Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à écrire un système de deux équations sous forme d’une équation matricielle. Nous n’allons considérer que des matrices d’ordre au plus deux par deux. Cependant, on peut étendre cette méthode à des matrices d’ordre supérieur.
On peut représenter un système d’équations linéaires sous forme matricielle en utilisant une matrice des coefficients, une matrice des variables et une matrice des constantes. Si on considère les deux équations 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑝 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑞, où 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝 et 𝑞 sont toutes des constantes, alors la matrice des coefficients est 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Elle est formée en alignant les coefficients des variables de chaque équation dans une ligne. Il est important que chaque équation soit écrite sous forme standard avec le terme constant à droite.
On a deux variables 𝑥 et 𝑦. Par conséquent, on peut écrire la matrice des variables comme indiqué. Bien que nous n’allons traiter que deux variables dans cette vidéo, on peut étendre cette procédure à des équations à plusieurs variables. Dans le membre à droite des équations, on a les termes constants 𝑝 et 𝑞. Ceux-ci correspondent respectivement à la première et deuxième équation. Par conséquent, la matrice des constantes est 𝑝, 𝑞. Les ordres de nos trois matrices sont respectivement deux deux, deux un et deux un.
On peut donc écrire le système d’équations linéaires 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑝 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑞 sous forme matricielle comme 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 multiplié par 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑝, 𝑞. On peut utiliser la multiplication matricielle pour vérifier que la représentation matricielle est équivalente au système d’équations. Comme nous l’avons mentionné précédemment, on peut étendre cela à un système de trois équations à trois variables et généraliser le résultat à 𝑛 variables. Voyons maintenant quelques exemples spécifiques.
Exprimez les équations simultanées trois 𝑎 plus deux 𝑏 égale 13 et deux 𝑎 plus trois 𝑏 égale sept sous forme d’équation matricielle.
Rappelons qu’on peut représenter un système d’équations linéaires sous forme matricielle en utilisant une matrice des coefficients, une matrice des variables et une matrice des constantes. Avant de faire cela, on doit s’assurer que nos équations sont écrites sous forme standard, 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des constantes. Dans cette question, nos deux équations sont écrites sous forme standard. Cependant, il est important de noter que 𝑎 et 𝑏 sont des variables et non des constantes.
Nous savons qu’on peut former la matrice des coefficients en alignant les coefficients des variables de chaque équation dans une ligne. Les coefficients de notre première équation sont trois et deux. Dans la deuxième équation, on a deux et trois, ce qui nous donne la matrice des coefficients de taille deux par deux; trois, deux, deux, trois. Les variables ici sont 𝑎 et 𝑏. On peut donc écrire la matrice des variables comme la matrice deux par un 𝑎, 𝑏. Sur le côté droit, on a les termes constants 13 et sept. Puisque ceux-ci correspondent respectivement à la première et à la deuxième équation, la matrice des constantes est 13, 7.
Nous avons maintenant une équation matricielle composée d’une matrice des coefficients, une matrice des variables et une matrice des constantes. On peut écrire les équations simultanées trois 𝑎 plus deux 𝑏 est égal à 13 et deux 𝑎 plus trois 𝑏 est égal à sept comme l’équation matricielle trois, deux, deux, trois multiplié par 𝑎, 𝑏 est égal à 13, sept.
Dans notre prochain exemple, nous allons commencer par réorganiser l’une des équations.
Exprimez les équations simultanées un tiers de 𝑥 moins deux tiers de 𝑦 est égal à cinq tiers et trois quarts de 𝑦 plus un quart de 𝑥 est égal à sept quarts sous forme d’équation matricielle. Pour réécrire un système d’équations linéaires sous forme d’équation matricielle, on doit trouver une matrice des coefficients, une matrice des variables et une matrice des constantes. Avant de commencer, on doit s’assurer que toutes nos équations sont écrites sous la forme standard.
Puisque le terme 𝑥 vient en premier dans notre première équation, on peut réécrire la deuxième équation comme un quart de 𝑥 plus trois quarts de 𝑦 est égal à sept quarts. Et ce parce que l’addition est commutative. Les coefficients de notre première équation sont un tiers et moins deux tiers, tandis que les coefficients de notre deuxième équation sont un quart et trois quarts. Cela signifie que la matrice des coefficients est un tiers, moins deux tiers, un quart, trois quarts. Les deux variables ici sont 𝑥 et 𝑦. Par conséquent, la matrice des variables est simplement 𝑥, 𝑦.
Au membre de droite dans nos équations, on a les termes constants cinq tiers et sept quarts. Ceux-ci constituent la matrice des constantes. Nous avons maintenant une équation matricielle composée d’une matrice des coefficients, une matrice des variables et une matrice des constantes, comme requis. Les deux équations simultanées exprimées sont donc sous forme d’une équation matricielle donnée par un tiers, moins deux tiers, un quart, trois quarts multipliés par 𝑥, 𝑦 est égal à cinq tiers, sept quarts.
Dans notre prochain exemple, nous allons écrire une équation matricielle sous forme d’un système d’équations linéaires simultanées.
Écrivez le système d’équations simultanées qu’on peut résoudre en utilisant l’équation matricielle donnée. Trois, trois, deux, quatre multiplié par 𝑎, 𝑏 est égal à 10, 12.
