Vidéo de la leçon: Transposée d’une matrice Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la transposée d’une matrice et à identifier les matrices symétriques et antisymétriques.

Beaucoup de concepts que nous étudions en algèbre linéaire ont été développés au 17ème siècle, bien que les premières études des matrices et des déterminants peuvent remonter au deuxième siècle avant JC. Leibniz est en particulier reconnu pour avoir introduit le déterminant de matrices en Europe, tandis que Gauss a formalisé le terme au début des années 1800. Ce n’est cependant qu’en 1858 que Cayley définit le concept de matrice transposée.

Voyons la définition de la transposée d’une matrice. Considérons une matrice 𝐴 dont l’élément de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 est donné par 𝑎 indice 𝑖𝑗. Nous pouvons alors définir la transposée de 𝐴, qui est 𝐴 avec un exposant majuscule 𝑇, en utilisant les éléments de 𝐴. Cette fois, la transposée de 𝐴 a comme élément de la ligne 𝑖 et colonne 𝑗 𝑎 indice 𝑗𝑖. Maintenant, cette définition peut sembler terriblement compliquée, mais nous pouvons la simplifier quelque peu. Supposons que nous ayons une matrice deux par deux avec comme éléments 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. L’élément de la première ligne et de la première colonne est 𝑎 indice un un, ce qui vaut 𝑎. L’élément de la première ligne et de la deuxième colonne 𝑎 indice un deux est 𝑏. 𝑎 indice deux un est 𝑐, et 𝑎 indice deux deux est égal à 𝑑.

Pour trouver les éléments correspondants dans la transposée de la matrice 𝐴, on échange les valeurs de 𝑖 et de 𝑗. Cela signifie que 𝑎 indice un un, l’élément de la première ligne et de la première colonne est toujours 𝑎 indice un. Donc 𝑎 reste au même endroit. Lorsque nous échangeons les valeurs 𝑖 et 𝑗, cependant, l’élément 𝑎 indice un deux devient l’élément 𝑎 indice deux un dans la matrice transposée. Et cela signifie que nous plaçons 𝑏 dans la deuxième ligne et la première colonne. En continuant ainsi, et l’élément 𝑎 indice deux un devient l’élément 𝑎 indice un deux. Ainsi, l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne est 𝑐. Enfin, l’élément 𝑎 indice deux deux garde la même forme, et donc 𝑑 reste au même endroit.

Nous voyons maintenant que les éléments sur la diagonale principale restent inchangés. Mais si nous considérons les autres éléments, ils semblent avoir été réfléchis ou retournés par rapport à cette diagonale. En fait, nous voyons que la matrice transposée est obtenue en échangeant simplement les lignes et les colonnes. Cela signifie également que si 𝐴 est une matrice à m lignes et n colonnes, alors sa transposée doit être une matrice à n lignes et m colonnes. Notez également que bien que nous ayons illustré le procédé avec une matrice carrée, toutes les matrices peuvent être transposées, quel que soit leur nombre de lignes ou de colonnes.

Commençons donc avec un exemple où nous allons trouver la transposée d’une matrice rectangulaire.

Sachant que la matrice 𝐴 vaut moins deux, six, moins six, un, huit, quatre, trouvez la transposée de 𝐴.

Rappelez-vous, pour trouver la transposée d’une matrice, nous échangeons les lignes et les colonnes. Cela signifie que si 𝐴 est une matrice 𝑚 par 𝑛, c’est-à-dire qu’elle a 𝑚 lignes et 𝑛 colonnes, alors la transposée de 𝐴 est une matrice 𝑛 par 𝑚. Elle a 𝑛 lignes et 𝑚 colonnes. Nous voyons que la matrice 𝐴 dans ce cas a deux lignes et trois colonnes, c’est une matrice deux par trois. Cela signifie que la transposée de 𝐴 sera une matrice trois par deux. En d’autres termes, elle aura trois lignes et deux colonnes.

