Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons examiner les rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente. Ce sont les noms donnés aux rapports qui existent entre les différentes paires de côtés dans un triangle rectangle. Commençons donc par regarder le triangle rectangle illustré ici. Et pour commencer, nous devons connaître les noms utilisés pour les côtés dans un triangle rectangle.
Maintenant, vous devriez déjà être familiers avec le terme hypoténuse, qui est le nom donné au côté le plus long d’un triangle rectangle. C’est le côté opposé à l’angle droit. Et vous avez peut-être déjà vu cela dans le théorème de Pythagore. Les deux autres côtés d’un triangle rectangle ont également des noms particuliers. Et leurs noms sont en relation avec l’angle qui nous intéresse. Donc, dans ce triangle rectangle ici, j’ai étiqueté l’un des deux autres angles, ceux qui ne sont pas des angles droits. J’ai nommé l’un d’entre eux 𝜃. Les noms des côtés sont donc en relation avec cet angle 𝜃. Le premier nom est le côté opposé. Et tout comme l’hypoténuse est opposée à l’angle droit, le côté opposé est celui opposé à cet angle 𝜃. Ce serait donc ce côté. Le nom que nous donnons au dernier côté, le troisième côté, est le côté adjacent. Et il est adjacent ou situé à côté de cet angle 𝜃 et de l’angle droit. C’est entre ces deux-là. C’est ainsi que nous reconnaissons lequel des côtés est adjacent. Vous devez donc vous familiariser avec ces trois noms : le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Et vous devez maîtriser l’identification de chacun de ces côtés dans différents triangles rectangles.
Donc, les trois rapports trigonométriques qui nous intéressent sont les rapports entre les différentes paires des côtés du triangle rectangle. Le premier que nous allons examiner porte le nom de sinus. Maintenant pour un angle particulier 𝜃, ce rapport sinus est le rapport entre le côté opposé et l’hypoténuse. Donc, sa définition est que le sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse. Peu importe les longueurs de ces deux côtés. Le deuxième rapport est nommé cosinus ou souvent abrégé en cos. Et c’est le rapport entre le côté adjacent et l’hypoténuse. Il est donc défini comme suit : le cosinus de l’angle 𝜃 est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse. Le dernier rapport est appelé tangente, souvent abrégé en tan. Et c’est le rapport entre les côtés opposé et adjacent. Donc, sa définition est que tangente de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé divisé par le côté adjacent. Voilà donc comment ces trois rapports sont définis.
Et il est important de savoir que ces rapports, pour un angle particulier 𝜃, sont fixes quelle que soit la taille du triangle que je décide de tracer. Et donc, quelles que soient les longueurs du côté opposé, du côté adjacent et de l’hypoténuse. Pour un angle particulier 𝜃, les valeurs de ces trois rapports seront toujours les mêmes. Disons que je vais étendre ce triangle, tout en gardant cet angle 𝜃 constant. La valeur de ce rapport sinus serait alors la même, en utilisant le côté opposé et l’hypoténuse tels qu’ils sont étiquetés dans ce triangle plein. Ou en utilisant le côté opposé et l’hypoténuse tels qu’ils sont maintenant tracés en rouge dans le triangle le plus grand. Dans les deux cas, lorsque je divise le côté opposé par l’hypoténuse, j’obtiendrai la même valeur pour ce rapport. Et il en est de même, bien sûr, pour le cosinus et pour la tangente également.
Maintenant, pour vous aider à vous souvenir des définitions de sinus, cosinus et tangente et des côtés impliqués, il existe un petit acronyme que vous pouvez utiliser pour vous aider. En effet, il s’agit de prendre la première lettre de chacun de ces mots. Donc sinus 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Cela nous donne donc SOH, S, O, H. Cosinus est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Cela nous donne CAH, et ainsi de suite. Alors « SOH CAH TOA ». Si vous vous en rappelez, vous pourrez retenir plus facilement les définitions de sinus, cosinus et tangente. Si vous voulez vous assurer que ces rapports sont en fait constants pour un angle fixe 𝜃, vous pourrez mener votre propre enquête. Donc, comme déjà illustré au début, vous pouvez tracer un triangle, mesurer ces côtés aussi précisément que possible et calculer les rapports. Et puis continuez avec un triangle de taille moyenne et un triangle plus grand, et assurez-vous que les rapports restent les mêmes. Voyons donc comment nous pouvons utiliser ces rapports pour répondre à certaines questions.
