Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer et exprimer les valeurs des trois rapports trigonométriques - sinus, cosinus et tangente - pour un angle donné dans un triangle rectangle.
Les rapports sinus, cosinus et tangente sont trois concepts parmi les plus fondamentaux quand il s’agit de triangles rectangles et de cercles. Pour comprendre ce que ces rapports décrivent, nous allons d’abord considérer quelques propriétés géométriques des triangles rectangles qui nous permettront de dériver les formules pour chaque rapport.
Premièrement, nous rappelons que la somme des mesures des angles internes dans un triangle est de . Cela signifie que si nous avons un triangle rectangle avec un angle non droit de , l’angle restant a toujours une mesure égale à .
Deuxièmement, nous rappelons que la dilatation d’une figure géométrique par un facteur d’échelle n’affecte pas la mesure de ses angles et agrandit toutes les longueurs des côtés d’un facteur multiplicatif .
Ces deux faits nous permettent de constater une propriété intéressante des triangles rectangles : les rapports des longueurs des côtés d’un triangle rectangle ne dépendent que de l’angle et du choix des deux côtés. Pour nous aider à comprendre cela, considérons le triangle suivant.
On voit que est un triangle rectangle et , pour en déduire que . Si nous devions dilater ce triangle par un facteur d’échelle , les angles resteraient les mêmes et toutes les longueurs seraient multipliées par ce facteur en nous donnant le triangle suivant.
On peut alors noter que les rapports des côtés correspondants ne sont pas affectés par cette dilatation. Par exemple,
Par conséquent, tous les triangles rectangles ayant un angle de aura des rapports égaux de leurs longueurs de côtés correspondantes. Bien sûr, le choix de n’a pas rien de spécial ; ce résultat serait correct pour tout angle que nous avons choisi.
Avant d’énoncer ce résultat et de discuter de ses utilisations, nous devons déterminer exactement ce que l’on entend par « côtés correspondants ». Dans notre exemple ci-dessus, les côtés correspondants étaient faciles à déterminer car nous pouvions voir quels côtés étaient des multiples scalaires les uns des autres. Cependant, en général, ce n’est pas si facile. Alors, au lieu de cela, nous étiquetons chacun des côtés du triangle en fonction de leurs positions par rapport à un angle. Nous rappelons également que l’angle entre deux côtés qui se rencontrent en un sommet est l’angle donné par ces deux côtés.
Puisqu’il y a trois côtés, nous aurons besoin de trois étiquettes pour les côtés du triangle. Premièrement, nous rappelons que l’hypoténuse d’un triangle rectangle est son côté le plus long et qu’elle est toujours opposée à l’angle droit. Dans le triangle rectangle , on voit que est le côté opposé à l’angle droit, donc c’est l’hypoténuse. Deuxièmement, nous pouvons étiqueter les côtés restants en considérant leurs positions par rapport à . On voit que est opposé à l’angle, alors nous l’appellerons le côté opposé, et est adjacent à l’angle mais n’est pas l’hypoténuse, alors nous l’appellerons le côté adjacent. Cela nous donne ce qui suit.
D’après ce qui précède, nous savons que les quotients de la longueur du côté opposé à et la longueur du côté adjacent à dans tout triangle rectangle sont égaux. On peut étendre cette idée pour inclure n’importe quel angle sur l’intervalle à et relier n’importe quelle paire de côtés de cette manière. Définissons nos fonctions en prenant un angle entre et comme étant la valeur d’entrée et la valeur de sortie est la valeur du quotient entre une paire de longueurs des côtés.
On donne un nom à ces fonctions d’après le quotient qu’elles décrivent. Par exemple, le rapport du sinus relie l’opposé à l’hypoténuse, tandis que le rapport de cosinus relie l’adjacent à l’hypoténuse. Décrivons-les formellement.
Définition : Rapports trigonométriques
Les rapports trigonométriques, sinus, cosinus et tangente d’un angle sont les rapports des longueurs des côtés dans un triangle rectangle. En particulier, si on désigne les côtés d’un triangle rectangle par rapport à son angle comme l’hypoténuse, le côté opposé et l’adjacent, alors
Se rappeler exactement quels côtés correspondent à quel rapport trigonométrique peut être assez difficile. Ainsi, pour nous aider à nous souvenir, nous utilisons l’acronyme SOH CAH TOA.