Pour identifier les éléments de la transposée de 𝐴, commençons par examiner la première ligne de 𝐴. Elle comporte les éléments moins deux, six, moins six. Nous savons que la première ligne de 𝐴 deviendra la première colonne de la transposée de 𝐴. Et donc la première colonne de la transposée de 𝐴 ressemble à ceci. Nous allons maintenant regarder la deuxième ligne de 𝐴. Elle comporte les éléments un, huit, quatre. Et nous savons que la deuxième ligne de 𝐴 deviendra la deuxième colonne de la transposée de 𝐴. Nous avons donc mis les éléments un, huit, quatre ici. Nous pouvons maintenant voir que la matrice transposée que nous avons créée est une matrice à trois lignes et m colonnes.

Et donc la transposée de 𝐴 est la matrice avec comme éléments moins deux, un, six, huit, moins six, quatre.

Dans notre deuxième exemple, nous verrons comment obtenir une matrice transposée à partir d’une formule pour la matrice d’origine.

Étant donné que 𝐴 est une matrice à trois lignes et deux colonnes telle que 𝑎 indice 𝑖𝑗 est égal à trois 𝑖 plus cinq 𝑗 plus neuf, trouvez la matrice 𝐴 exposant 𝑇.

On nous donne des informations sur la matrice 𝐴 de taille trois par deux et on nous demande de trouver sa transposée. Cela est représenté par 𝐴 avec un exposant 𝑇 majuscule. Et on nous donne une formule qui nous permet d’obtenir chaque élément de la matrice d’origine. Il y a donc deux façons de répondre à la question. Nous pouvons utiliser cette formule pour obtenir la matrice 𝐴, puis trouver sa transposée en échangeant ses lignes et ses colonnes. Ou alors, nous pouvons utiliser la définition de la transposée, et c’est ce que nous allons faire ici.

Autrement dit, supposons que 𝐴 est une matrice dont l’élément de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 est noté 𝑎 indice 𝑖𝑗. La transposée de cette matrice sera alors définie de sorte que l’élément de sa ligne 𝑖 et de sa colonne 𝑗 est 𝑎 indice 𝑗𝑖. Maintenant, on nous dit que la matrice 𝐴 est une matrice trois par deux, donc elle a trois lignes et deux colonnes. Puisque l’élément de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 est défini par 𝑎 indice 𝑖𝑗, alors l’élément de la première ligne et de la première colonne est 𝑎 indice un un. L’élément de la première ligne et de la deuxième colonne est 𝑎 indice un deux, et ainsi de suite.

Maintenant que nous avons défini la matrice 𝐴, définissons la matrice transposée de 𝐴. Puisque l’élément de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 est défini par 𝑎 indice 𝑗𝑖, alors l’élément de la première ligne et de la première colonne est toujours 𝑎 indice un un. L’élément de la première ligne et de la deuxième colonne sera cependant défini par 𝑎 indice deux un. Et l’élément de la première ligne et de la troisième colonne est 𝑎 indice trois un. Ensuite, la deuxième ligne contient les éléments 𝑎 indice un deux, 𝑎 indice deux deux et 𝑎 indice trois deux.

Et par souci de clarté de clarté, nous pouvons vérifier que les lignes et les colonnes ont été échangées. La première ligne de la matrice 𝐴 comporte les éléments 𝑎 indice un un et 𝑎 indice un deux. Ceux-ci correspondent à la première colonne de la transposée de 𝐴. De même, la deuxième ligne contient les éléments 𝑎 indice deux un et 𝑎 indice deux deux, qui vont dans la deuxième colonne de la transposée. Enfin, la troisième ligne correspond à la troisième colonne de la transposée.

Donc, trouvons l’élément 𝑎 indice un un en utilisant la formule. Nous posons 𝑖 égal un et 𝑗 égal un dans la formule donnée. Et nous obtenons trois fois un plus cinq fois un plus neuf, ce qui vaut 17. Ainsi, l’élément de la première ligne et de la première colonne de notre matrice transposée est 17.

Ensuite, nous allons poser 𝑖 égal deux et 𝑗 égal un. Cela nous donne 𝑎 indice deux un égal trois fois deux plus cinq fois un plus neuf. Et cela vaut 20. Le deuxième élément de notre première ligne est donc 20. Répétons cela une fois de plus pour l’élément 𝑎 indice trois un, où nous allons poser 𝑖 égal trois et 𝑗 égal un. C’est trois fois trois plus cinq fois un plus neuf, ce qui vaut 23. En répétant ce processus pour les éléments restants, nous constatons que l’élément 𝑎 indice un deux, c’est-à-dire l’élément de la deuxième ligne et de la première colonne est 22. Le deuxième élément de cette ligne est 25, et le troisième est 28.

