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Fiche explicative de la leçon: Exprimer un système de deux équations par écriture matricielle Mathématiques • Première année secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à écrire un système de deux équations sous forme d’une équation matricielle.

Avant de commencer, il est important de maîtriser le produit matriciel, car il est nécessaire pour pouvoir représenter un système d’équations en fonction de matrices. Nous savons résoudre un système d’équations en utilisant des méthodes telles que la combinaison et la substitution. Cependant, dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à représenter un système d’équations linéaires par une équation matricielle.

Avant d’étudier quelques exemples où nous représenterons des systèmes de deux équations sous forme matricielle, étudions maintenant la méthode générale de ce processus.

Comment représenter un système de deux équations linéaires sous forme matricielle

Si on a le système d’équations 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, Pour le représenter sous forme d’une équation matricielle, on commence par créer la matrice 2×2 des coefficients des variables. On sait qu’elle sera une matrice 2×2 car chacune des deux équations à deux inconnues.

Cela donne la matrice suivante, connue sous le nom de matrice des coefficients:𝑎𝑏𝑐𝑑.

On complète ensuite l’équation matricielle en écrivant que le produit de cette matrice et de la matrice des variables de taille 2×1 donnée par 𝑥𝑦, 𝑥 et 𝑦 sont les inconnues, est égal à la matrice de taille 2×1 donnée par 𝑒𝑓, 𝑒 et 𝑓 sont les valeurs des constantes. Elle est parfois appelée la matrice colonne des constantes.

L’équation matricielle complète est formulée ci-dessous:𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓.

Il est important de souligner que dans la matrice des coefficients, les valeurs ont le signe de celles du système d’équations.

On peut utiliser le produit matriciel pour montrer comment exploiter cette équation matricielle;en utilisant le produit matriciel, le membre gauche de cette équation se simplifie pour donner 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑦𝑐𝑥+𝑑𝑦.

Cette matrice doit ensuite être égale à la matrice des constantes:𝑎𝑥+𝑏𝑦𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑒𝑓.

Ces matrices sont donc égales lorsque le système d’origine est vérifié.

Nous allons maintenant étudier quelques exemples.

Exemple 1: Exprimer un système de deux équations sous forme d’une équation matricielle

Exprimez le système d’équations 3𝑎+2𝑏=13,2𝑎+3𝑏=7 sous forme d’équation matricielle.

Réponse

On rappelle que si on a un système de deux équations sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, il peut alors être représenté par une équation matricielle de la forme 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓,𝑎𝑏𝑐𝑑 est la matrice des coefficients, la première colonne étant les coefficients de 𝑥 et la seconde étant les coefficients de 𝑦, 𝑥𝑦 est la matrice des variables et 𝑒𝑓 est la matrice des constantes de chacune des équations.

Par conséquent, les deux équations de cette question peuvent être représentées par l’équation matricielle 3223𝑎𝑏=137.

Dans l’exemple suivant, nous allons résoudre un problème qui inclut des coefficients et des constantes fractionnaires pour montrer que la méthode est identique.

Exemple 2: Exprimer un système de deux équations sous forme d’équation matricielle

Exprimez le système d’équation 13𝑥23𝑦=53,34𝑦+14𝑥=74 sous la forme d’une équation matricielle.

Réponse

Premièrement, après examination, on peut voir que la deuxième équation est sous la forme 𝑑𝑦+𝑐𝑥=𝑓.

Il faut donc en tenir compte lorsqu’on la représente dans l’équation matricielle, car c’est une erreur commune de mettre les coefficients dans le mauvais ordre dans la matrice des coefficients. Pour éviter cela, il faut réécrire le système d’équations comme 13𝑥23𝑦=53,14𝑥+34𝑦=74.

On rappelle ensuite que si on a un système de deux équations sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, il peut alors être représenté par une équation matricielle sous la forme 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓, en se rappelant que les coefficients de la matrice des coefficients ont le signe des coefficients des variables des équations d’origine.

Par conséquent, en gardant cela à l’esprit, on peut représenter le système d’équations comme l’équation matricielle 13231434𝑥𝑦=5374.

Dans les deux premières questions, nous avons représenté des systèmes d’équations sous forme d’équation matricielle. Dans les deux exemples suivants, nous allons identifier le système d’équations qui peut être représenté par une équation matricielle donnée.

