Dans cette fiche explicative, nous apprendrons à utiliser la formule de Moivre pour déterminer les racines d’un nombre complexe et à étudier leurs propriétés.
Nous souhaitons déterminer les solutions complexes aux équations de la forme , où est un entier positif et est un nombre complexe donné. Les solutions aux équations sous cette forme sont appelées racines de . En particulier, lorsque , on rappelle que l’équation a solutions complexes distinctes , qu’on appelle les racines de l’unité. Dans cette fiche explicative, nous voulons remplacer le côté droit de cette équation par un nombre complexe général et déterminer les racines d’un nombre complexe arbitraire.
Commençons par un exemple où nous calculerons la racine carrée d’un nombre complexe en utilisant des méthodes algébriques.
Exemple 1: Déterminer les racines carrées de nombres complexes sous forme cartésienne
Sachant que , déterminez les racines carrées de sans le convertir sous forme trigonométrique.
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer les racines carrées d’un nombre complexe sans le convertir sous forme trigonométrique. On peut commencer par noter la racine carrée de sous la forme avec des variables réelles et . Étant donné que ce nombre complexe est une racine carrée de , on peut écrire
On peut développer le carré au côté gauche de cette équation pour obtenir
Par conséquent,
Rappelons que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelle et imaginaire sont égales. Par conséquent, l’équation ci-dessus conduit à
Bien que ces deux équations soient suffisantes pour déterminer les deux inconnues et , ce système d’équations est difficile à résoudre. Nous allons donc utiliser une autre équation impliquant et . On rappelle que la propriété du module nous indique que pour tout nombre complexe , . Puisque nous avons , cela nous donne
On rappelle que le module d’un nombre complexe est donné par . Par conséquent,
Maintenant, nous pouvons utiliser le système d’équations
L’addition des deux équations conduit à , soit . Par conséquent, . En soustrayant ces deux équations, on obtient , soit ; par conséquent, .
À première vue, il semble que nous ayons quatre solutions, car et . Cependant, il faut se souvenir que et doivent encore vérifier notre équation précédente . En particulier, le produit de et doit être positif. Cela limite nos couples de solutions à
Nous pouvons vérifier que ces deux couples vérifient l’équation . Cela nous donne les racines et .
Ainsi, les racines carrées de sont
Dans l’exemple précédent, nous avons utilisé la méthode algébrique pour déterminer les racines carrées d’un nombre complexe donné. Bien que cette méthode fonctionne pour déterminer des racines carrées, elle ne peut pas être généralisée pour déterminer des racines d’ordre supérieur. Pour calculer des racines d’ordre supérieur, il est préférable de convertir un nombre complexe sous forme polaire ou exponentielle et d’appliquer la formule de Moivre pour les racines.
La formule de Moivre pour les racines
Pour un nombre complexe sous forme polaire , les racines sont
De manière équivalente, pour un nombre complexe sous forme exponentielle , ses racines peuvent être écrites comme
Dans l’exemple suivant, nous appliquerons la formule de Moivre pour déterminer les racines carrées d’un nombre complexe donné.
Exemple 2: Déterminer les racines carrées de nombres complexes en utilisant la formule de Moivre
Utilisez la formule de Moivre pour déterminer les deux racines carrées de .
Réponse
Dans cet exemple, nous devons calculer la racine carrée d’un nombre complexe donné sous forme polaire. Nous rappelons la formule de Moivre pour les racines, qui dit que pour un nombre complexe , les racines de sont données par
Nous pouvons utiliser la formule de Moivre pour calculer les racines, mais nous devons d’abord nous assurer de commencer avec la forme correcte , qui est la forme polaire d’un nombre complexe. La forme donnée est semblable à la forme polaire, mais elle en diffère en raison du signe négatif à l’intérieur de la parenthèse. Pour remédier à cela, nous rappelons les identités de parité des fonctions sinus et cosinus
Par conséquent, nous pouvons réécrire le nombre complexe donnée sous la forme
Maintenant que nous avons la forme polaire de notre nombre complexe, nous pouvons utiliser les valeurs et . Aussi, comme on cherche la racine carrée, on peut utiliser , ce qui signifie que . En substituant ces valeurs dans la formule de Moivre ci-dessus, les racines carrées sont données par
Convertissons ces racines carrées sous forme cartésienne. Nous savons que . De plus, en utilisant le cercle unité, nous pouvons déterminer les rapports trigonométriques
En substituant ces valeurs dans les racines, nous obtenons
En développant les parenthèses, on obtient les racines carrées et .
