Vidéo : Rapports trigonométriques

Apprenez les définitions de sinus, cosinus et tangente et comment déterminer des rapports trigonométriques dans des triangles rectangles. Cela inclut l’utilisation du théorème de Pythagore pour trouver une longueur requise afin d’écrire un rapport trigonométrique.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner les rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. Quels sont les noms donnés aux rapports qui existent entre les différentes paires de côtés dans un triangle rectangle. Commençons donc par regarder le triangle rectangle à l’écran ici. Et pour commencer, nous devons connaître les noms utilisés pour les côtés dans un triangle rectangle.

Maintenant, vous devriez déjà être familier avec le nom hypoténuse, qui est le nom donné au côté le plus long d’un triangle rectangle. Le côté opposé à l’angle droit. Et vous avez peut-être déjà rencontré cela dans le théorème de Pythagore. Les deux autres côtés d’un triangle rectangle ont également des noms particuliers. Et leurs noms sont en relation avec l’angle qui nous intéresse. Donc, dans ce triangle rectangle ici, j’ai étiqueté l’un des deux autres angles, ceux qui ne sont pas des angles droits. J’ai nommé l’un d’eux 𝜃. Les noms des côtés sont donc en relation avec cet angle 𝜃. La première étiquette est l’opposé. Et tout comme l’hypoténuse est opposée à l’angle droit, le côté opposé est celui opposé à cet angle 𝜃. Ce serait donc de ce côté-ci. Le nom que nous donnons au côté final, le troisième côté, est le côté adjacent. Et ce côté est adjacent ou à côté de cet angle 𝜃 et de l’angle droit. C’est entre ces deux-là. C’est ainsi que nous reconnaissons lequel des côtés est adjacent. Vous devez donc vous familiariser avec ces trois étiquettes : l’opposé, l’adjacent et l’hypoténuse. Et vous devez être à l’aise pour identifier quel côté est lequel dans différents triangles rectangles.

Donc, les trois rapports trigonométriques qui nous intéressent sont les rapports entre les différentes paires des côtés du triangle rectangle. Le premier que nous allons examiner porte le nom de sinus. Maintenant pour un angle particulier 𝜃, ce rapport sinus est le rapport entre l’opposé et l’hypoténuse. Donc, sa définition est que le sinus de l’angle 𝜃 est égal à l’opposé divisé par l’hypoténuse. Quelles que soient les longueurs de ces deux côtés. Le deuxième rapport est nommé cosinus ou souvent abrégé en cos. Et c’est le rapport entre l’adjacent et l’hypoténuse. Il est donc défini comme le cos de l’angle 𝜃 est égal à l’adjacent divisé par l’hypoténuse. Le rapport final est appelé tangente, souvent abrégé en tan. Et c’est le rapport entre les côtés opposé et adjacent. Donc, sa définition est que tan de l’angle 𝜃 est égal à l’opposé divisé par l’adjacent. Voilà donc comment ces trois rapports sont définis.

Et ce qui est important, c’est que ces rapports, pour un angle particulier 𝜃, ils sont fixes quelle que soit la taille que je choisis pour dessiner le triangle. Et donc, quelles que soient les longueurs de l’opposé, de l’adjacent et de l’hypoténuse. Pour un angle particulier 𝜃, les valeurs de ces trois rapports seront toujours les mêmes. Donc, si je devais étendre ce triangle, tout en gardant cet angle 𝜃 constant. La valeur de ce rapport sinus serait alors la même, que j’utilise l’opposé et l’hypoténuse tels qu’ils sont étiquetés dans ce triangle plein. Ou si j’utilise l’opposé et l’hypoténuse car ils sont maintenant marqués en rouge dans le plus triangle le plus grand. Dans les deux cas, lorsque je fais l’opposé divisé par l’hypoténuse, j’obtiendrai la même valeur pour ce rapport. Et bien sûr, la même chose est vraie pour le cosinus et pour la tangente également.