Pour répondre à cette question, on doit effectuer une multiplication matricielle. On commence par multiplier les éléments de la première ligne de la matrice des coefficients par les éléments de la matrice colonne des variables. Trois multiplié par 𝑎 est égal à trois 𝑎, et trois multiplié par 𝑏 est égal à trois 𝑏. La somme de ces termes sera égale à l’élément de la première ligne de la matrice des constantes. Cela nous donne l’équation trois 𝑎 plus trois 𝑏 est égal à 10.
On répète ensuite ce processus pour la deuxième ligne de la matrice des coefficients. Deux multiplié par 𝑎 est égal à deux 𝑎, et quatre multiplié par 𝑏 est égal à quatre 𝑏. Cela nous donne l’équation deux 𝑎 plus quatre 𝑏 est égal à 12. Nous avons maintenant un système d’équations simultanées qu’on peut résoudre. Trois 𝑎 plus trois 𝑏 est égal à 10, et deux 𝑎 plus quatre 𝑏 est égal à 12. Bien qu’il ne soit pas nécessaire de résoudre les équations dans cette vidéo, on peut le faire en utilisant les méthodes d’élimination ou de substitution.
Nous allons maintenant essayer de résoudre un problème similaire où l’un de nos coefficients est négatif.
Écrivez le système d’équations simultanées qu’on peut résoudre en utilisant l’équation matricielle donnée. 11, moins trois, neuf, quatre multiplié par 𝑥, 𝑦 est égal à huit, 13.
Comme avec tout problème de ce type, on peut le résoudre en utilisant la multiplication matricielle. Lorsqu’on multiplie des matrices, on doit multiplier chaque ligne de la première matrice par chaque colonne de la deuxième matrice. Lorsqu’on multiplie 11 par 𝑥 on a 11𝑥. Moins trois multiplié par 𝑦 est égal à moins trois 𝑦. Ceci sera égal à l’élément de la ligne supérieure de notre matrice des constantes, dans ce cas, huit. Notre première équation est 11𝑥 moins trois 𝑦 égale huit.
On répète ensuite ce processus avec la deuxième ligne de notre matrice des coefficients. Lorsqu’on multiplie neuf par 𝑥, on obtient neuf 𝑥. Quatre multiplié par 𝑦 est égal à quatre 𝑦. Notre deuxième équation est donc neuf 𝑥 plus quatre 𝑦 est égal à 13. Nous avons maintenant une paire d’équations linéaires simultanées qu’on peut résoudre en utilisant la méthode d’élimination ou de substitution. Ceux-ci nous donneraient les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui résolvent l’équation matricielle.
Dans notre dernière question, nous allons commencer par réorganiser nos équations afin de les avoir sous forme standard.
Exprimez les équations simultanées trois 𝑥 moins 24 est égal à moins huit 𝑦 et 𝑥 est égal à trois moins 𝑦 sous forme d’équation matricielle.
Pour répondre à cette question, on doit s’assurer que les deux équations sont écrites sous forme standard. Nous devons réécrire la première équation pour qu’elle soit sous la forme 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑝 et la deuxième équation pour qu’elle soit sous la forme 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑞, où 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ainsi que 𝑝 et 𝑞 sont des constantes.
Commençons par l’équation trois 𝑥 moins 24 est égal à moins huit 𝑦. On peut additionner 24 et huit 𝑦 aux deux côtés de notre équation. Cela nous donne trois 𝑥 plus huit 𝑦 est égal à 24. Cette équation est à présent sous forme standard. Notre deuxième équation est 𝑥 est égal à trois moins 𝑦. Si on additionne 𝑦 aux deux côtés de cette équation et on s’assure que les termes 𝑥 et 𝑦 sont dans le même ordre, on obtient 𝑥 plus 𝑦 est égal à trois.
Nous avons maintenant une paire d’équations linéaires simultanées écrites sous forme standard. Notre équation matricielle contiendra une matrice de taille deux par deux. Les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans notre première équation sont trois et huit. Ceux-ci constitueront la ligne supérieure. Les coefficients de 𝑥 et 𝑦 dans notre deuxième équation sont un et un. Nous avons donc la matrice des coefficients: trois, huit, un, un.
Nos variables sont 𝑥 et 𝑦. Cela signifie qu’on peut multiplier la matrice des coefficients par cette matrice colonne des variables. À droite de nos deux équations, on a les constantes 24 et trois. On peut exprimer nos équations simultanées comme l’équation matricielle trois, huit, un, un multiplié par 𝑥, 𝑦 est égal à 24, trois.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons vu dans cette vidéo qu’une équation matricielle est composée d’une matrice des coefficients, une matrice des variables et une matrice des constantes. Nous avons vu qu’on peut exprimer un système d’équations linéaires simultanées sous forme d’équation matricielle et vice versa. On peut réécrire les équations linéaires simultanées 𝑎𝑥 plus 𝑏𝑦 est égal à 𝑝 et 𝑐𝑥 plus 𝑑𝑦 est égal à 𝑞 comme l’équation matricielle 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 multipliée par 𝑥, 𝑦 est égal à 𝑝, 𝑞. Comme nous l’avons mentionné précédemment, on peut étendre cela aux équations à trois variables ou plus, aux matrices de taille supérieure à la taille deux par deux, et également aider à résoudre les équations simultanées.