Ainsi, les deux racines carrées de sont .
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé les racines carrées d’un nombre complexe donné en utilisant la formule de Moivre pour les racines. Cette méthode peut être généralisée pour les racines d’ordre supérieur car la formule de Moivre peut s’appliquer aux racines générales.
Dans l’équation suivante, nous allons déterminer les racines cinquièmes d’un nombre complexe et les représenter sur le plan complexe d’Argand.
Exemple 3: Racines d’un nombre complexe
- Résolvez .
- En représentant ces solutions sur le plan complexe d’Argand ou autrement, décrivez les propriétés géométriques des solutions.
Réponse
Partie 1
Dans cette partie, nous devons calculer une racine cinquième du nombre complexe sous forme cartésienne . Nous rappelons la formule de Moivre pour les racines, qui dit que pour un nombre complexe sous forme exponentielle , les racines de sont données par
Nous pouvons utiliser la formule de Moivre pour déterminer les racines cinquièmes, mais nous devons d’abord convertir le nombre complexe donné sous forme exponentielle. Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe de module et d’argument est .
On commence par déterminer le module et l’argument de afin de l’exprimer sous forme polaire. Rappelons que le module d’un nombre complexe est donnée par . On peut déterminer le module du nombre complexe donné en substituant et , ce qui donne
Par conséquent, . Aussi, nous rappelons que l’argument d’un nombre complexe situé dans le premier quadrant du plan complexe d’Argand est donné par . Puisque et sont tous les deux positifs pour notre nombre complexe, nous savons que notre nombre complexe se situe dans le premier quadrant. Son argument est alors donné par
Par conséquent, . La forme exponentielle de est alors
On peut maintenant déterminer les solutions de l’équation
On peut déterminer les racines cinquièmes en appliquant la formule de Moivre pour les racines avec , , , ce qui donne
Ainsi, en considérant toutes les valeurs de , les solutions sont
Nous rappelons que l’argument d’un nombre complexe, par convention, doit se situer dans l’intervalle standard . Les deux dernières racines cinquièmes ont pour arguments et , qui ne se situent pas dans cet intervalle. Étant donné que ces arguments sont au-dessus de la limite supérieure, on peut obtenir un argument équivalent en soustrayant une révolution complète radians de cette valeur :
En utilisant ces arguments dans l’intervalle standard, les deux dernières racines cinquièmes peuvent être écrites comme et . Ainsi, les racines cinquièmes de sont
Partie 2
Dans cette partie, nous devons représenter graphiquement les racines cinquièmes obtenues à la partie précédente dans le plan complexe d’Argand. Les racines cinquièmes de la partie précédente sont sous forme exponentielle, et nous rappelons qu’un nombre complexe sous forme exponentielle a pour module et pour argument . En observant les racines cinquièmes de la partie précédente, nous pouvons voir que le module de toutes les racines cinquièmes est égal à 2. Cela signifie que toutes les racines cinquièmes se situent sur un cercle centré à l’origine et de rayon 2 dans le plan complexe d’Argand.
On peut aussi voir que leurs arguments forment une suite arithmétique
À partir du terme initial , les arguments augmentent selon la raison . Cela signifie qu’en commençant par le point sur le cercle à l’angle radians, qui est un angle de radians à partir de l’axe réel positif dans le plan complexe d’Argand, nous pouvons tourner de dans le sens antihoraire sur le cercle quatre fois pour obtenir toutes les racines cinquièmes.
Voici une représentation de ces nombres complexes dans le plan complexe d’Argand.
D’après le plan complexe d’Argand ci-dessus, nous pouvons voir que les racines se situent aux sommets d’un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 2 centré à l’origine.
Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé les racines cinquièmes d’un nombre complexe et avons observé que ces racines forment les sommets d’un polygone régulier inscrit dans un cercle dans le plan complexe d’Argand. On rappelle que cette propriété exacte reste vraie pour les racines de l’unité, où un sommet est à la racine triviale de l’unité, soit 1.
Dans l’exemple suivant, nous montrerons la relation entre les raines de l’unité et les racines arbitraires d’un nombre complexe.
Exemple 4: Relation entre les racines arbitraires et les racines de l’unité
- Déterminez les solutions de l’équation . Quelles sont leurs propriétés géométriques ?
- Indiquez les racines 6e de l’unité.
- Quelle est la relation entre les racines 6e de l’unité et les solutions de l’équation ?
