nous allons de l’avant et répondons aux deuxième et troisième parties de cette question, nous laisserons le diagramme d’Argand en place. Ça va nous être utile dans un instant. De la même manière, nous pourrions utiliser le théorème de De Moivre pour trouver les racines sixièmes de l’unité. Ou nous pouvons simplement rappeler qu’elles sont un, 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, moins un, 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖.

Donc, pour trouver la relation entre les racines sixièmes de l’unité et les solutions de notre équation, rappelons l’interprétation géométrique des racines sixièmes de l’unité. Les racines sixièmes de l’unité sont représentées géométriquement par les sommets d’un hexagone régulier. Cette fois, cet hexagone est inscrit dans un cercle unité. Et encore une fois, son centre est en l’origine du repère. Et nous pouvons voir que nous pouvons transformer les racines sixièmes de l’unité en racines de notre équation par un facteur d’échelle de dilatation racine cinq et une rotation dans le sens direct de 𝜋 de neuf radians.

Une autre façon de penser est de les multiplier par un nombre complexe dont le module est la racine carrée de cinq et dont l’argument est 𝜋 sur neuf, en d’autres termes, racine cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖. Cela signifie que si nous appelons la sixième racine de l’unité une, 𝜔, 𝜔 au carré jusqu’à 𝜔 à la puissance cinq, alors les racines de notre équation peuvent être exprimées en tant que racine cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖, 𝜔 fois racine cinq 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖, tout le chemin jusqu’à 𝜔 à la puissance cinq fois cinq racines 𝑒 de 𝜋 sur neuf 𝑖. Et ces résultats auraient été valables si nous avions utilisé l’une des autres racines de 𝑧 à la puissance six égale 125𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖.

Cherchons à généraliser cela. Si 𝑧 un est une racine de l’équation 𝑧 à la puissance 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro et un, 𝜔, 𝜔 au carré, jusqu’à 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un sont les racines 𝑛 ième de l’unité, les racines de 𝑧 à la puissance 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro sont 𝑧 un, 𝑧 un multiplié par 𝜔, 𝑧 un multiplié par 𝜔 au carré, jusqu’à 𝑧 un multiplié par 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un.

Nous pouvons y penser géométriquement. Nous savons que la multiplication par un nombre complexe dont le module est un représente une rotation dans le sens direct par l’argument de ce nombre complexe. Donc, si nous commençons à une racine de 𝑧 à la puissance 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro, chaque rotation d’un angle de deux 𝜋 sur 𝑛 cartographiera le sommet de cette racine sur les autres sommets représentant les autres racines. Voyons un exemple de cette interprétation géométrique.

Trouvez les coordonnées des sommets d’un pentagone régulier centré en l’origine avec un sommet à trois, trois.

Puisque nous avons affaire à un pentagone, voyons comment lier cela à la racine cinquième d’un nombre complexe. Nous savons que, sur un diagramme d’Argand, les racines cinquièmes de l’unité forment un pentagone régulier. Ce pentagone est inscrit dans un cercle unité dont le centre est l’origine. Et l’un des sommets se trouve au point dont les coordonnées cartésiennes sont un, zéro. Considérons donc le plan cartésien comme un diagramme d’Argand contenant notre pentagone régulier.

On peut transformer ce pentagone en un pentagone régulier centré en l’origine avec un sommet à 𝑧 un en multipliant chacune des racines cinquièmes de l’unité par 𝑧 un. Et cela revient à trouver la racine cinquième de 𝑧 un à la puissance cinq.

Nous pourrions maintenant utiliser le théorème de De Moivre ou simplement rappeler que les racines cinquièmes de l’unité sont une, 𝜔, 𝜔 au carré, 𝜔 au cube et 𝜔 à la puissance quatre, où 𝜔 est 𝑒 de deux 𝜋 sur cinq 𝑖. Puisque l’un des sommets de notre pentagone se trouve au point trois, trois, qui représente le nombre complexe trois plus trois 𝑖, nous pouvons dire que 𝑧 un est égal à trois plus trois 𝑖.

Maintenant, nous savons que si 𝑧 un est une racine de l’équation 𝑧 𝑛 moins 𝑤 est égal à zéro et un 𝜔 tout au long de 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un sont les racines 𝑛 ième de l’unité, alors les racines de 𝑧 au la puissance de 𝑛 moins 𝑤 est égale à zéro sont 𝑧 un, 𝑧 un fois 𝜔, 𝑧 un fois 𝜔 au carré, tout le long jusqu’à 𝑧 un fois 𝜔 jusqu’à la puissance 𝑛 moins un. Ainsi, nous pouvons trouver les coordonnées de tous les sommets de notre pentagone régulier en multipliant notre 𝑧 un par les racines cinquièmes de l’unité.

Avant de faire cela, nous devons l’écrire sous forme exponentielle. Le module de 𝑧 un est la racine carrée de la somme des carrés des parties réelles et imaginaires. C’est la racine carrée de trois au carré plus trois au carré, qui est trois racine deux. Et puisque ses parties réelle et imaginaire sont positives, nous savons qu’elle se situe dans le premier quadrant. Son argument est donc l’arctan de trois divisé par trois, qui est 𝜋 sur quatre. Et nous pouvons dire que 𝑧 un est égal à trois racine deux 𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖.

Le reste des racines et donc les autres sommets de notre pentagone seront donnés par 𝑧 un fois 𝜔, 𝑧 un fois 𝜔 au carré, et jusqu’à 𝑧 un fois 𝜔 à la puissance quatre. Pour trouver 𝑧 un fois 𝜔, il faut trois racines deux 𝑒 de 𝜋 sur quatre 𝑖 fois 𝑒 de deux 𝜋 sur cinq 𝑖. Et rappelez-vous, pour multiplier des nombres complexes sous forme exponentielle, nous multiplions leurs modules puis nous ajoutons leurs arguments. Cela signifie que notre deuxième racine est de trois racine deux 𝑒 de 13𝜋 sur 20𝑖.