Acronyme : SOH CAH TOA
On peut se rappeler des côtés correspondant à chaque fonction trigonométrique en utilisant l’acronyme SOH CAH TOA. Pour ce faire, la première lettre de chaque triplet correspond à la fonction trigonométrique, la deuxième lettre correspond au numérateur du quotient, et la troisième correspond au dénominateur du quotient.
Passons à notre premier exemple où nous déterminerons les valeurs des trois rapports trigonométriques d’un angle, étant données deux longueurs de côtés du triangle rectangle.
Exemple 1: Déterminer les valeurs des trois rapports trigonométriques d’un angle
Déterminez les principaux rapports trigonométriques de sachant que est un triangle rectangle en , où et .
Réponse
Nous commençons par tracer le triangle rectangle avec les informations données. L’angle droit est en , et .
Nous rappelons que les rapports trigonométriques d’un angle sont les rapports des longueurs des côtés d’un triangle rectangle, nous devons donc déterminer les longueurs des côtés et nommer les côtés de ce triangle en fonction de leurs positions par rapport à .
Commençons par étiqueter les côtés du triangle. Premièrement, nous remarquons que est le côté le plus long du triangle puisqu’il est opposé à l’angle droit ; par conséquent, il s’agit de l’hypoténuse. Ensuite, nous voyons que est opposé à l’angle , alors c’est le côté opposé. Enfin, le côté restant est le côté adjacent, alors cela nous donne ce qui suit.
Avant de déterminer les rapports trigonométriques pour , nous devons déterminer la longueur de . Nous pouvons le faire en appliquant le théorème de Pythagore. Le théorème de Pythagore nous dit que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts. Dans ce cas, on obtient
Nous pouvons déterminer la valeur de en soustrayant d’abord 324 des deux côtés de l’équation pour obtenir
Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation où nous notons que est une longueur et doit donc être non négatif. Cela donne
On peut ajouter cette longueur à la figure.
Nous sommes maintenant prêts à déterminer les rapports trigonométriques de . Nous rappelons que nous pouvons utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous souvenir des côtés que nous considérons dans les rapports.
Cela nous aide à nous rappeler que le sinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle. De même, le cosinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur de l’hypoténuse du triangle rectangle. Enfin, la tangente d’un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur du côté adjacent à l’angle . Nous substituons chacune des longueurs dans ces formules pour évaluer les rapports :
Par conséquent, , et .
Dans notre prochain exemple, nous déterminerons les valeurs de deux rapports trigonométriques d’un angle donné pour deux longueurs de côtés du triangle rectangle afin d’évaluer une expression trigonométrique.
Exemple 2: Déterminer la valeur des rapports trigonométriques étant donnés les deux côtés du triangle rectangle
Déterminez le produit sachant que est un triangle rectangle en , où et .
Réponse
Nous voulons déterminer d’abord les valeurs de et . Pour ce faire, nous rappelons que les rapports trigonométriques d’un angle sont les rapports des longueurs des côtés dans un triangle rectangle. En particulier, nous pouvons utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous souvenir des côtés que nous considérons dans les rapports.
Par conséquent, pour déterminer les valeurs de et , nous devons étiqueter les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle . Nous le faisons en considérant d’abord que le côté le plus long du triangle rectangle est opposé à l’angle rectangle. Dans ce triangle, c’est le côté , qui est donc l’hypoténuse. Ensuite, nous étiquetons le côté opposé à l’angle et le côté adjacent à l’angle , ce qui nous donne le triangle suivant.
Nous savons que . Cependant, nous ne pouvons pas déterminer la valeur de car on ne sait pas la longueur du côté adjacent à l’angle . On peut trouver la longueur du côté manquant en rappelant que le théorème de Pythagore nous dit que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts. Dans ce cas, on obtient
On soustrait 64 des deux côtés de l’équation pour obtenir
Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation, où nous notons que est une longueur et donc non négative
On peut alors substituer cette valeur dans la formule pour le rapport cosinus pour obtenir
Enfin, nous pouvons utiliser ces valeurs pour déterminer la valeur de l’expression donnée
Exemple 3: Déterminer les valeurs des rapports trigonométriques pour deux angles différents
est un diamètre d’un cercle de rayon 62,5 cm. Le point est sur le cercle tel que et . Déterminez les valeurs exactes de et .