Réponse
Partie 1
Nous savons que les solutions de l’équation sont les racines sixièmes du nombre complexe au côté droit de l’équation. Nous rappelons la formule de Moivre pour les racines, qui dit que les racines d’un nombre complexe sont données par
En appliquant la formule de Moivre avec , les racines de l’équation sont données par
Nous savons que , ce qui nous donne . En substituant chaque valeur de et en simplifiant de sorte que les arguments de chaque nombre complexe se situent dans l’intervalle standard , nous avons
Maintenant, représentons ces nombres dans le plan complexe d’Argand. On rappelle qu’un nombre complexe sous forme exponentielle a pour module et pour argument . En observant les racines sixièmes ci-dessus, nous pouvons voir que le module de toutes les racines est égal à . Cela signifie que toutes les racines sixièmes se situent sur un cercle centré à l’origine de rayon dans le plan complexe d’Argand.
On peut aussi voir que leurs arguments forment une suite arithmétique
À partir du terme initial , les arguments augmentent selon la raison . Cela signifie qu’en commençant par le point sur le cercle à l’angle radians, qui est un angle de radians à partir de l’axe réel positif du plan complexe d’Argand, nous pouvons tourner de sur le cercle dans le sens antihoraire cinq fois pour obtenir toutes les racines sixièmes.
En traçant ces racines dans le plan complexe d’Argand, nous voyons qu’elles se situent aux sommets d’un hexagone régulier centré à l’origine, inscrit dans un cercle de rayon .
Partie 2
Rappelons que les racines de l’unité sous forme exponentielle sont données par
En remplaçant et en déterminant des arguments équivalents dans l’intervalle , on obtient les racines sixièmes de l’unité :
Partie 3
Géométriquement, nous rappelons que les racines sixièmes de l’unité forment les sommets d’un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité avec un sommet au nombre réel 1. En comparant cette propriété avec la figure de la racine sixième donnée dans la première partie, on peut voir que les racines sont dilatées par un facteur d’échelle et tournées de radians dans le sens antihoraire.
On rappelle la propriété géométrique pour la multiplication d’une paire de nombres complexes : pour deux nombres complexes non nuls et ,
- ,
- .
Par conséquent, dilater un nombre complexe par un facteur d’échelle de et tourner dans le sens antihoraire de radians équivaut à multiplier un nombre complexe par un autre nombre ayant pour module et pour argument . Ce nombre peut être écrit sous forme exponentielle comme .
Cela nous indique que nous pouvons obtenir les racines sixièmes de notre nombre en multipliant les racines sixièmes de l’unité par . Nous pouvons vérifier cela en utilisant la propriété de multiplication des nombres complexes sous forme polaire. Nous rappelons que
Ainsi, en multipliant chacune des racines sixièmes de l’unité par ,
Ainsi, les solutions de l’équation sont les racines 6e de l’unité multipliées par .
Dans les exemples précédents, nous avons remarqué que certaines racines d’un nombre complexe forment les sommets d’un hexagone régulier centré à l’origine. On peut généraliser cette observation à toute racine d’un nombre complexe. La formule de Moivre pour les racines nous dit que les racines d’un nombre complexe sous forme exponentielle sont données par
De cette expression, nous pouvons voir que toutes ces racines ont le même module, qui est . Cela nous indique que tous ces nombres complexes se situent sur un cercle centré à l’origine de rayon dans le plan complexe d’Argand. Aussi, nous pouvons voir que les arguments de ces nombres complexes forment une suite arithmétique de termes, de terme initial et de raison . Pour représenter ces racines dans le plan complexe d’Argand, nous pouvons placer le premier point d’argument sur le cercle centré en l’origine de rayon . Ensuite, on peut tourner dans le sens antihoraire fois de pour obtenir les racines restantes. Nous notons que cette méthode aura toujours pour résultat un polygone régulier inscrit dans le cercle. Résumons cela ci-dessous.
Propriété : Racines arbitraires d’un nombre complexe dans le plan complexe d’Argand
Dans le plan complexe d’Argand, les racines d’un nombre complexe de module et d’argument forment les sommets d’un polygone régulier à côtés inscrit dans un cercle de rayon , dont l’un des sommets est le point du cercle d’argument .
En utilisant le même raisonnement que l’exemple précédent, nous pouvons utiliser cette propriété géométrique pour relier des racines arbitraires d’un nombre complexe aux racines de l’unité. Nous savons que les racines de l’unité forment un polygone régulier à côtés inscrit dans le cercle unité, où un sommet est à la racine triviale de l’unité 1. Par conséquent, le polygone à côtés représentant les racines arbitraires d’un nombre complexe de module et d’argument peut être obtenu en dilatant le polygone à côtés des racines de l’unité par un facteur d’échelle et en tournant dans le sens antihoraire selon un angle de radians. Cela est l’effet produit en multipliant chaque racine de l’unité par le nombre complexe .
