Video Transcript
Soit 𝑧 un nombre complexe dont l’argument principal est 𝜃 égale à 11𝜋 sur 12, déterminez l’argument principal de 10𝑧.
Rappelez-vous que l'argument d'un nombre complexe est l'angle formé entre le segment joignant le nombre complexe à l'origine et l'axe des réels positifs. Puisque cet angle est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, un argument de 11𝜋 sur 12 radians correspondra à un nombre complexe placé dans le deuxième quadrant. Que signifie donc l'argument principal d'un nombre complexe ? L'argument principal d'un nombre complexe est compris dans l'intervalle ouvert-fermé moins 𝜋 à 𝜋 radians. Donc, pour tout argument, en particulier un argument supérieur à 𝜋 ou inférieur à moins 𝜋, on peut ajouter ou soustraire des multiples de deux 𝜋 pour s'assurer que notre argument se situe dans l'intervalle de l'argument principal.
Maintenant, on nous dit que l'argument principal de 𝑧 est 11𝜋 sur 12. Mais que signifie-t-il pour l'argument principal de 10𝑧 ? Examinons d'abord une méthode algébrique, puis nous envisagerons une représentation géométrique. Imaginez que l'on nous donne le nombre complexe sous forme exponentielle : 𝑧 égale 𝑟𝑒 à la puissance 𝑖𝜃. Or ici 𝜃 est l'argument et 𝑟 est le module du nombre complexe. Celui-ci représente simplement la distance entre le point du plan complexe et l'origine. Et que se passe-t-il quand on multiplie ce nombre complexe par 10 ? On multiplie l'expression 𝑟𝑒 à la puissance 𝑖𝜃 par 10. Donc 10𝑧 est 10𝑟𝑒 à la puissance 𝑖𝜃.
On remarque que la valeur de 𝜃 reste inchangée en multipliant l'expression par 10. Ainsi, si l'argument du nombre complexe 𝑧 est une certaine valeur 𝜃, la multiplication de l'expression par une constante ne changera pas l'argument. Donc l'argument de 10𝑧 est 11𝜋 sur 12. Cela prend tout son sens si on y réfléchit géométriquement. Imaginez que l'on place le nombre complexe 10𝑧 dans le plan complexe. Il s'agit essentiellement d'une dilatation du plan complexe par un facteur d'échelle de 10. Cela n'affecte pas l'argument, mais seulement la norme ou le module de notre nombre complexe. De toute manière, on a montré que l'argument de 10𝑧 est 11𝜋 sur 12.
