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Fiche explicative de la leçon : Transposée d’une matrice Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer la transposée d'une matrice, et à identifier les matrices symétriques et antisymétriques.

Rappelons d’abord la définition d’une matrice.

Définition : Matrices

Une matrice d’ordre 𝑚×𝑛 est un tableau rectangulaire d’éléments formé de 𝑚 lignes et de 𝑛 colonnes, définie par 𝐴=𝑎,𝑖{1,,𝑚} et 𝑗{1,,𝑛}. Chaque 𝑎 est appelé un coefficient ou un élément de la matrice.

À présent, nous voulons étudier la transposée d’une matrice, qui est une opération sur la matrice qui change ses lignes par ses colonnes ou ses colonnes par ses lignes dans le même ordre. Pour mieux illustrer ce concept, considérons la matrice d’ordre 3×2 suivante. 𝐴=302147.

Selon notre définition ci-dessus, cela peut être s’écrire 𝐴=𝑎, 𝑖{1;2;3} et 𝑗{1;2}. Lorsque nous nous référons aux coefficients de la diagonale, nous désignons les coefficients de la forme 𝑎, qui, dans ce cas, sont les coefficients 𝑎 et 𝑎. Nous les surlignons comme suit:

Maintenant, pour prendre la transposée d’une matrice, nous retournons la matrice sur la diagonale de sorte que les lignes deviennent les colonnes et les colonnes deviennent les lignes. La matrice transposée est notée 𝐴, où l’exposant 𝑇 signifie « transposée ». Illustrons ceci ci-dessous:

Remarquez que seuls les coefficients de la diagonale ne changent pas, alors que les coefficients situés sous la diagonale ont été permutées avec ceux situés au-dessus de la diagonale. Plus précisément, on change les lignes par les colonnes ou les colonnes par les lignes dans le même ordre. Pour le visualiser, mettons en évidence la première ligne de la matrice initiale:

Dans la matrice transposée, cela devient la première colonne:

De même, les deuxième et troisième lignes deviennent les deuxième et troisième colonnes, comme illustré ci-dessous:

Ainsi, comme nous pouvons le voir, la transposition matricielle peut être considérée comme un échange entre les lignes et les colonnes les unes avec les autres.

Comme les lignes et les colonnes d’une matrice sont échangées lorsque nous transposons une matrice, le nombre de lignes et le nombre de colonnes de cette matrice sont également échangés. Pour une matrice 𝐴 d’ordre 2×3, on peut voir que 𝐴 est d’ordre 3×2. Nous pouvons généraliser cela de la manière suivante.

Définition : Ordre de la transposée d’une matrice

Si une matrice 𝐴 est d’ordre 𝑚×𝑛, alors la transposée 𝐴 de cette matrice est d’ordre 𝑛×𝑚.

Dans notre premier exemple, nous proposons une utilisation directe de cette définition pour déterminer l’ordre d’une matrice.

Exemple 1: Déterminer l’ordre d’une matrice transposée

Si 𝑋 est une matrice d’ordre 4×1, alors quel est l’ordre de la matrice 𝑋?

Réponse

La matrice 𝑋 est la transposée de la matrice 𝑋. On rappelle que la transposée d’une matrice échange ses lignes avec ses colonnes. En particulier, cela signifie que le nombre de lignes et le nombre de colonnes de la matrice seront intervertis. En d’autres termes, si une matrice est d’ordre 𝑚×𝑛, la transposée de la matrice sera d’ordre 𝑛×𝑚.

Dans cet exemple, on nous donne cette matrice 𝑋 d’ordre 4×1, ce qui signifie 𝑚=4 et 𝑛=1. Ainsi, la transposée de 𝑋, qui est 𝑋, est d’ordre 𝑛×𝑚=1×4.

Visuellement, on peut voir que la transposée a l’effet suivant sur l’ordre de la matrice:𝑋=𝑋=().