Cela conduit à la propriété suivante.
Propriété : Racines arbitraires d’un nombre complexe et racines 𝑛-ièmes de l’unité
Les racines d’un nombre complexe de module et d’argument peuvent être obtenues en multipliant chaque racine de l’unité par .
Considérons une application géométrique de la propriété pour les racines arbitraires d’un nombre complexe.
Exemple 5: Coordonnées des polygones réguliers à l’origine
Déterminez les coordonnées des sommets d’un pentagone régulier centré à l’origine avec un sommet en . Donnez votre réponse en coordonnées cartésiennes exactes.
Réponse
Dans ce problème, nous devons identifier les coordonnées cartésiennes des sommets d’un polygone régulier. Nous pouvons résoudre ce problème en utilisant la propriété géométrique des racines arbitraires d’un nombre complexe. Rappelons que, dans le plan complexe d’Argand, les racines d’un nombre complexe de module et d’argument forment les sommets d’un polygone régulier à côtés inscrit dans un cercle de rayon , où l’un des sommets est le point sur le cercle d’argument .
Pour résoudre ce problème, supposons que le pentagone régulier est dans le plan complexe d’Argand plutôt que dans le plan cartésien, où les coordonnées cartésiennes correspondent au nombre complexe dans le plan complexe d’Argand. Nous allons d’abord déterminer les nombres complexes correspondant aux cinq sommets du pentagone régulier dans le plan complexe d’Argand. Ensuite, nous pourrons convertir les nombres complexes en coordonnées du plan cartésien en utilisant cette relation. Comme nous avons un pentagone régulier centré à l’origine, ce pentagone peut être inscrit dans un cercle.
D’après la propriété des racines arbitraires d’un nombre complexe, les sommets de ce pentagone dans le plan complexe d’Argand correspondent aux racines cinquièmes d’un nombre complexe. Déterminons ce nombre complexe.
On nous dit qu’un sommet a pour coordonnées cartésiennes , ce qui correspond au nombre complexe dans le plan complexe d’Argand. Cela nous dit que est une racine cinquième de notre nombre complexe et les autres sommets du pentagone représentent les autres racines cinquièmes du même nombre. On peut déterminer les autres racines cinquièmes en calculant puis appliquant la formule de Moivre pour les racines afin de déterminer les racines cinquièmes de ce nombre, mais il est plus simple d’utiliser la propriété des racines de nombres complexes.
Nous savons qu’il y a nombres complexes distincts, qui sont les racines d’un nombre complexe donné. Les modules de toutes les racines sont égaux, et les arguments des racines d’un nombre complexe forment une suite arithmétique de raison . Dans cet exemple, nous savons que l’une des racines cinquièmes d’un nombre complexe est . Ainsi, le module de ce nombre complexe est aussi le module des quatre autres racines cinquièmes du même nombre complexe. Aussi, en partant de l’argument de , on peut former une suite arithmétique de raison de 5 termes pour obtenir les arguments des quatre autres racines cinquièmes.
Déterminons le module et l’argument de . Rappelons que le module d’un nombre complexe est donné par . On peut déterminer le module du nombre complexe donné en substituant et , ce qui nous donne
Par conséquent, le module de est , qui est aussi le module des quatre autres racines cinquièmes.
Ensuite, calculons l’argument de ce nombre. On rappelle que l’argument d’un nombre complexe situé dans le premier quadrant du plan complexe d’Argand est donné par . Puisque et sont tous les deux positifs pour notre nombre complexe donné, nous savons que notre nombre complexe se situe dans le premier quadrant. Son argument est alors donné par
Par conséquent, l’argument de est radians. Nous pouvons calculer les arguments des quatre autres racines cinquièmes en formant une suite arithmétique commençant par cet argument et de raison . On peut écrire
Nous rappelons que l’argument d’un nombre complexe, par convention, doit se situer dans l’intervalle standard . Les trois derniers arguments sont plus grands que , donc nous allons soustraire une révolution complète radians de ces arguments pour écrire les arguments équivalents , et respectivement.
