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Si 𝐀 et 𝐁 sont des vecteurs unitaires, à quel intervalle le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 appartient-il?
Géométriquement parlant, le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁, 𝐀 scalaire 𝐁, est la norme de 𝐀 fois la norme de 𝐁 fois le cosinus de l'angle 𝜃 entre les deux vecteurs. On nous dit dans la question que 𝐀 et 𝐁 sont des vecteurs unitaires. Les vecteurs unitaires sont des vecteurs dont la norme vaut un.
Ainsi, en utilisant ce fait, nous obtenons que le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est un fois un fois cosinus 𝜃, qui donne bien sûr juste cosinus 𝜃. Ainsi, l'intervalle dans lequel se trouve le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est celui des valeurs que peut prendre cosinus 𝜃.
Si nous regardons le graphique de cosinus 𝜃, nous pouvons voir qu'il varie de moins un à un, donc moins un est inférieur ou égal à cosinus 𝜃, qui est inférieur ou égal à un. Nous utilisons ici des signes inférieurs ou égaux à et pas seulement des signes strictement inférieurs à car les valeurs extrêmes de moins un et de un sont atteintes par la fonction, elles sont donc incluses dans l'intervalle de cosinus.
Nous pouvons aussi écrire que cosinus 𝜃 est dans l'intervalle de moins un à un, en utilisant les crochets pour indiquer que les deux valeurs extrêmes, moins un et un, sont incluses dans cet intervalle. Cosinus 𝜃 peut prendre une valeur de moins un ou de un.
Ainsi, puisque nous avons montré que le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 est cosinus 𝜃, le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁 doit certainement se trouver dans cet intervalle. Est-ce notre réponse ? Tout d'abord, nous devons vérifier qu'il n'y a pas de condition sur 𝜃.
En effet, si 𝜃 était soumis à la contrainte d'être compris entre 60 degrés et 120 degrés, alors le cosinus de 𝜃, varierait seulement de moins 0.5 à 0.5 ; de ce fait, cet intervalle serait plus petit. Or, 𝜃 peut prendre n'importe quelle valeur de zéro degrés jusqu'à 180 degrés et donc le produit scalaire de 𝐀 et 𝐁, qui est cosinus 𝜃, peut prendre n'importe quelle valeur comprise entre moins un et un inclus.