Et nous avons donc généré la matrice transposée de 𝐴. C’est la matrice deux par trois avec comme éléments 17, 20, 23, 22, 25 et 28.

Ainsi, nous avons maintenant montré comment obtenir la transposée d’une matrice à partir d’une formule pour décrire cette matrice. Dans notre exemple suivant, nous considérerons une propriété clé de la transposition matricielle.

Étant donné la matrice 𝐴 avec comme éléments moins huit, quatre, trois, quatre, un, moins un, trouvez la transposée de la transposée de 𝐴.

Rappelez-vous, si nous avons une matrice 𝐴, la transposée de 𝐴, qui est définie en utilisant l’exposant 𝑇 majuscule, est trouvée en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice 𝐴. Ce que cela signifie donc, c’est que si la matrice 𝐴 est de taille 𝑚 fois 𝑛, alors sa transposée est une matrice de taille 𝑛 fois 𝑚. Maintenant, bien sûr, notre matrice 𝐴 a deux lignes et trois colonnes. Donc, c’est une matrice deux par trois. Cela signifie que sa transposée est une matrice trois par deux. En d’autres termes, elle comporte trois lignes et deux colonnes. Nous allons prendre les éléments dans la première ligne de la matrice 𝐴 et les mettre dans la première colonne de la transposée de 𝐴.

Donc, la première colonne pour éléments moins huit, quatre, trois. Ensuite, nous prenons les éléments de la deuxième ligne de 𝐴. Et nous les plaçons dans la deuxième colonne de la transposée. Donc, cette colonne a pour éléments quatre, un, moins un. Maintenant que nous avons la transposée de 𝐴, trouvons la transposée de cette nouvelle matrice. Il s’ensuit que puisque la transposée de 𝐴 est une matrice trois par deux, la transposée de cette matrice sera à nouveau de taille deux par trois. Elle aura deux lignes et trois colonnes. Nous allons prendre les éléments de la première ligne et les mettre dans la première colonne. Donc, cela correspond aux éléments moins huit et quatre.

Ensuite, nous prenons les éléments de la deuxième ligne et les mettons dans la deuxième colonne. La deuxième colonne contient donc les éléments quatre et un. Et enfin, nous prenons les éléments de la troisième ligne, et nous les mettons dans la troisième colonne. Et nous avons donc trouvé la transposée de la transposée de 𝐴. C’est la matrice deux par trois avec comme éléments moins huit, quatre, trois, quatre, un, moins un.

Maintenant, si nous sommes attentifs, nous pouvons remarquer que la transposée de la transposée de la matrice est en fait la matrice d’origine. Et cela vaut pour toutes les matrices. Cette propriété est en fait la première parmi plusieurs propriétés qui s’appliquent à la transposition matricielle.

Voyons cela, prenons les matrices 𝐴 et 𝐵 afin que les opérations suivantes puissent être effectuées. La transposée de la transposée de 𝐴 est simplement 𝐴. La transposée de la somme ou de la différence de 𝐴 et 𝐵 est égale à la somme ou à la différence de la transposée de 𝐴 et de la transposée de 𝐵. Pour une constante 𝐾, la transposée de 𝐾 fois 𝐴 est égale à 𝐾 fois la transposée de 𝐴. Et enfin, la transposée de 𝐴 fois 𝐵 est égale à la transposée de 𝐵 fois la transposée de 𝐴.

On utilise également la définition de la transposition matricielle pour définir les matrices symétriques et antisymétriques, qui sont deux concepts importants en algèbre linéaire. Ainsi, on dit qu’une matrice carrée 𝐴 est symétrique si elle est égale à sa transposée. Par exemple, la matrice 𝐴 avec comme éléments un, deux, deux, trois est symétrique. C’est parce que sa transposée est aussi la matrice deux par deux avec comme éléments un, deux, deux, trois. Elles sont égales, donc 𝐴 est symétrique.