Dans la première question, on nous donne une figure avec un triangle rectangle. Et on nous demande de déterminer la valeur de cosinus 𝜃.
Bon, quand je réponds à n’importe quel problème de trigonométrie, la première étape pour moi est toujours d’étiqueter les trois côtés du triangle donné avec leurs noms correspondants. Donc les côtés opposé, adjacent et l’hypoténuse. Je viens alors d’utiliser la première lettre de ces mots. N’oubliez pas que l’hypoténuse est opposée à l’angle droit. Le côté opposé est opposé à l’angle 𝜃. Et le côté adjacent est entre 𝜃 et l’angle droit. Maintenant, nous recherchons le cosinus de 𝜃. Il faut donc nous rappeler la définition de cosinus de 𝜃. Et si vous vous souvenez de « SOH CAH TOA », alors CAH désigne le côté adjacent et l’hypoténuse. Donc, d’après la définition de cosinus 𝜃, c’est le côté adjacent divisé par l’hypoténuse. Ce que je dois faire alors est simplement d’écrire ce rapport pour ce triangle particulier. Il faut alors remplacer le côté adjacent et l’hypoténuse par leurs valeurs dans cet exemple.
En regardant le triangle, je constate que le côté adjacent est de 12 centimètres. Donc, je vais avoir cosinus 𝜃 est égal à 12 sur —l’hypoténuse. En regardant la figure, c’est 13. Donc, j’ai ce cosinus de 𝜃, cos 𝜃, est égal à 12 sur 13. Donc, tout ce que j’avais à faire dans cette question était de rappeler la définition du cosinus, puis d’écrire le rapport en utilisant les valeurs qui sont spécifiques à cette question.
Bon, passons à la deuxième question. On nous donne un autre triangle rectangle. Et l’angle qui nous intéresse est noté 𝛼 cette fois plutôt que 𝜃. Et la question nous a demandé de déterminer la valeur du sinus de 𝛼.
Alors, première étape, comme dans la question précédente. Tout d’abord, je vais étiqueter chacun de ces trois côtés comme étant le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse. Ensuite, je dois rappeler la définition du sinus. Donc SOH, le sinus est le côté opposé divisé par l’hypoténuse. En regardant la figure, je peux constater que je connais l’hypoténuse. C’est 10 millimètres. Mais je ne sais pas vraiment quel est le côté opposé. Cette longueur ne m’a pas été donnée sur la figure. Mais j’ai besoin de le savoir pour déterminer ce rapport sinus. Il y a donc quelques informations que je dois rappeler afin de résoudre ce problème. Et c’est le théorème de Pythagore. Parce que rappelez-vous, le théorème de Pythagore nous parle de la relation qui existe entre les trois côtés dans un triangle rectangle. Et le théorème de Pythagore me permet de calculer la longueur du troisième côté, si je connais les deux autres. Et dans ce cas, je les connais. Je vois qu’ils sont de 10 millimètres et de six millimètres.
Maintenant, le théorème de Pythagore, vous le voyez souvent écrit comme 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré est égal à 𝑐 au carré. Mais rappelez-vous, ce que le théorème nous dit réellement, c’est que si vous prenez les deux côtés les plus courts d’un triangle rectangle. Donc 𝑎 et 𝑏. Et si vous les élevez au carré et les additionnez, cela vous donne le même résultat que si vous élevez au carré le côté le plus long, l’hypoténuse. Donc, je peux utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de ce troisième côté. Maintenant, je ne vais pas l’appeler 𝑂 car cela pourrait être confondu avec zéro. Donc, je vais lui donner une autre lettre. Appelons ça 𝑏. Donc, dans ma réponse pour cette partie de la question, je vais considérer ce troisième côté comme 𝑏. Donc ce que je vais faire, c’est que je vais écrire le théorème de Pythagore. Mais je vais remplacer 𝑎 par six et garder 𝑏 tel quel. Et je vais remplacer 𝑐 par 10. J’ai donc six au carré plus 𝑏 au carré est égal à 10 au carré.
