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Lequel des systèmes d'équations ci-dessous peut être représenté par la forme matricielle suivante : la matrice deux deux donnée par zéro, moins deux, trois, moins quatre multipliée par la matrice deux un donnée par 𝑥, 𝑦 égale la matrice deux un donnée par cinq, moins six ? Option (A) moins deux 𝑦 égale moins cinq, et moins deux 𝑦 égale cinq. Option (B) moins deux 𝑦 égale moins cinq, et trois 𝑥 moins quatre 𝑦 égale moins six. Option (C) moins deux 𝑦 égale moins cinq, et trois 𝑥 moins quatre 𝑦 égale six. Option (D) moins deux 𝑦 égale cinq, trois 𝑥 moins quatre 𝑦 égale six. Ou option (E) moins deux 𝑦 égale cinq, et trois 𝑥 moins quatre 𝑦 égale moins six.
Pour cette question, on nous donne cinq systèmes d'équations linéaires et nous devons déterminer lequel de ces systèmes est représenté par une équation matricielle donnée. Nous pouvons répondre à cette question de plusieurs manières différentes. Par exemple, on pourrait réécrire chacun des systèmes d'équations sous la forme d'une équation matricielle, puis la comparer à celle donnée. Bien que cette méthode fonctionne, il faudrait réécrire cinq systèmes différents sous forme d'équations matricielles. En revanche, il est plus facile de réécrire l'équation matricielle donnée comme un système d'équations linéaires.
Pour cela, nous devons calculer le produit matriciel du côté gauche de l'équation. Nous rappelons pour cela que nous devons multiplier chaque élément de chaque ligne de la première matrice par les éléments correspondants des colonnes de la deuxième matrice, puis additionner les résultats. Appliquons d'abord ce processus à la première ligne de la première matrice. La deuxième matrice n'a qu'une seule colonne, et nous avons zéro fois 𝑥 plus moins deux fois 𝑦. Il s'agira de l'élément de la première ligne et de la première colonne de cette matrice.
On sait que notre matrice résultante aura le même nombre de lignes que la première matrice du produit et le même nombre de colonnes que la deuxième matrice du produit. Il s'agira d'une matrice deux un. Bien évidemment, on le sait déjà, puisqu'on nous dit que ce produit doit être égal à la matrice deux un donnée par cinq, moins six. On peut donc calculer cette expression en remarquant que zéro fois 𝑥 égale zéro. On obtient moins deux 𝑦.
On peut procéder de la même façon pour la deuxième ligne de la première matrice et la seule colonne de la deuxième matrice. Nous obtenons trois 𝑥, et nous ajoutons à cela moins quatre 𝑦. Ce qui signifie que l'élément de la deuxième ligne et de la première colonne de ce produit matriciel est trois 𝑥 moins quatre 𝑦. On nous dit dans la question que ce produit matriciel doit être égal à la matrice deux un donnée par cinq, moins six. Cela signifie que nous pouvons mettre en équation ces deux matrices.
On peut alors rappeler que pour que deux matrices soient égales, elles doivent avoir les mêmes dimensions et leurs éléments correspondants doivent tous être égaux. On sait bien sûr déjà que les dimensions de ces matrices sont les mêmes, puisqu'il s'agit de matrices deux un. En revanche, on peut utiliser le fait que ces deux matrices sont égales pour mettre en équation les éléments correspondants. Cela nous donne deux équations, une pour chaque élément. On a que moins deux 𝑦 doit être égal à cinq et que trois 𝑥 moins quatre 𝑦 doit être égal à moins six. On peut alors constater que ce système d'équations correspond au système donné dans l'option (E).
Il peut être également intéressant de noter qu'aucune des autres options ne peut être correcte. En effet, pour les trois premières options, on constate que la première équation est moins deux 𝑦 égale moins cinq au lieu de cinq. Comme cette équation n'est pas un multiple de moins deux 𝑦 égale cinq, aucune de ces options ne peut être correcte. De même, dans l'option (D), on remarque que trois 𝑥 moins quatre 𝑦 égale six n'est pas un multiple de trois 𝑥 moins quatre 𝑦 égale moins six. Par conséquent, la réponse correcte est uniquement l'option (E). Le système d'équations représenté par l'équation matricielle donnée est moins deux 𝑦 est égal à cinq, et trois 𝑥 moins quatre 𝑦 est égal à moins six.