Exemple 3: Identifier un système de deux équations à partir d’une équation matricielle

Déterminez le système d’équations qui pourrait être résolu en utilisant l’équation matricielle 3324𝑎𝑏=1012.

Réponse

On multiplie les deux matrices du membre gauche de l’équation pour obtenir 3𝑎+3𝑏2𝑎+4𝑏=1012.

Comme ces matrices sont égales, leurs coefficients doivent être égaux;par conséquent, le système d’équation est 3𝑎+3𝑏=10,2𝑎+4𝑏=12.

Dans le prochain exemple, nous allons à nouveau déterminer un système d’équations qui peut être représenté par une équation matricielle donnée;cependant, nous allons cette fois, considérer des coefficients avec des signes différents.

Exemple 4: Identifier un système de deux équations à partir d’une équation matricielle

Déterminez le système d’équations qui pourrait être résolu en utilisant l’équation matricielle 11394𝑥𝑦=813.

Réponse

Dans ce problème, on multiplie les deux matrices du membre gauche de l’équation pour obtenir 11𝑥3𝑦9𝑥+4𝑦=813.

Comme ces matrices sont égales, leurs coefficients doivent être égaux;par conséquent, le système d’équations est 11𝑥3𝑦=8,9𝑥+4𝑦=13.

Nous allons maintenant explorer un autre exemple de représentation d’un système de deux équations sous forme d’une équation matricielle mais qui nécessite cette fois-ci une manipulation algébrique.

Exemple 5: Exprimer un système de deux équations sous forme d’équation matricielle

Exprimez le système d’équations 3𝑥24=8𝑦,𝑥=3𝑦 sous forme d’une équation matricielle.

Réponse

On doit d’abord reformuler les équations sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓, car cela permet de représenter efficacement le système d’équations comme une équation matricielle.

On commence par la première équation, 3𝑥24=8𝑦.

On peut ajouter 8𝑦 et 24 à chaque membre de l’équation pour obtenir 3𝑥+8𝑦=24.

On reformule ensuite la deuxième équation en ajoutant 𝑦 à chaque membre. Cela donne 𝑥+𝑦=3.

On a maintenant le système de deux équations 3𝑥+8𝑦=24,𝑥+𝑦=3.

On rappelle qu’un système de deux équations sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓 peut être représenté par une équation matricielle sous la forme 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓. où l’on rappelle que les termes 𝑥 et 𝑦 ont des coefficients de 1.

Par conséquent, le système de deux équations de cette question peut être représenté par l’équation matricielle 3811𝑥𝑦=243.

Dans notre dernier exemple, nous allons étudier un problème qui inclut un coefficient nul dans la matrice des coefficients.

Exemple 6: Identifier un système de deux équations à partir d’une équation matricielle qui a un coefficient nul

Lequel des systèmes d’équations suivants peut être représenté par la forme matricielle 0234𝑥𝑦=56?

  1. 2𝑦=5,
    3𝑥4𝑦=6
  2. 2𝑦=5,
    3𝑥4𝑦=6
  3. 2𝑦=5,
    3𝑥4𝑦=6
  4. 2𝑦=5,
    3𝑥4𝑦=6
  5. 2𝑦=5,
    2𝑦=5

Réponse

Dans ce problème, on multiplie les deux matrices du membre gauche de l’équation pour obtenir 0𝑥2𝑦3𝑥4𝑦=56.

Comme ces matrices sont égales, leurs coefficients doivent être égaux;par conséquent, le système d’équations qui peut être représenté par l’équation matricielle donnée est 0𝑥2𝑦=5,3𝑥4𝑦=6.

Cependant, on n’inclue généralement pas les variables avec un coefficient nul;par conséquent, on peut réécrire les équations comme 2𝑦=5,3𝑥4𝑦=6.

Nous allons terminer par récapituler les points clés de ce document explicatif.

Points clés

  • Un système de deux équations sous la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦=𝑒,𝑐𝑥+𝑑𝑦=𝑓 peut être représenté par une équation matricielle sous la forme 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑥𝑦=𝑒𝑓,𝑎𝑏𝑐𝑑 est appelée la matrice des coefficients et 𝑒𝑓 la matrice des constantes.
  • Les coefficients de la matrice des coefficients ont le signe des coefficients des variables des équations d’origine.

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