Maintenant que nous essayons de trouver les coordonnées, nous devons représenter cela sous forme algébrique. Et pour convertir la forme exponentielle en forme algébrique, nous la convertissons d’abord en forme trigonométrique. C’est trois racine deux fois cos 13𝜋 sur 20 plus 𝑖 sin de 13𝜋 sur 20. En répartissant les parenthèses, nous voyons que c’est la même chose que trois racine deux cos de 13𝜋 sur 20 plus trois racine deux 𝑖 sin de 13𝜋 sur 20. Et nous pouvons voir que le deuxième sommet de notre pentagone se situera au point avec les coordonnées cartésiennes trois racine deux cos de 13𝜋 sur 20, trois racine deux sin de 13𝜋 sur 20.

Nous répétons ce processus avec le troisième sommet. Et nous soustrayons deux 𝜋 de l’argument afin de pouvoir exprimer l’argument dans l’intervalle de l’argument principal. Et nous voyons que la troisième solution est trois racine deux 𝑒 de moins 19 sur 20𝜋𝑖. Encore une fois, représentant cela sous forme trigonométrique et distribuant les parenthèses, nous trouvons ici les coordonnées sont trois racine deux cos de moins 19𝜋 sur 20, trois racine deux sin de moins 19𝜋 sur 20.

Nous pouvons répéter ce processus pour 𝑧 un fois 𝜔 au cube et 𝑧 un fois 𝜔 à la puissance quatre. Et nous trouvons que les sommets du pentagone se trouvent au point dont les coordonnées cartésiennes sont trois, trois ; trois racine deux cos 13𝜋 sur 20, trois racine deux sin 13𝜋 sur 20, trois racine deux cos de moins 19𝜋 sur 20, trois racine deux sin de moins 19𝜋 sur 20. Nous avons trois racine deux cos de moins 11𝜋 sur 20, trois racine deux sin de moins 11𝜋 sur 20, et trois racine deux cos de moins trois 𝜋 sur 20, trois racine deux sin de moins trois 𝜋 sur 20.

Et il existe d’autres propriétés géométriques intéressantes des racines 𝑛 ième des nombres complexes. Nous allons considérer un autre exemple.

1) Trouvez les racines de 𝑧 à la puissance huit plus 16 égale zéro. 2) Les nombres complexes représentant les racines de 𝑧 à la puissance huit plus 16 égale zéro sont chacun au carré pour former les sommets d’une nouvelle figure. Quelle est l’aire de la figure ?

Commençons par la première partie. Pour résoudre cette équation, nous allons soustraire 16 des deux côtés pour obtenir 𝑧 à la puissance huit égale à 16. Et puis nous trouverons les racines huitièmes des deux côtés. Mais pour appliquer le théorème de De Moivre aux racines, le moins 16 devra être exprimé sous forme exponentielle ou polaire.

Écrivons-le sous forme exponentielle. Son module est 16. Et comme il s’agit d’un nombre purement réel, qui se situerait sur l’axe réel négatif d’un diagramme d’Argand, son argument est de 𝜋 radians. Et donc, les solutions de notre équation sont les racines huitièmes de 16𝑒 de 𝜋𝑖. En appliquant le théorème de De Moivre et nous voyons que les racines sont données par 16 à la puissance d’un huitième fois 𝑒 de 𝜋 plus deux 𝜋𝑘 sur huit 𝑖, où 𝑘 prend des valeurs de zéro à sept.

Donc, nos racines dont les arguments sont exprimés dans l’intervalle de l’argument principal sont la racine deux 𝑒 de 𝜋 sur huit 𝑖, la racine deux 𝑒 de trois 𝜋 sur huit 𝑖, jusqu’à la racine deux 𝑒 de moins 𝜋 sur huit 𝑖. Et puisque ce sont les racines huitièmes d’un nombre complexe, il s’ensuit qu’elles formeront les sommets d’un octogone régulier inscrit dans un cercle dont le rayon est la racine deux et le centre est l’origine.

Et qu’en est-il de la deuxième partie ? Eh bien, pour quadriller un nombre complexe sous forme exponentielle, nous quadrillons son module et nous doublons son argument. Remarquez comment nos huit racines sont tombées à quatre. Ces racines représentent cette fois les sommets d’un carré, inscrit dans un rayon de cercle de deux unités. Son aire peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore. Et cela générera une longueur latérale de deux racine deux unités. Son aire est donc de deux racine deux au carré. C’est huit unités carrées.

Maintenant, avez-vous prédit ce qui pourrait se passer lorsque nous ferions le carré des racines ? Il est en fait très logique que le nombre de racines diminue de moitié. Essentiellement, c’est un peu comme trouver simplement les racines quatrièmes de notre équation originale, qui, nous le savons, formeraient les sommets d’un carré.

Dans cette vidéo, nous avons appris que nous pouvons utiliser le théorème de De Moivre pour trouver des racines arbitraires de nombres complexes. Nous avons vu que si 𝑧 un est l’une des racines 𝑛 ième d’un nombre complexe, ses autres routes sont données par 𝑧 un 𝜔, 𝑧 un 𝜔 au carré, jusqu’à 𝑧 un 𝜔 à la puissance 𝑛 moins un. Et c’est là que 𝜔 est la racine primitive de l’unité. Nous avons également vu que nous pouvons utiliser les propriétés géométriques des racines des nombres complexes pour nous aider à trouver les coordonnées des polygones réguliers tracés dans le plan.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.