Transcription de la vidéo
Une particule se déplace sur un plan dans lequel 𝑖 et 𝑗 sont des vecteurs unitaires orthogonaux. Une force 𝐹 égale neuf 𝑖 plus 𝑗 newtons agit sur la particule. La particule se déplace de l’origine jusqu'au point de coordonnées moins neuf 𝑖 plus six 𝑗 mètres. Calculez le travail effectué par la force.
Dans cette affirmation, on nous donne une force 𝐹 et on nous dit les composantes de cette force. On nous dit en outre que la force aide à déplacer une particule de l’origine au point moins neuf 𝑖 six 𝑗 mètres. En appelant ce vecteur de position 𝑃 majuscule, nous voulons calculer le travail effectué par la force 𝐹, que nous pouvons appeler 𝑊.
Commençons par tracer un schéma de la force et du vecteur position. Si nous traçons un repère, où 𝑖 est la composante horizontale et 𝑗 est la composante verticale, alors nous pouvons représenter graphiquement la force 𝐹 ainsi que le déplacement 𝑃, que nous avons tracés en passant de l’origine à leur extrémités avec ses composantes respectives.
Puisque nous allons calculer le travail 𝑊 effectué par la force 𝐹, nous pouvons rappeler que ce travail est égal à l’intensité de la force 𝐹 fois la norme du déplacement 𝑑 multiplié par le cosinus de l’angle entre ces deux vecteurs. Dans notre cas, nous pouvons écrire que 𝑊 est égal à l’intensité de 𝐹 fois la norme de 𝑃 multipliée par le cosinus de l’angle entre eux, que nous pouvons appeler 𝜃.
Nous pouvons commencer par calculer quel est cet angle 𝜃. En regardant notre schéma, si nous appelons l’angle entre l’axe positif 𝑖 et 𝐹 comme 𝛼 et l’angle entre l’axe négatif 𝑖 et 𝑃 comme 𝛽, alors nous pouvons écrire que 𝜃 est égal à 180 degrés moins 𝛼 moins 𝛽 ou en convertissant degrés en radians, 𝜃 est égal à 𝜋 moins 𝛼 moins 𝛽.
Compte tenu des angles 𝛼 et 𝛽, nous ne savons pas ce qu’ils sont, mais nous connaissons les extrémités des vecteurs qui commencent à l’origine et aident à définir ces deux angles. Le vecteur de force 𝐹 se termine au point neuf, un et le vecteur de déplacement 𝑃 se termine au point moins neuf, six. Nous pouvons utiliser ces coordonnées 𝑖, 𝑗 de 𝐹 et 𝑃 pour calculer 𝛼 et 𝛽.
Premièrement, en considérant l’angle 𝛼, nous pouvons écrire que la tangente de 𝛼 est égale à un divisé par neuf. C’est la composante verticale de ce vecteur divisée par sa composante horizontale. Cela indique que 𝛼 est la tangente réciproque d’un neuvième.
Ensuite, considérons l’angle 𝛽. Nous pouvons écrire la tangente de 𝛽 comme étant six sur neuf - tous les deux positifs parce que nous pouvons considérer cela comme un angle du premier quadrant étant un angle aigu. Donc 𝛽 est égal à la tangente réciproque de six sur neuf. Et nous avons alors une expression pour 𝜃 que nous pouvons entrer sur notre calculatrice et calculer. Avec cette étape terminée, revenons à notre équation pour le travail et considérons l’intensité de la force et la norme du déplacement 𝑃.
Rappelant que la norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses composantes, les composantes de 𝐹 sont neuf 𝑖 et un 𝑗. Nous prenons donc la racine carrée de neuf au carré plus un au carré. Et ce résultat sera égal à l’intensité de 𝐹 en unités de newtons. Et la norme du déplacement 𝑃 sera égale à la racine carrée de moins neuf au carré plus six au carré, les carrés des composantes de 𝑃 mètres.
En rassemblant nos expressions pour l’intensité de 𝐹, la norme de 𝑃 et 𝜃, en plaçant ces valeurs, puis en les entrant dans notre calculatrice, nous trouvons une valeur de 𝑊 de moins 75 joules. C’est le travail effectué sur la particule par la force 𝐹 sur son déplacement 𝑃.
