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Déterminez l’expression générale de la primitive de moins sept sécante au carré de trois 𝑥 sur cinq tangente de trois 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans cette question, on nous demande d’intégrer un quotient de fonctions trigonométriques. Rappelons que la dérivée de tangente de 𝑥 par rapport à 𝑥 est sécante au carré de 𝑥. En utilisant la règle de dérivation en chaîne, nous pouvons déduire que pour toutes les constantes 𝑎, la dérivée de tangente de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est 𝑎 sécante au carré de 𝑎𝑥. Par conséquent, la dérivée de la tangente de trois 𝑥 par rapport à 𝑥 est trois sécante au carré de trois 𝑥. En utilisant cela, nous notons que la dérivée de la fonction tangente de trois 𝑥 au dénominateur de l’intégrande de l’intégrale qu’on nous demande d’évaluer apparaît presque au numérateur. La différence est qu’au lieu de trois sécante au carré de trois 𝑥, nous avons moins sept sur cinq sécante au carré de trois 𝑥 au numérateur.
Afin d’évaluer cette intégrale, nous utiliserons la propriété suivante. Étant donné une fonction non nulle 𝑓 pour toutes les constantes 𝑎, la primitive de 𝑎 multipliée par la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥, sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝐶, où 𝐶 est la constante d’intégration. Pour utiliser ce résultat, supposons que 𝑓 de 𝑥 égale tangente de trois 𝑥. Ensuite, la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥, est égale à trois sécante au carré de trois 𝑥, comme nous l’avons vu précédemment.
Nous allons essayer de manipuler cette équation afin d’écrire le numérateur de notre intégrande sous la forme 𝑎 multiplié par 𝑓 prime de 𝑥 pour une constante 𝑎. En divisant les deux membres de l’équation par trois, on obtient que un sur trois multiplié par 𝑓 prime de 𝑥 égale sécante au carré de trois 𝑥. En multipliant les deux membres de l’équation résultante par moins sept sur cinq, on obtient moins sept sur 15 multiplié par 𝑓 prime de 𝑥 égale moins sept sur cinq multiplié par sécante au carré de trois 𝑥. Par conséquent, nous pouvons réécrire l’intégrale qu’on nous demande de déterminer comme l’intégrale de moins sept sur 15 multipliée par 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, où 𝑓 de 𝑥 égale tangente de trois 𝑥.
En posant 𝑎 égal moins sept sur 15 dans le résultat décrit précédemment, nous obtenons que l’intégrale en question s’évalue à moins sept sur 15 multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de 𝑓 de 𝑥 plus 𝐶, où 𝐶 est la constante d’intégration. En substituant 𝑓 de 𝑥 égale tangente de trois 𝑥, on obtient que l’intégrale en question est égale à moins sept sur 15 multiplié par le logarithme naturel de la valeur absolue de la fonction tangente de trois 𝑥 plus 𝐶, où 𝐶 est la constante d’intégration. Ceci est notre réponse finale.
