Transcription de la vidéo
Sachant que 𝑥 plus 𝑦𝑖 est égal à quatre plus deux 𝑖 sur un moins deux 𝑖 le tout à la puissance un demi, déterminez toutes les valeurs réelles possibles de 𝑥 et 𝑦.
On nous donne un nombre complexe 𝑧 est égal à 𝑥 plus 𝑦𝑖. On nous dit qu’il s’agit de la racine carrée d’un autre nombre complexe quatre plus deux 𝑖 sur un moins deux 𝑖. La première chose que nous allons faire est de simplifier le nombre complexe entre parenthèses. Nous multiplions donc le numérateur et le dénominateur de notre nombre complexe par le conjugué complexe du dénominateur. Nous pouvons le faire parce que nous multiplions en fait par un et que tout ce qui est multiplié par un ne varie pas. Nous notons que le dénominateur vaut un moins deux 𝑖. Par conséquent, le conjugué complexe est un plus deux 𝑖.
Maintenant, en multipliant nos numérateurs, nous obtenons quatre fois un, soit quatre, plus quatre fois deux 𝑖, ce qui donne huit 𝑖, plus deux 𝑖 fois un, ce qui vaut deux 𝑖, plus deux 𝑖 fois deux 𝑖, ce qui donne quatre 𝑖 au carré. Au dénominateur, nous avons un fois un plus un fois deux 𝑖 plus moins deux 𝑖 fois un plus moins deux 𝑖 fois plus deux 𝑖. Nous obtenons moins quatre 𝑖 au carré.
Maintenant, rappelez-vous que 𝑖 est la racine carrée de moins un, de sorte que 𝑖 au carré est en fait égal à moins un, de sorte qu’au numérateur, quatre 𝑖 au carré est moins quatre. Au dénominateur, moins quatre 𝑖 au carré vaut moins quatre fois moins un, soit quatre. Au numérateur, nous avons huit 𝑖 plus deux 𝑖 ; cela donne 10𝑖. Au dénominateur, deux 𝑖 moins deux 𝑖 donne zéro. Nous avons donc quatre plus 10𝑖 moins quatre sur un plus quatre, soit 10𝑖 sur cinq, soit deux 𝑖. Cela signifie que dans les parenthèses, nous avons simplement deux 𝑖, de sorte que 𝑧 est la racine carrée de deux 𝑖. Cela signifie également que 𝑧 au carré est égal à deux 𝑖.
Seulement, rappelez-vous que 𝑧 est en fait 𝑥 plus 𝑦𝑖. Ainsi, 𝑧 au carré est 𝑥 plus 𝑦𝑖 au carré et cela équivaut à deux 𝑖. En distribuant les parenthèses sur le côté gauche, nous avons 𝑥 au carré plus deux 𝑖𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré fois 𝑖 au carré est égal à deux 𝑖. En rappelant à nouveau que 𝑖 carré vaut moins un, cela nous donne 𝑥 carré plus deux 𝑖𝑥𝑦 moins 𝑦 carré est égal à deux 𝑖.
En faisant un peu d’espace, nous pouvons comparer maintenant les parties réelles et imaginaires, de sorte que 𝑥 carré moins 𝑦 carré est égal à zéro car il n’y a pas de partie réelle sur le côté droit. Pour la partie imaginaire, nous avons deux 𝑥𝑦 est égal à deux.
Maintenant, rappelons simplement que, pour un nombre complexe 𝑧 égal à 𝑎 plus 𝑖𝑏, le module de 𝑧 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré, de sorte que le module de 𝑧 tout au carré est 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Nous pouvons noter aussi que ceci est égal au module de 𝑧 au carré. Si nous appliquons cela maintenant à 𝑧 au carré, nous avons le module de 𝑧 au carré est égal au module de deux 𝑖. Cela est égal au module de 𝑧 le tout au carré, qui est le module de 𝑥 plus 𝑦𝑖 le tout au carré. Puisque 𝑥 correspond à 𝑎 et 𝑦 correspond à 𝑏, le module de 𝑧 au carré est 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré.
Maintenant, le module de deux 𝑖 est la racine carrée de zéro au carré, car il n’y a pas de partie réelle, plus deux au carré. Cela donne la racine carrée positive de quatre, soit deux. Nous avons donc 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à deux. Nous pouvons ajouter cela à nos d’équations.
Si nous appelons l’équation 𝑥 carré moins 𝑦 carré est égal à zéro « équation un » et la deuxième équation 𝑥 carré plus 𝑦 carré est égal à deux « équation deux », nous avons un système en fonction de 𝑥 et 𝑦 que nous pouvons résoudre. Si nous ajoutons les équations un et deux, nous avons deux 𝑥 au carré est égal à deux, de sorte que 𝑥 au carré est égal à un. En prenant la racine carrée des deux côtés, nous avons 𝑥 est égal à plus ou moins un.
Maintenant, si nous revenons à la première équation, l’équation un, qui est 𝑥 au carré moins 𝑦 au carré est égal à zéro, cela nous dit que 𝑥 au carré est égal à 𝑦 au carré. Si 𝑥 est égal à plus ou moins un, alors 𝑥 au carré est égal à un. Cela signifie que 𝑦 au carré est égal à un. En prenant les racines carrées des deux côtés, nous avons 𝑦 est égal à plus ou moins un.
Maintenant, si nous regardons la troisième équation, deux 𝑥𝑦 est égal à deux, en divisant par deux, cela nous donne 𝑥 fois 𝑦 est égal à un. Cela nous dit que 𝑥 et 𝑦 doivent avoir le même signe car un positif multiplié par un positif est un positif et un négatif multiplié par un négatif est également positif. Ainsi 𝑥 est égal à plus ou moins un, 𝑦 est égal à plus ou moins un et ils doivent tous deux avoir le même signe. Ainsi, lorsque 𝑥 vaut plus un, 𝑦 vaut plus un. Quand 𝑥 vaut moins un, 𝑦 vaut aussi moins un.
Ainsi, si 𝑥 plus 𝑦𝑖 est le nombre complexe quatre plus deux 𝑖 sur un moins deux 𝑖 le tout à la puissance un demi, toutes les valeurs réelles possibles de 𝑥 et 𝑦 sont un, un et moins un, moins un.