Ensuite, je vais écrire ce que vaut six au carré et 10 au carré. J’ai donc 36 plus 𝑏 au carré est égal à 100. Maintenant, je veux résoudre cette équation pour déterminer la valeur de 𝑏. Donc, je vais soustraire 36 aux deux membres de l’équation. J’ai donc 𝑏 au carré est égal à 64. Et puis, pour déterminer 𝑏, j’ai besoin de la racine carrée des deux membres. Donc, je vais avoir 𝑏 égale la racine carrée de 64, ce qui est égal à huit. Donc, cela me dit alors que la longueur de ce troisième côté, qui est le côté opposé, doit être de huit millimètres. Maintenant, vous avez peut-être pu constater cela sans passer par le travail formel parce que six, huit, 10 est un exemple de triplet de Pythagore. Il s’agit d’un triangle rectangle, où les longueurs des trois côtés sont des entiers. Et si vous le saviez et le reconnaissiez, alors vous pourriez réduire un peu le travail ici.
Bon, la raison pour laquelle nous voulions connaître la longueur de ce troisième côté est que nous voulions déterminer le rapport sinus. Rappelez-vous donc que le sinus est le côté opposé divisé par l’hypoténuse. Maintenant je sais que le côté opposé est de huit millimètres. Et l’hypoténuse vaut 10 millimètres. Donc cela me dit alors que le sinus de 𝛼 doit être huit sur 10. Maintenant, cela pourrait être simplifié en quatre cinquièmes. Ou bien, nous pourrions l’écrire sous forme décimale. Nous avons donc notre réponse à cette question : le sinus de 𝛼 est égal à 0,8.
D’accord, le dernier exemple de cette vidéo alors.
On nous demande de déterminer ici la valeur de tangente 𝜃 dans ce triangle rectangle.
Ici, on nous donne les longueurs des trois côtés dans ce triangle particulier. Nous n’allons pas en avoir besoin. Donc, comme toujours, nous devons étiqueter les trois côtés : l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent. Ensuite, nous devons rappeler quelle est la définition de ce rapport tangente. Donc TOA, tangente est le côté opposé divisé par le côté adjacent. Donc en regardant notre figure, nous allons utiliser le côté opposé qui est la racine de deux sur deux et le côté adjacent qui est un demi. Donc, parce que ces deux côtés sont des fractions, je ne veux pas écrire l’une sur l’autre et finir avec une fraction qui contient quatre couches. Alors je vais écrire tangente 𝜃 est la racine de deux sur deux divisé par un demi, pour commencer.
Maintenant, je dois simplifier cela. Et il y a plusieurs façons de penser à cela. Diviser par un demi équivaut à multiplier par deux. Ou, vous pouvez penser au fait que quand vous divisez par une fraction, vous l’inversez. Vous la retournez. Et vous multipliez au lieu de diviser. Ces deux façons de penser à ce calcul m’amèneraient au même point, à savoir que la tangente de 𝜃 est égale à la racine de deux sur deux multipliée par deux. Maintenant, ce nombre deux au numérateur et ce deux au dénominateur vont s’annuler. Et donc, je me retrouve avec une réponse que tangente 𝜃 est égal à la racine de deux. Donc, je vais laisser ma réponse comme ça sous forme de racine car c’est une réponse exacte. Par contre, si j’essayais de donner une réponse sous forme décimale, j’aurais besoin d’arrondir.
Donc, pour résumer, nous avons défini les trois rapports trigonométriques : sinus, cosinus et tangente comme les rapports entre différentes paires de côtés dans un triangle rectangle. Nous avons vu comment reconnaître la différence entre sinus, cosinus et tangente en utilisant l’acronyme « SOH CAH TOA ». Et nous avons vu comment obtenir la valeur de chacun de ces rapports trigonométriques à partir de la figure d’un triangle rectangle avec différentes longueurs étiquetées.