Enfin, nous rappelons qu’un nombre complexe de module et d’argument peut être exprimé sous forme polaire
Les racines cinquièmes sont alors
La première racine peut être simplifiée en utilisant . Lorsque nous substituons ces valeurs à la première racine, nous obtenons qui est la première racine avec laquelle nous avons commencé. Les autres racines ne se simplifient pas car leurs arguments n’appartiennent pas aux angles spéciaux du cercle unité. Nous pouvons développer les parenthèses pour chacune de ces racines pour les écrire comme
Ce sont les sommets du pentagone régulier dans le plan complexe d’Argand. On peut déterminer les coordonnées cartésiennes équivalentes de ces points en reliant un nombre complexe aux coordonnées cartésiennes .
Ainsi, les coordonnées du pentagone régulier centré en l’origine avec un sommet en sont
Jusqu’à présent, nous avons discuté des propriétés des racines arbitraires d’un nombre complexe. D’après les exemples précédents, il est évident que, pour tout nombre complexe , l’expression a plusieurs valeurs possibles. Pour des nombres complexes, on dira que de telles expressions sont à valeurs multiples.
Dans le dernier exemple, nous identifierons toutes les valeurs possibles d’une expression à valeurs multiples.
Exemple 6: Expressions impliquant les racines 𝑛-ièmes
Déterminez les valeurs réelles possibles de .
Réponse
Dans l’expression donnée, nous notons les termes et , qui sont la racine cubique de et l’inverse de celle-ci. On sait qu’étant donné un nombre complexe , il existe valeurs distinctes, qui sont ses racines . Cela signifie que l’expression a trois valeurs possibles et donc que son inverse a également trois valeurs possibles. Identifions d’abord toutes les valeurs possibles de ces expressions.
Pour déterminer la racine cubique de , nous rappelons la formule de Moivre pour les racines, qui dit que pour un nombre complexe sous forme exponentielle , les racines de sont données par
Pour appliquer cette formule, il faut d’abord écrire sous forme exponentielle. Rappelons que la forme exponentielle d’un nombre complexe de module et d’argument est . On sait que le nombre complexe a pour module 1. Nous savons aussi qu’il se situe sur l’axe imaginaire positif dans le plan complexe d’Argand, ce qui signifie que son argument est . Par conséquent,
Ensuite, nous pouvons appliquer la formule de Moivre avec pour déterminer les valeurs possibles de :
Cela nous donne
Ensuite, déterminons toutes les valeurs possibles de l’expression . On peut écrire par conséquent, on peut déterminer toutes les valeurs possibles de cette expression en élevant chaque valeur de à la puissance . Nous rappelons la formule de Moivre pour les puissances entières d’un nombre complexe, qui dit que les puissances d’un nombre complexe sont données par
En appliquant cette formule pour à chaque valeur possible de , on obtient
Par conséquent, il y a trois valeurs possibles pour et trois valeurs possibles pour . À première vue, il semblerait que nous ayons neuf possibilités différentes pour la somme de ces deux expressions, mais les sommes pourraient avoir la même valeur.
Pour additionner deux nombres complexes, il est plus facile de les convertir d’abord sous forme cartésienne. Rappelons que nous pouvons convertir un nombre complexe de forme exponentielle vers la forme cartésienne en calculant
Par conséquent,
On peut simplifier les expressions pour en rappelant les identités
On peut donc écrire
En utilisant le cercle unité, nous pouvons déterminer les rapports trigonométriques
En substituant ces valeurs, on obtient
Nous pouvons écrire les neuf combinaisons différentes pour déterminer les valeurs possibles de . Nous devons nous souvenir de multiplier le résultat par à la fin. Ensuite, nous pouvons calculer la somme grâce à un tableau où la première ligne contient les valeurs possibles de et la première colonne les valeurs possibles de :
| 0 | |||
| 0 | |||
| 0 |
Cela nous donne sept valeurs distinctes pour la somme, qui sont
En multipliant chaque nombre par , toutes les valeurs possibles pour l’expression à valeurs multiples donnée sont
La question portait sur les valeurs réelles, la réponse est donc .
Récapitulons maintenant les points que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Tout nombre complexe non nul a valeurs distinctes pour l’expression , qu’on appelle les racines de . Nous pouvons déterminer les racines d’un nombre complexe en appliquant la formule de Moivre pour les racines.
- Dans le plan complexe d’Argand, les racines d’un nombre complexe de module et d’argument forment les sommets d’un polygone régulier à côtés inscrit dans un cercle de rayon , où l’un des sommets est le point du cercle d’argument .
- Les racines d’un nombre complexe de module et d’argument peuvent être obtenues en multipliant chacune des racines de l’unité par .
