Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à écrire un système de deux équations sous forme d’une équation matricielle.
Avant de commencer, il est important de maîtriser le produit matriciel, car il est nécessaire pour pouvoir représenter un système d’équations en fonction de matrices. Nous savons résoudre un système d’équations en utilisant des méthodes telles que la combinaison et la substitution. Cependant, dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter un système d’équations linéaires par une équation matricielle.
Avant d’étudier quelques exemples où nous représenterons des systèmes de deux équations sous forme matricielle, étudions maintenant la méthode générale de ce processus.
Comment représenter un système de deux équations linéaires sous forme matricielle
Si on a le système d’équations Pour le représenter sous forme d’une équation matricielle, on commence par créer la matrice des coefficients des variables. On sait qu’elle sera une matrice car chacune des deux équations à deux inconnues.
Cela donne la matrice suivante, connue sous le nom de matrice des coefficients :
On complète ensuite l’équation matricielle en écrivant que le produit de cette matrice et de la matrice des variables de taille donnée par , où et sont les inconnues, est égal à la matrice de taille donnée par , où et sont les valeurs des constantes. Elle est parfois appelée la matrice colonne des constantes.
L’équation matricielle complète est formulée ci-dessous :
Il est important de souligner que dans la matrice des coefficients, les valeurs ont le signe de celles du système d’équations.
On peut utiliser le produit matriciel pour montrer comment exploiter cette équation matricielle ; en utilisant le produit matriciel, le membre gauche de cette équation se simplifie pour donner
Cette matrice doit ensuite être égale à la matrice des constantes :
Ces matrices sont donc égales lorsque le système d’origine est vérifié.
Nous allons maintenant étudier quelques exemples.
Exemple 1: Exprimer un système de deux équations sous forme d’une équation matricielle
Exprimez le système d’équations sous forme d’équation matricielle.
Réponse
On rappelle que si on a un système de deux équations sous la forme il peut alors être représenté par une équation matricielle de la forme où est la matrice des coefficients, la première colonne étant les coefficients de et la seconde étant les coefficients de , est la matrice des variables et est la matrice des constantes de chacune des équations.
Par conséquent, les deux équations de cette question peuvent être représentées par l’équation matricielle
Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème qui inclut des coefficients et des constantes fractionnaires pour montrer que la méthode est identique.
Exemple 2: Exprimer un système de deux équations sous forme d’équation matricielle
Exprimez le système d’équation sous la forme d’une équation matricielle.
Réponse
Premièrement, après examination, on peut voir que la deuxième équation est sous la forme
Il faut donc en tenir compte lorsqu’on la représente dans l’équation matricielle, car c’est une erreur commune de mettre les coefficients dans le mauvais ordre dans la matrice des coefficients. Pour éviter cela, il faut réécrire le système d’équations comme
On rappelle ensuite que si on a un système de deux équations sous la forme il peut alors être représenté par une équation matricielle sous la forme en se rappelant que les coefficients de la matrice des coefficients ont le signe des coefficients des variables des équations d’origine.
Par conséquent, en gardant cela à l’esprit, on peut représenter le système d’équations comme l’équation matricielle
Dans les deux premières questions, nous avons représenté des systèmes d’équations sous forme d’équation matricielle. Dans les deux exemples suivants, nous allons identifier le système d’équations qui peut être représenté par une équation matricielle donnée.
Exemple 3: Identifier un système de deux équations à partir d’une équation matricielle
Déterminez le système d’équations qui pourrait être résolu en utilisant l’équation matricielle
Réponse
On multiplie les deux matrices du membre gauche de l’équation pour obtenir
Comme ces matrices sont égales, leurs coefficients doivent être égaux ; par conséquent, le système d’équation est
Dans le prochain exemple, nous allons à nouveau déterminer un système d’équations qui peut être représenté par une équation matricielle donnée ; cependant, nous allons cette fois, considérer des coefficients avec des signes différents.
Exemple 4: Identifier un système de deux équations à partir d’une équation matricielle
Déterminez le système d’équations qui pourrait être résolu en utilisant l’équation matricielle
Réponse
Dans ce problème, on multiplie les deux matrices du membre gauche de l’équation pour obtenir
Comme ces matrices sont égales, leurs coefficients doivent être égaux ; par conséquent, le système d’équations est
Nous allons maintenant explorer un autre exemple de représentation d’un système de deux équations sous forme d’une équation matricielle mais qui nécessite cette fois-ci une manipulation algébrique.
Exemple 5: Exprimer un système de deux équations sous forme d’équation matricielle
Exprimez le système d’équations sous forme d’une équation matricielle.
Réponse
On doit d’abord reformuler les équations sous la forme car cela permet de représenter efficacement le système d’équations comme une équation matricielle.
On commence par la première équation,
On peut ajouter et 24 à chaque membre de l’équation pour obtenir
On reformule ensuite la deuxième équation en ajoutant à chaque membre. Cela donne
On a maintenant le système de deux équations
On rappelle qu’un système de deux équations sous la forme peut être représenté par une équation matricielle sous la forme où l’on rappelle que les termes et ont des coefficients de 1.
Par conséquent, le système de deux équations de cette question peut être représenté par l’équation matricielle
Dans notre dernier exemple, nous allons étudier un problème qui inclut un coefficient nul dans la matrice des coefficients.
Exemple 6: Identifier un système de deux équations à partir d’une équation matricielle qui a un coefficient nul
Lequel des systèmes d’équations suivants peut être représenté par la forme matricielle ?
Réponse
Dans ce problème, on multiplie les deux matrices du membre gauche de l’équation pour obtenir
Comme ces matrices sont égales, leurs coefficients doivent être égaux ; par conséquent, le système d’équations qui peut être représenté par l’équation matricielle donnée est
Cependant, on n’inclue généralement pas les variables avec un coefficient nul ; par conséquent, on peut réécrire les équations comme
Nous allons terminer par récapituler les points clés de ce document explicatif.
Points clés
- Un système de deux équations sous la forme peut être représenté par une équation matricielle sous la forme où est appelée la matrice des coefficients et la matrice des constantes.
- Les coefficients de la matrice des coefficients ont le signe des coefficients des variables des équations d’origine.