Transcription de la vidéo
Une particule se déplace en mouvement rectiligne telle que sa vitesse au temps 𝑡 secondes est donnée par 𝑣 est égal à moins sinus quatre 𝑡 plus 14 mètres par seconde, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Sachant que sa position initiale est 𝑟 zéro est égal à 13 mètres, exprimez sa position au temps 𝑡 secondes.
Dans la question, on nous dit qu'une particule se déplace en mouvement rectiligne telle que sa vitesse après 𝑡 secondes est donnée par moins sinus de quatre 𝑡 plus 14 mètres par seconde. On nous dit que cela n'est valable que pour des valeurs de 𝑡 supérieures ou égales à zéro. On nous indique également que la position initiale de notre particule 𝑟 zéro est de 13 mètres. La question nous demande d'utiliser ces informations pour trouver une expression de la position de notre particule après 𝑡 secondes.
Puisqu’on nous donne la vitesse de notre particule, nous pouvons nous rappeler que la vitesse de notre particule est en fait le taux de variation du déplacement par rapport au temps. La vitesse est donc la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡. Aussi, l'inverse de cette affirmation est également vrai. Le déplacement de notre particule après 𝑡 secondes est une primitive de la vitesse par rapport au temps. Puisque notre particule se déplace en ligne droite, nous pouvons mesurer sa position en mesurant son déplacement. Ainsi, si nous intégrons moins sinus de quatre 𝑡 plus 14 par rapport à 𝑡, nous obtenons une expression de la fonction de déplacement avec une constante d'intégration.
Pour calculer cette intégrale, rappelons que pour les constantes 𝑎 et 𝑏, où 𝑏 n'est pas nulle, l'intégrale de 𝑎 fois sinus 𝑏𝑡 par rapport à 𝑡 est égale à moins 𝑎 fois cosinus 𝑏𝑡 sur 𝑏 plus une constante d'intégration 𝐶. Nous pouvons alors utiliser ce résultat pour calculer notre intégrale. Nous obtenons moins un fois moins cosinus quatre 𝑡 sur quatre. Rappelons que la primitive d'une constante est juste égale à cette constante fois 𝑡. Nous intégrons donc 14 pour obtenir 14𝑡. Ensuite, nous ajoutons une constante d'intégration que nous appellerons 𝐶.
Nous pouvons simplifier cette expression. Nous savons que moins un fois moins un donne simplement un. Ainsi, nous avons montré que le déplacement de notre particule après 𝑡 secondes est donné par cosinus quatre 𝑡 sur quatre plus 14𝑡 plus 𝐶. Il s'agit d'une solution générale car nous ne connaissons pas la valeur de 𝐶. Pour nous aider à trouver la valeur de 𝐶, nous rappelons que la position initiale de notre particule, 𝑟 zéro, vaut 13. En substituant 𝑡 est égal à zéro dans notre équation du déplacement, nous obtenons que 𝑠 en zéro est égale à cosinus quatre fois zéro sur quatre plus 14 fois zéro plus 𝐶. 𝑠 calculé en zéro serait le déplacement de notre particule après zéro seconde. Ce serait le déplacement initial de notre particule. Or, nous savons que cette valeur est égale à 13.
Nous pouvons simplifier cette expression. 14 fois zéro donne zéro et quatre fois zéro donne zéro. De plus, nous savons que cosinus zéro vaut un. Nous avons donc notre déplacement initial 13 qui est égal à un quart plus 𝐶. En soustrayant un quart des deux côtés de cette équation, nous obtenons que 𝐶 est égal à 13 moins un quart. Nous pouvons calculer cela et obtenir 51 sur quatre. Nous avons donc montré que 𝐶 correspond à 51 divisé par quatre. Nous pouvons substituer cela dans notre équation pour le déplacement de notre particule après 𝑡 secondes. Cela nous donne 𝑠 de 𝑡 est égal à 14𝑡 plus un quart fois cosinus quatre 𝑡 plus 51 divisé par quatre.
Puisque toutes nos unités sont données en mètres et en secondes et que ceci représente le déplacement après 𝑡 secondes, nous pouvons ajouter les unités de mètres. Par conséquent, nous avons une particule qui se déplace en ligne droite, sa vitesse après 𝑡 secondes est donnée par moins sinus quatre 𝑡 plus 14 mètres par seconde, où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, et sa position initiale est de 13 mètres. Ainsi, le déplacement de la particule après 𝑡 secondes est donné par 14𝑡 plus un quart fois cosinus quatre 𝑡 plus 51 sur quatre mètres.