Réponse
Premièrement, on nous dit que le rayon du cercle est 62,5 cm et que est un diamètre, alors a une longueur égale au double du rayon : . Isolons maintenant le triangle et ajoutons la longueur de à la figure.
Nous voulons déterminer les valeurs de et . Pour ce faire, nous rappelons l’acronyme SOH CAH TOA.
Par conséquent, pour déterminer les valeurs de et , nous devons étiqueter les côtés du triangle rectangle en fonction de leurs positions par rapport à chaque angle. Commençons par l’angle : le côté opposé à l’angle droit, qui est le côté le plus long du triangle rectangle est appelé l’hypoténuse ; le côté opposé à l’angle est appelé le côté opposé ; et le côté adjacent à l’angle qui n’est pas l’hypoténuse, est appelée le côté adjacent. Cela nous donne le triangle suivant.
Maintenant, comme et nous connaissons les longueurs du côté adjacent à l’angle et l’hypoténuse, nous pouvons déterminer la valeur de :
On peut suivre la même démarche pour trouver . D’abord, nous étiquetons les côtés du triangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle . On note que l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, est le côté opposé à l’angle , et est le côté adjacent à l’angle . Nous avons le triangle suivant.
Comme , nous avons
Cela suffit pour répondre à la question ; cependant, il convient de noter que nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du côté inconnu dans le triangle rectangle. Nous rappelons que, d’après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts. Dans ce cas, on obtient
On soustrait 5 625 des deux côtés de l’équation pour obtenir
Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation, où nous notons que est une longueur et doit donc être non négatif :
On pourrait alors l’utiliser pour déterminer l’un des autres rapports trigonométriques.
Par conséquent, et .
Exemple 4: Déterminer les principaux rapports trigonométriques dans un triangle divisé en deux triangles rectangles
Déterminez la valeur de , sachant que , , et .
Réponse
On nous demande de déterminer la valeur d’une expression impliquant des rapports trigonométriques dans la figure donnée. Pour ce faire, nous rappelons l’acronyme SOH CAH TOA.
En particulier, comme nous devons trouver des rapports trigonométriques pour deux angles différents, nous devrons étiqueter les côtés de chaque triangle par rapport aux deux angles.
Commençons par dans le triangle rectangle . Premièrement, l’hypoténuse est le côté le plus long du triangle rectangle, qui est le côté opposé à l’angle droit ; dans ce cas, c’est . Deuxièmement, le côté opposé à l’angle est . Troisièmement, le côté restant est le côté adjacent, qui est . Nous pouvons changer la figure donnée avec ces étiquettes.
Nous savons que ; cependant, nous ne savons pas la longueur de . Pour déterminer cette longueur, nous utiliserons le théorème de Pythagore, qui stipule que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts. Appliquer cela au triangle nous donne
Nous pouvons déterminer la valeur de en soustrayant d’abord 784 des deux côtés de l’équation, ce qui nous donne
Ensuite, nous prenons la racine carrée des deux côtés de l’équation où nous notons que est une longueur et qu’elle est donc non négative :
Par conséquent,
Nous voulons maintenant appliquer la même démarche au triangle pour déterminer la valeur de . On peut ajouter sur la figure et étiqueter les côtés de ce triangle en notant que est opposé à l’angle droit, est opposé à , et est adjacent à .
Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de comme suit :
Enfin, nous pouvons substituer ces valeurs dans l’expression donnée :
Dans nos deux derniers exemples, nous utiliserons un rapport trigonométrique donné pour déterminer les valeurs d’autres rapports trigonométriques dans le triangle rectangle.
Exemple 5: Déterminer les valeurs du cosinus et du sinus étant donnée la valeur de la tangente
Déterminez les principaux rapports trigonométriques de étant donné que est un triangle rectangle en , où .
Réponse
On commence par réarranger l’équation donnée pour retrouver la tangente en divisant par 20 pour obtenir
On rappelle alors que les rapports trigonométriques d’un angle sont les rapports des longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Nous pouvons utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous souvenir des rapports de longueur des côtés qui correspondent à chacune des fonctions trigonométriques.