Maintenant, pour vous aider à vous souvenir des définitions de sinus, cosinus et tangente et des côtés impliqués, il existe un petit acronyme que vous pouvez utiliser pour vous aider. Et donc ce que nous faisons, c’est que nous prenons la première lettre de chacun de ces mots. Donc sin 𝜃 est égal à opposé sur hypoténuse. Cela nous donne donc SOH, S, O, H. Cos est égal à l’hypoténuse adjacente. Cela nous donne CAH, et ainsi de suite. Alors SOHCAHTOA. Si vous vous en souvenez, vous pourrez vous souvenir plus facilement des définitions de sinus, cosinus et tangente. Si vous vouliez vous convaincre que ces rapports sont en fait constants pour un angle fixe 𝜃, vous pourriez faire votre propre enquête. Donc, comme celui que j’ai commencé à l’écran, vous pouvez dessiner un triangle, mesurer ces côtés aussi précisément que possible et calculer les rapports. Et puis continuez vers un triangle moyen et un triangle plus grand et assurez-vous que les rapports restent les mêmes. Voyons donc comment nous pouvons l’utiliser pour répondre à certaines questions.

La première question, on nous donne une figure avec un triangle rectangle. Et on nous demande de noter la valeur de cos 𝜃.

Donc pour moi, quand je réponds à un problème de trigonométrie, la première étape pour moi est toujours d’étiqueter les trois côtés du triangle du problème avec leurs étiquettes. Donc l’opposé, l’adjacent et l’hypoténuse. Donc, je viens d’utiliser de la première lettre de ces mots. N’oubliez pas que l’hypoténuse est opposée à l’angle droit. L’opposé est opposé à l’angle 𝜃. Et l’adjacent est entre 𝜃 et l’angle droit. Maintenant, nous sommes interrogés sur le cos de 𝜃. Il nous faut donc rappeler la définition de cos de 𝜃. Et si vous vous souvenez de SOHCAHTOA, bien CAH est adjacent et hypoténuse. Donc, la définition de cos 𝜃 est que c’est l’adjacent divisé par l’hypoténuse. Ce que je dois faire alors est simplement d’écrire ce que ce rapport est pour ce triangle particulier. J’ai donc besoin de remplacer l’adjacent et l’hypoténuse par leurs valeurs dans cet exemple.

Donc, en regardant le triangle, le voisin est de 12 centimètres. Donc, je vais avoir cos 𝜃 est égal à 12 sur — et l’hypoténuse. En regardant la figure, c’est 13. Donc, j’ai ce cosinus de 𝜃, cos 𝜃, est égal à 12 sur 13. Donc, tout ce que j’avais à faire dans cette question était de rappeler la définition de cos, puis d’écrire le rapport en utilisant les valeurs qui sont spécifiques à cette question.

D’accord, notre deuxième question. On nous donne un autre triangle rectangle. Et l’angle qui nous intéresse est étiqueté 𝛼 cette fois plutôt que 𝜃. Et la question nous a demandé d’écrire la valeur du sinus de 𝛼.

Alors, première étape, comme dans la question précédente. Tout d’abord, je vais étiqueter chacun de ces trois côtés comme l’opposé, adjacent et l’hypoténuse. Ensuite, je dois rappeler quelle est la définition du sinus. Donc SOH, le sinus est l’opposé divisé par l’hypoténuse. Donc, en regardant la figure, je peux voir que je connais l’hypoténuse. C’est 10 millimètres. Mais je ne sais pas vraiment quel est le contraire. Cette longueur ne m’a pas été donnée sur la figure. Mais j’ai besoin de savoir pour noter ce rapport sinus. Il y a donc un peu de travail que je dois rappeler afin de résoudre ce problème. Et c’est le théorème de Pythagore. Parce que rappelez-vous, le théorème de Pythagore nous parle de la relation qui existe entre les trois côtés dans un triangle rectangle. Et ce que le théorème de Pythagore me permet de faire est de calculer la longueur du troisième côté, si je connais les deux autres. Et dans ce cas, je le fais. Je vois qu’ils sont de 10 millimètres et de six millimètres.

Maintenant, le théorème de Pythagore, vous le voyez souvent écrit comme 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré. Mais rappelez-vous, ce que le théorème nous dit réellement, c’est que si vous prenez les deux côtés les plus courts d’un triangle rectangle. Voilà donc 𝑎 et 𝑏. Et si vous les mettez au carré et les additionnez, cela vous donne le même résultat que si vous mettez au carré le côté le plus long, l’hypoténuse. Donc, je peux utiliser le théorème de Pythagore pour travailler sur la longueur de ce troisième côté. Maintenant, je ne vais pas l’appeler 𝑂 car cela pourrait être confondu avec zéro. Donc, je vais lui donner une autre lettre. Appelons ça 𝑏. Donc, dans mon travail pour cette partie de la question, je vais considérer ce troisième côté comme 𝑏. Donc ce que je vais faire, c’est que je vais écrire le théorème de Pythagore. Mais je vais remplacer 𝑎 par six et garder 𝑏 tel quel. Et je vais remplacer 𝑐 par 10. J’ai donc six au carré plus 𝑏 au carré est égal à 10 au carré.

