Transcription de la vidéo
Si 𝐴 - la matrice affichée à l'écran - est une matrice symétrique, quelles sont les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 ?
Une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa matrice transposée. 𝐴 est égale à la transposée de 𝐴. La transposée d'une matrice s’obtient en échangeant les lignes et les colonnes. La première ligne de la matrice 𝐴 devient la première colonne de la matrice transposée de 𝐴, la deuxième ligne de la matrice 𝐴 est la deuxième colonne de la matrice transposée de 𝐴, la troisième ligne de la matrice 𝐴 est la troisième colonne de la matrice transposée de 𝐴.
Comme 𝐴 est une matrice symétrique et donc que 𝐴 est égale à la transposée de 𝐴, cela veut dire que chaque élément de 𝐴 est égal à l’élément correspondant de la transposée de 𝐴. On peut voir ceci clairement pour les éléments de la diagonale qui ne sont que des nombres. Mais cela est également vrai pour les éléments hors de la diagonale, qui sont en majorité exprimés en fonction des variables 𝑥, 𝑦 et 𝑧. En regardant les éléments correspondants entre les deux matrices, on peut écrire certaines équations, que l'on peut résoudre afin de déterminer les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧.
Par exemple, l'élément de la deuxième ligne et de la deuxième colonne de chaque matrice doit être identique. Nous avons donc l'équation 𝑧 moins six égal moins 11. En ajoutant six aux deux membres de cette équation, on obtient la valeur de 𝑧. Elle est égale à moins cinq. On aurait obtenu la même équation et donc la même valeur de 𝑧 si on avait plutôt mis en équation les éléments de la troisième ligne et de la deuxième colonne des deux matrices.
Regardons maintenant les autres éléments que nous pouvons mettre en équation afin de trouver la valeur de 𝑥 ou de 𝑦. En mettant en équation les éléments de la première ligne et de la deuxième colonne des deux matrices, on obtient une relation entre 𝑦 et 𝑧. Moins deux 𝑦 égal 𝑧 plus cinq. C'est la même relation que nous trouverions si on mettait en équation les éléments de la deuxième ligne et de la première colonne.
On sait déjà que 𝑧 vaut moins cinq. On peut donc substituer cette valeur de 𝑧 dans l'équation afin de déterminer la valeur de 𝑦. Moins deux 𝑦 est égal à moins cinq plus cinq. Moins deux 𝑦 égal zéro. En divisant les deux membres de l'équation par moins deux, on voit donc que 𝑦 est égal à zéro.
Il nous faut ensuite trouver une équation qui nous permet de déterminer la valeur de 𝑥. Si on met en équation les éléments de la première ligne et de la troisième colonne des deux matrices, alors on aura une relation entre 𝑦 et 𝑥. Moins 𝑦 moins trois 𝑥 est égal à moins neuf moins deux 𝑥. Là encore, cette même relation pourrait être obtenue en mettant en équation les éléments de la troisième ligne et de la première colonne. On rappelle que 𝑦 égal zéro. En substituant cette valeur dans l'équation, on trouve donc que zéro moins trois 𝑥 égal moins neuf moins deux 𝑥.
Pour résoudre cette équation, on commence par ajouter deux 𝑥 à chaque membre. Cela donne moins 𝑥 égal moins neuf. Pour trouver la valeur de 𝑥, il faut diviser ou multiplier les deux membres de l'équation par moins un. On obtient donc 𝑥 égal neuf.
Les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 obtenues en mettant en équation les éléments correspondants de 𝐴 et de la transposée de 𝐴 sont 𝑥 égal neuf, 𝑦 égal zéro, 𝑧 égal moins cinq.