La définition suivante est celle d’une matrice antisymétrique. Une matrice carrée 𝐴 est dite antisymétrique si sa transposée est égale à moins 𝐴. Alors, en fait, dans ce cas, les éléments de la diagonale principale doivent être nuls. Par exemple, supposons que cette fois 𝐴 soit la matrice carrée avec comme éléments zéro, moins quatre, neuf, quatre, zéro, un, moins neuf, moins un, zéro. La transposée est la matrice avec comme éléments zéro, quatre, moins neuf, moins quatre, zéro, moins un, neuf, un, zéro. Ceci est bien égal à l’opposé de 𝐴. Si nous prenons chaque élément de la matrice d’origine et le multiplions par moins un, nous obtenons la transposée de 𝐴. Et donc la matrice 𝐴 ici est antisymétrique.

Dans notre dernier exemple, nous allons utiliser la définition d’une matrice symétrique pour trouver les valeurs manquantes.

Trouvez la valeur de 𝑥 qui rend la matrice 𝐴 égale à moins un, cinq 𝑥 moins trois, moins 43, moins huit symétrique.

Rappelez-vous, une matrice carrée 𝐴 est symétrique si sa transposée est égale à la matrice d’origine. Nous voyons que 𝐴 est une matrice carrée, de taille deux par deux. Nous pourrons ainsi identifier la valeur de 𝑥 qui rend la matrice symétrique en trouvant d’abord sa transposée. La transposition est trouvée en échangeant les lignes et les colonnes. Et ainsi, puisque 𝐴 est une matrice deux par deux, sa transposition sera également de taille deux par deux.

La première ligne de 𝐴 a comme éléments moins un et cinq 𝑥 moins trois. Voici donc la première colonne de la transposée. La deuxième ligne a les éléments moins 43 et moins huit. Donc, voici la deuxième colonne. Nous devons donc trouver les valeurs de 𝑥 qui rendent ces deux matrices égales. Maintenant, bien sûr, pour que deux matrices soient égales, nous savons que leurs éléments individuels doivent également être égaux. Considérons en particulier l’élément de la première ligne et de la deuxième colonne. Dans notre première matrice, c’est cinq 𝑥 moins trois. Et dans la transposée, c’est moins 43. Comme elles sont égales, nous posons et résolvons une équation pour 𝑥.

Il convient également de noter que si nous avions plutôt identifié l’élément de la deuxième ligne et de la première colonne, nous aurions obtenu la même équation. Afin de résoudre cette équation pour 𝑥, ajoutons trois des deux côtés. Donc, cinq 𝑥 est égal à moins 40. Ensuite, nous divisons par cinq, donc 𝑥 est égal à moins huit. La valeur de 𝑥 qui rend la matrice 𝐴 symétrique est moins huit.

Récapitulons maintenant les points clés de cette leçon. Dans cette vidéo, nous avons appris que pour trouver la transposition d’une matrice, nous échangeons les lignes et les colonnes. Donc, si l’élément de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 de 𝐴 est 𝑎 indice 𝑖𝑗, alors l’élément de la ligne 𝑖 et de la colonne 𝑗 de la transposée de 𝐴 est donné par 𝑎 indice 𝑗𝑖. Nous avons également appris qu’une matrice de taille 𝑚 fois 𝑛 a une transposée de taille 𝑛 fois 𝑚.

Et nous avons vu que pour les matrices 𝐴 et 𝐵 où les opérations suivantes sont possibles, la transposée de la transposée de 𝐴 est la matrice 𝐴. La transposée de la somme ou de la différence de 𝐴 et 𝐵 est égale à la somme ou à la différence de la transposée de 𝐴 et de la transposée de 𝐵. Pour une constante 𝐾, la transposée de 𝐾 fois 𝐴 est 𝐾 fois la transposée de 𝐴. Et la transposition du produit de 𝐴 et 𝐵 est égale à la transposée de 𝐵 fois la transposée de 𝐴.

Enfin, nous avons appris qu’une matrice carrée est dite symétrique si sa transposée est égale à la matrice d’origine. Et elle est dite antisymétrique si sa transposée est égale à l’opposé de la matrice d’origine.