Ainsi, l’ordre de la matrice 𝑋 est 1×4.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé l’ordre de la transposée d’une matrice. Voyons maintenant la définition complète de la transposée d’une matrice et comment identifier ses coefficients.

Définition : Transposée d’une matrice

Considérons une matrice d’ordre 𝑚×𝑛 notée 𝐴, définie par 𝐴=𝑎. La transposée de 𝐴, notée 𝐴, est une matrice d’ordre 𝑛×𝑚 définie par 𝐴=𝑎.

Dans la définition ci-dessus, nous voyons que les indices de chaque ligne et de chaque colonne ( 𝑖 et 𝑗 ) sont échangés. Cela a le même effet que l’idée de permuter les lignes et les colonnes de la matrice, comme nous l’avons vu ci-dessus. Par exemple, nous pouvons voir ci-dessous que le coefficient 𝑎 de la matrice 𝐴 devient le coefficient 𝑎 de la matrice 𝐴:

En d’autres termes, le coefficient de la ligne 3 et de la colonne 1 devient le coefficient de la ligne 1 et de la colonne 3. Tout coefficient de la diagonale, tel que 𝑎=3, ne change pas.

Lorsque nous voulons déterminer la transposée d’une matrice, la première étape consiste à déterminer l’ordre de la nouvelle matrice. Après cela, nous devons trouver les coefficients en retournant la matrice sur sa diagonale. Dans l’exemple suivant, nous apprendrons comment faire cela.

Exemple 2: Déterminer la transposée d’une matrice

Sachant que 𝐴=266184, déterminez 𝐴.

Réponse

Nous savons que 𝐴 est la transposée de la matrice 𝐴, nous avons donc besoin de déterminer la transposée de la matrice donnée dans cet exemple.

Rappelons que la transposée d’une matrice d’ordre 𝑚×𝑛 est une matrice d’ordre 𝑛×𝑚. Comme 𝐴 est une matrice d’ordre 2×3, la transposée de 𝐴 sera une matrice d’ordre 3×2, menant à la matrice de la forme suivante:𝐴=.

Maintenant, complétons les coefficients de la matrice 𝐴. Rappelons que la transposée d’une matrice échange ses lignes avec ses colonnes. En d’autres termes, la première ligne devient la première colonne, la deuxième ligne devient la deuxième colonne, et ainsi de suite. Ainsi, considérons chaque ligne de 𝐴 et écrivons-les chacune avec les colonnes correspondantes de 𝐴.

La première ligne de 𝐴 est

Dans la matrice transposée, cela devient la première colonne:

Ensuite, nous avons la deuxième ligne:

Cela devient la deuxième colonne:

Cela conduit à la matrice transposée 𝐴=216864.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé la transposée d’une matrice donnée en plaçant chaque ligne de la matrice dans la colonne correspondante de la matrice transposée. Cette méthode peut être appliquée à des matrices de n’importe quel ordre, comme nous l’expliquons ci-dessous.

Comment : Transposer une matrice

Pour déterminer la transposée d’une matrice d’ordre 𝑚×𝑛, nous pouvons suivre la méthode suivante:

  1. Identifiez que l’ordre de la matrice transposée est 𝑛×𝑚 et qu’il y a ainsi 𝑛 lignes et 𝑚 colonnes comme indiqué ci-dessous:
  2. Considérez chaque ligne de la matrice une par une et écrivez-les dans chaque colonne correspondante de la matrice transposée:
  3. Appliquez cette méthode jusqu’à obtenir la transposée de 𝐴:𝐴=𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.

Il est à noter que les transposées de matrices ont une propriété particulière lorsqu’elles sont appliquées deux fois de suite. Nous observerons cette propriété à travers l’exemple suivant.

Exemple 3: Application de la transposée d’une matrice deux fois de suite

Étant donnée la matrice 𝐴=843411, déterminez 𝐴.

