Transcription de la vidéo
𝐴𝐵𝐶 est un triangle isocèle tel que le côté 𝐴𝐵 et le côté 𝐴𝐶 mesurent neuf centimètres, le segment 𝐴𝐷 est perpendiculaire au segment 𝐵𝐶 et la mesure de l’angle 𝐶 est de 34 degrés. Calculez la longueur du segment 𝐵𝐶 au dixième près.
Cette question nous donne des informations sur un triangle isocèle 𝐴𝐵𝐶. Et ces informations sont représentées sur un schéma. On nous dit d’abord que les côtés 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont de même longueur. Ils mesurent tous les deux neuf centimètres. Sur le schéma, nous pouvons également voir un segment allant de 𝐴 à 𝐷, où 𝐷 est un point sur la base du triangle. C’est-à-dire sur le côté 𝐶𝐵. Et il est indiqué que 𝐴𝐷 est perpendiculaire à 𝐵𝐶. Nous avons donc deux triangles rectangles. 𝐴𝐷𝐶 et 𝐴𝐷𝐵 sont tous les deux des triangles rectangles en 𝐷.
Nous savons également que la mesure de l’angle en 𝐶 est de 34 degrés. Mais rappelez-vous qu’il s’agit d’un triangle isocèle. Et comme les côtés 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont de même longueur, la mesure de l’angle en 𝐶 doit être égale à la mesure de l’angle en 𝐵. Par conséquent, la mesure de l’angle en 𝐵 est de 34 degrés. Nous devons alors utiliser toutes ces informations pour calculer la longueur du segment 𝐵𝐶. Et nous devons donner notre réponse au dixième près.
Il y a plusieurs façons de procéder. Le moyen le plus simple est de remarquer que 𝐴𝐷𝐵 et 𝐴𝐷𝐶 sont tous les deux des triangles rectangles. Et on rappelle que si on connaît un des angles non droits d’un triangle rectangle et une de ses longueurs de côté, on peut utiliser la trigonométrie des triangles rectangles pour calculer une autre longueur de côté du triangle rectangle. Avec cette méthode, nous pouvons ainsi déterminer la longueur du segment 𝐵𝐷 et la longueur du segment 𝐶𝐷. Additionner ces deux longueurs nous donnera alors la longueur du segment 𝐵𝐶.
Cette méthode fonctionne et nous donnerait la bonne réponse. Mais nous pouvons effectuer une simplification supplémentaire. Nous pouvons remarquer que les triangles 𝐴𝐷𝐶 et 𝐴𝐷𝐵 sont en réalité superposables. On voit en effet que les triangles ont deux paires d’angles de même mesure et le côté entre eux de même longueur. Par conséquent, d’après le critère angle-côté-angle, ces deux triangles sont superposables. Et en particulier, cela nous indique que la longueur de 𝐵𝐷 est égale à la longueur de 𝐶𝐷. Mais nous aurions pu également le montrer à l’aide de la trigonométrie.
Nous allons maintenant appliquer la trigonométrie des triangles rectangles pour calculer la longueur de ces deux côtés. On rappelle pour cela l’acronyme SOH CAH TOA. Il est utile pour déterminer quelle formule trigonométrique nous devons utiliser pour calculer la longueur du côté. Mais nous devons d’abord identifier les côtés d’un des triangles rectangles par rapport à l’angle de 34 degrés. Nous pouvons choisir n’importe lequel des deux triangles. Choisissons donc 𝐴𝐵𝐷.
On commence par identifier l’hypoténuse, qui est le côté le plus long du triangle, celui opposé à l’angle droit. On voit qu’il s’agit du côté 𝐴𝐵 donc on indique qu’il s’agit de l’hypoténuse. On voit ensuite que le côté 𝐴𝐷 est opposé à l’angle de 34 degrés, donc il s’agit du côté opposé. Et enfin, le côté 𝐵𝐷 est adjacent à cet angle, donc 𝐵𝐷 est le côté adjacent. Nous sommes maintenant prêts à utiliser notre acronyme pour déterminer quelle formule trigonométrique nous devons utiliser.
Comme nous recherchons la longueur de 𝐵𝐶, nous allons ici calculer la longueur de 𝐵𝐷, qui est le côté adjacent. Et nous ne connaissons que la longueur de l’hypoténuse de ce triangle rectangle. Donc, nous connaissons la longueur de l’hypoténuse et nous souhaitons déterminer la longueur du côté adjacent. Cela signifie que nous devons utiliser le cosinus. On rappelle que si 𝜃 est un angle d’un triangle rectangle, alors le cosinus de 𝜃 est égal à la longueur du côté adjacent à 𝜃 divisé par la longueur de l’hypoténuse.
Et on peut à présent substituer ces valeurs dans la formule. On obtient cosinus de 34 degrés égale 𝐵𝐷 sur neuf. Et on peut calculer la longueur de 𝐵𝐷 en multipliant par neuf. 𝐵𝐷 égale neuf fois cosinus de 34 degrés. On peut l’évaluer sur une calculatrice, en s’assurant qu’elle est paramétrée en mode degrés. On obtient alors 7,46 centimètres.
Mais nous n’avons pas encore terminé. Rappelez-vous que nous devons calculer la longueur de 𝐵𝐶. Et nous pouvons le faire en utilisant notre schéma. La longueur de 𝐵𝐶 est en effet égale à la longueur de 𝐵𝐷 plus la longueur de 𝐷𝐶. Et nous savons qu’ils sont de même longueur, donc 𝐵𝐶 est égal à deux fois 𝐵𝐷. Nous allons à présent substituer l’expression exacte de la longueur de 𝐵𝐷 dans cette équation. Cela nous permet d’éviter les erreurs d’arrondi. On a donc 𝐵𝐶 égale deux fois neuf cosinus de 34 degrés. En évaluant cela sur une calculatrice, on obtient 14,92 centimètres.
Enfin, la question nous demande de donner notre réponse au dixième près. Le deuxième chiffre après la virgule est un deux et est inférieur à cinq. Nous devons donc arrondir cette valeur par défaut. Et cela nous donne notre réponse finale. La longueur du segment 𝐵𝐶 est de 14,9 centimètres au dixième près.