Ensuite, je vais écrire ce que sont six au carré et 10 au carré. J’ai donc 36 plus 𝑏 au carré est égal à 100. Maintenant, je veux résoudre cette équation en 𝑏. Donc, je vais soustraire 36 des deux côtés. J’ai donc 𝑏 au carré est égal à 64. Et puis, pour travailler sur 𝑏, j’ai besoin de la racine carrée des deux côtés. Donc, je vais poser 𝑏 est égale à la racine carrée de 64, ce qui est égal à huit. Donc, cela me dit alors que la longueur de ce troisième côté, qui est l’opposé, doit être de huit millimètres. Maintenant, vous avez peut-être pu constater cela sans passer par le travail formel parce que six, huit, 10 est un exemple de triplet de Pythagore. Il s’agit d’un triangle rectangle, où les longueurs des trois côtés sont des entiers. Et si vous le saviez et le reconnaissiez, alors vous pourriez réduire un peu le travail ici.

Oui, la raison pour laquelle nous voulions connaître la longueur de ce troisième côté est parce que nous voulions noter le rapport sinus. Rappelez-vous donc que le sinus est l’opposé divisé par l’hypoténuse. Et maintenant je sais que l’opposé est de huit millimètres. Et l’hypoténuse fait 10 millimètres. Donc cela me dit alors que le sinus de 𝛼 doit être huit sur 10. Maintenant, cela pourrait être simplifié en quatre cinquièmes. Ou, nous pourrions l’écrire sous forme décimale. Nous avons donc notre réponse à cette question, qui est que le sinus de 𝛼 est égal à 0.8.

D’accord, le dernier exemple de cette vidéo alors.

On nous demande d’écrire ici la valeur de tan 𝜃 dans ce triangle rectangle.

Maintenant, on nous donne les longueurs des trois côtés dans ce triangle particulier. Nous n’allons pas en avoir besoin. Donc, comme toujours, nous devons étiqueter les trois côtés : l’hypoténuse, l’opposé et l’adjacent. Ensuite, nous devons rappeler quelle est la définition de ce rapport tangente. Donc TOA, tan est l’opposé divisé par l’adjacent. Donc regarder notre figure, nous allons utiliser l’opposé qui est la racine de deux sur deux et l’adjacent qui est un demi. Donc, parce que ces deux sont des fractions, je ne veux pas écrire l’une sur l’autre et finir avec une fraction qui contient quatre couches. Alors je vais écrire tan 𝜃 est la racine deux sur deux divisé par un demi, pour commencer.

Maintenant, je dois simplifier cela. Et il y a plusieurs façons de penser à cela. Diviser par un demi équivaut à multiplier par deux. Ou, vous pouvez penser quand vous divisez par une fraction, vous l’inversez. Vous la retournez. Et vous multipliez à la place. Ces deux façons de penser à ce sujet m’amèneraient au même point, à savoir que le tan de 𝜃 est égal à la racine deux sur deux multipliée par deux. Maintenant, ces deux au numérateur et ces deux au dénominateur vont s’annuler. Et donc, je me retrouve avec une réponse que tan 𝜃 est égal à la racine de deux. Donc, je vais laisser ma réponse comme ça sous forme radicale à cause bien sûr, qui est exact au moment. Alors que si j’essayais de l’évaluer en décimal, j’aurais besoin d’arrondir.

Donc, pour résumer, nous avons défini les trois rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente comme les rapports entre différentes paires de côtés dans un triangle rectangle. Nous avons vu comment reconnaître la différence entre sinus, cosinus et tangente en utilisant l’acronyme SOHCAHTOA. Et nous avons vu comment obtenir la valeur de chacun de ces rapports trigonométriques à partir de la figure d’un triangle rectangle avec différentes longueurs étiquetées.

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