En particulier, on peut noter que la fonction tangente est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et la longueur du côté adjacent à l’angle dans un triangle rectangle. Nous savons que , alors on pourrait vouloir conclure que l’ et l’. Cependant, comme il s’agit d’un rapport, tout multiple de ces valeurs ayant le même facteur sera également valide. Par exemple, on pourrait avoir l’ et l’, alors
Par conséquent, nous ne pouvons pas déterminer les longueurs exactes de ces côtés. Au lieu de cela, nous dirons que la longueur du côté opposé à est 21 multiplié par un facteur positif et que la longueur du côté adjacent à est 20 multiplié par le même facteur positif. On peut alors tracer le triangle rectangle suivant.
On nous dit que a un angle droit en , et nous savons que est opposé à l’angle et est adjacent à . Enfin, nous ajoutons les longueurs : et .
Nous ne pouvons pas déterminer les rapports sinus et cosinus de ce triangle rectangle en sans trouver une expression pour l’hypoténuse. Nous pouvons la trouver en utilisant le théorème de Pythagore, selon lequel dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts. Dans ce triangle rectangle, cela nous donne
On peut alors déterminer la valeur de en prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation où nous notons que est une longueur ; par conséquent, elle doit être positive et on sait que . Cela nous donne
Nous pouvons ensuite ajouter cela à notre figure en désignant ce côté comme étant l’hypoténuse. Nous étiquetons ensuite les côtés du triangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle . Cela nous donne le triangle suivant.
Nous sommes maintenant prêts à déterminer les valeurs de , et . D’abord,
Deuxièmement,
Troisièmement,
Par conséquent, , et .
Exemple 6: Déterminer les principaux rapports trigonométriques à partir du rapport de deux côtés du triangle rectangle
Déterminez les principaux rapports trigonométriques de , sachant que est un triangle rectangle en , où le rapport entre et est .
Réponse
On peut commencer par tracer un triangle , où on sait que l’angle droit est au sommet . Étant donné que la question veut que nous déterminions les rapports trigonométriques de , on peut aussi étiqueter les côtés en fonction de leurs positions par rapport à .
Nous savons que est opposé à l’angle , est opposé à l’angle droit, qui est donc l’hypoténuse, et est adjacent à l'angle .
Par conséquent, comme on nous donne le rapport entre et qui est , on sait également que le rapport entre les longueurs du côté adjacent en et l’hypoténuse est . En d’autres termes,
Nous pouvons utiliser l’acronyme SOH CAH TOA pour nous aider à nous souvenir des rapports de longueur des côtés qui correspondent à chacune des fonctions trigonométriques.
Nous savons que , alors . Nous ne pouvons pas l’utiliser pour trouver directement les longueurs des côtés de ce triangle car nous ne connaissons que le rapport entre les longueurs. On peut cependant dire que et pour une valeur positive de .
Nous pouvons utiliser ces longueurs et le théorème de Pythagore pour trouver une expression pour . On rappelle que le théorème de Pythagore énonce que, dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux côtés les plus courts. Par conséquent,
Nous pouvons déterminer la valeur de en prenant la racine carrée des deux côtés de l’équation où nous notons que est une longueur, et donc elle doit être positive, et que . Par conséquent, nous obtenons
Nous pouvons ajouter ces longueurs à notre figure.
Nous pouvons maintenant déterminer les rapports trigonométriques restants pour .
D’abord,
Deuxièmement,
Par conséquent, , et .
Terminons par récapituler certains points importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Pour trouver les valeurs des trois rapports trigonométriques d’un angle, nous rappelons les étapes suivantes :
- Étiqueter les côtés du triangle en fonction de leurs positions par rapport à l’angle dont nous voulons calculer les rapports trigonométriques. L’hypoténuse est toujours en opposé à l’angle droit et elle est le côté le plus long, le côté opposé est le côté opposé à l’angle, et le côté adjacent est le côté restant adjacent à l’angle.
- Rappelons que l’acronyme SOH CAH TOA où O signifie l’opposé, A désigne l’adjacent et H représente l’hypoténuse. Si l’angle est , cela nous aide à rappeler que les rapports trigonométriques sont
- Si nous ne connaissons que deux longueurs de côtés dans un triangle rectangle, alors nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour déterminer la longueur du côté finale. Cela nous permet de déterminer tous les rapports trigonométriques d’un triangle rectangle à partir d’un angle et de deux côtés.