Réponse

On sait qu’un exposant 𝑇 à côté d’une matrice indique qu’il s’agit d’une matrice transposée. Ici, on voit qu’il y a deux exposants 𝑇. Pour comprendre cette notation, on note d’abord que 𝐴 est la transposée de la matrice donnée 𝐴. Ensuite, on note que 𝐴 est la transposée de la transposée de la matrice donnée 𝐴, ce qui signifie que nous devons prendre la transposée de la matrice 𝐴 deux fois de suite.

Par conséquent, dans cet exemple, nous devons appliquer la transposée à la matrice 𝐴 deux fois de suite. On peut commencer par trouver la matrice 𝐴 puis en appliquant la transposée à la matrice obtenue.

Rappelons que la transposée d’une matrice d’ordre 𝑚×𝑛 est d’ordre 𝑛×𝑚. Comme 𝐴 est une matrice d’ordre 2×3, 𝐴 sera une matrice d’ordre 3×2, menant à la matrice de la forme suivante:𝐴=.

Rappelons que nous pouvons déterminer la transposée d’une matrice en échangeant les lignes et les colonnes. Ainsi, la première ligne de 𝐴 devient la première colonne de 𝐴:

De même, on écrit la deuxième ligne de 𝐴 à la place de la deuxième colonne de 𝐴:

Ainsi, nous avons obtenu la transposée de 𝐴:𝐴=844131.

Nous répétons cette méthode en transposant de nouveau afin de trouver 𝐴. Comme 𝐴 est une matrice d’ordre 3×2, 𝐴 sera une matrice d’ordre 2×3, menant à la matrice de la forme suivante:𝐴=.

Comme précédemment, échangeons les lignes de 𝐴 avec les colonnes de 𝐴. En commençant par la première ligne, nous avons

La deuxième ligne nous donne

Pour la dernière ligne, nous avons

Comme on peut le voir, cette matrice est en fait identique à 𝐴. En effet, le fait d’échanger deux fois les lignes et les colonnes les rend identiques à ce qu’elles étaient auparavant. En conclusion, nous avons 𝐴=843411.

Dans l’exemple précédent, nous avons vu que transposer deux fois une matrice donnait la même matrice. En fait, il s’agit d’une règle générale qui s’applique à toute matrice.

Règle : Appliquer deux fois la transposée à une matrice

Pour une matrice 𝐴, en appliquant la transposée deux fois, on obtient la même matrice. En d’autres termes, 𝐴=𝐴.

Après avoir vu que les applications successives de la transposée aboutissent à la même matrice, on peut se demander s’il y a d’autres propriétés que possède la transposée. Par exemple, y a-t-il des matrices qui vérifient que si on applique la transposée une seule fois, on obtient toujours la même matrice?En fin de compte, il existe une classe spécifique de matrices qui obéissent à une telle propriété.

Définition : Matrices symétriques et antisymétriques

Soit 𝐴=𝑎 une matrice d’ordre 𝑛×𝑛 (c’est-à-dire une matrice carrée). Alors 𝐴 est une matrice symétrique si 𝐴=𝐴.

Par ailleurs, 𝐴 est une matrice antisymétrique si 𝐴=𝐴.

Nous notons que, dans la définition ci-dessus, la matrice doit être une matrice carrée. En effet, à moins que la matrice ne soit carrée, l’ordre de la matrice change lorsque nous appliquons la transposée à la matrice. Par conséquent, les matrices symétriques et antisymétriques doivent être des matrices carrées.

De plus, rappelons que lorsque nous transposons la matrice, nous inversons les indices de chaque coefficient, donc 𝑎𝑎. Par conséquent, pour qu’une matrice soit égale à sa transposée, nous avons besoin que 𝑎=𝑎. De même pour les matrices antisymétriques, nous avons besoin de 𝑎=𝑎. Nous notons que l’une des conséquences de ceci est que les coefficients de la diagonale d’une matrice symétrique doivent être nuls, car 𝑎=𝑎 ne serait pas satisfaite autrement. Résumons ces propriétés ci-dessous.

