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Déterminez les principaux rapports trigonométriques de l’angle 𝐶 sachant que 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐵, avec 20 fois tangente 𝐴 égale 21.
Ce que je pense que nous devrions faire ici, c’est dessiner un triangle pour nous aider à visualiser tous les rapports. Notre figure est basée sur le fait que la question nous dit que ce triangle est rectangle avec un angle droit en 𝐵. L’autre information qui nous a été donnée est que 20 fois tangente 𝐴 égale 21. Nous nous souvenons d’après nos rapports trigonométriques que la tangente de l’angle 𝐴 est la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent. Nous voulons essayer de prendre les informations qui nous ont été données ici, 20 fois tangente 𝐴 égale 21, et de les mettre dans le format opposé sur adjacent. Pour ce faire, nous devons diviser les deux membres de cette équation par 20. 20 divisé par 20 s’annule, ce qui nous donne tangente 𝐴 égale 21 sur 20.
Utilisons ces informations pour les mettre sur notre triangle. Notre point de départ est l’angle 𝐴. 21 peut être une longueur du côté opposé à l’angle 𝐴, et 20 peut être une longueur du côté adjacent à l’angle 𝐴. Nous cherchons les principaux rapports trigonométriques de l’angle 𝐶. Par principaux rapports trigonométriques, nous entendons le sinus de 𝐶, le cosinus de 𝐶 et la tangente de 𝐶. Le sinus de 𝐶 est la longueur du côté opposé sur l’hypoténuse, le cosinus de 𝐶 est la longueur du côté adjacent sur l’hypoténuse et la tangente de 𝐶 est la longueur du côté opposé sur la longueur du côté adjacent.
Actuellement, nous ne connaissons que deux longueurs de côtés. Nous connaissons la longueur du côté opposé à l’angle 𝐶 et la longueur du côté adjacent à l’angle 𝐶. Puisque nous connaissons la longueur du côté opposé et la longueur du côté adjacent, nous pouvons commencer par trouver la tangente. La longueur du côté opposé est de 20 et la longueur du côté adjacent est de 21. Mais comment trouvons-nous la longueur du côté 𝐴𝐶 ? Puisque ceci est un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore. Nous pouvons dire que 20 au carré plus 21 au carré égale 𝑐 au carré. 400 plus 441 égale 𝑐 au carré ; 841 égale 𝑐 au carré. Nous calculons la racine carrée des deux membres, et nous constatons que 𝑐 – la longueur de notre côté manquant, notre hypoténuse – égale 29.
Nous pouvons mettre sur notre triangle 29 pour l’hypoténuse, et nous avons maintenant assez d’informations pour compléter les deux autres rapports. En commençant par le sinus de 𝐶, la longueur du côté opposé est de 20 et l’hypoténuse est égale à 29. Notre dernier rapport à compléter est le cosinus de 𝐶. La longueur du côté adjacent est de 21 et encore une fois l’hypoténuse est de 29.
Les principaux rapports de trigonométrie pour l’angle 𝐶 sont : sinus 𝐶 égale 20 sur 29, cosinus 𝐶 égale 21 sur 29 et tangente 𝐶 égale 20 sur 21.