Propriété : Indices de matrices symétriques et antisymétriques

Soit 𝐴=𝑎 une matrice carrée. 𝐴 est une matrice symétrique si et seulement si 𝑎=𝑎𝑖,𝑗.pourtous

De même, 𝐴 est une matrice antisymétrique si et seulement si 𝑎=𝑎𝑖,𝑗.pourtous

En ayant à la fois la définition et la propriété ci-dessus à l’esprit, nous pouvons commencer à imaginer à quoi ressemble une matrice symétrique ou antisymétrique. Considérez la matrice suivante où la diagonale a été surlignée:

Notez que la matrice resterait la même si nous reflétons chaque coefficient sur la diagonale. En ce sens, la matrice est symétrique et l’axe de symétrie est la diagonale. En termes d’indices, on peut voir que 𝑎=𝑎 pour tous 𝑖, 𝑗;par exemple, 𝑎=𝑎=7 et 𝑎=𝑎=0. On note que, par défaut, les coefficients de la diagonale obéissent à cette propriété car ils sont de la forme 𝑎 (échanger leurs indices de ligne et de colonne est sans effet).

Des matrices antisymétriques peuvent être identifiées de la même manière. Considérez la matrice suivante:

Dans ce cas, de chaque côté de la diagonale, les coefficients sont les mêmes mais ont des signes opposés. Par exemple, 𝑏=4, tandis que 𝑏=4 et 𝑏=6, tandis que 𝑏=6. En particulier, les diagonales sont toutes nulles, c’est-à-dire 𝑏=0 pour 𝑖{1;2;3}. En général, on peut voir que 𝑏=𝑏;ainsi, 𝐵 est antisymétrique. Nous pouvons voir que le fait que les coefficients de la diagonale soient nuls est une conséquence nécessaire de ceci étant donné que 𝑏=𝑏, ce qui ne peut être vrai que pour 𝑏=0.

Comme remarque supplémentaire, considérons le cas où nous avons une matrice carrée de coefficients nuls:

Prendre la transposée de cette matrice n’aurait aucun effet, car tous les coefficients sont identiques. Ainsi, 𝐶=𝐶 et 𝐶 est symétrique. Cependant, nous remarquons également que 𝐶=𝐶, ce qui signifie que 𝐶 est également antisymétrique. En fait, les matrices carrées de coefficients nuls sont le seul type de matrice qui est à la fois symétrique et antisymétrique à la fois.

Appliquons maintenant nos connaissances sur les matrices symétriques dans l’exemple suivant.

Exemple 4: Déterminer les éléments inconnus qui rendent symétrique une matrice donnée

Déterminez la valeur de 𝑋 qui rend symétrique la matrice 𝐴=15𝑥3438.

Réponse

Rappelons que, pour qu’une matrice soit symétrique, elle doit être carrée et satisfaire 𝐴=𝐴,𝐴 est la transposée de 𝐴. Comme le nombre de lignes et le nombre de colonnes de 𝐴 sont tous deux égaux à 2, il s’agit bien d’une matrice carrée, satisfaisant à la première condition. Afin de déterminer les valeurs de 𝑥 qui vérifient la deuxième condition, on peut déterminer la transposée de 𝐴 et poser l’égalité avec à elle-même.

Pour commencer, calculons 𝐴. Comme 𝐴 est une matrice d’ordre 2×2, l’ordre de la matrice transposée sera également 2×2. Pour trouver les coefficients de 𝐴, on peut réécrire les lignes de 𝐴 à la place des colonnes de 𝐴 comme suit:

Ainsi, la transposée est 𝐴=1435𝑥38.

Pour satisfaire l’égalité 𝐴=𝐴, nous avons posé l’égalité de cette matrice avec la matrice initiale qui nous a été donnée et nous avons obtenu l’équation matricielle suivante:15𝑥3438=1435𝑥38.

Pour vérifier l’égalité de deux matrices, nous devons vérifier que les coefficients correspondants sont égaux. Clairement, les coefficients de la diagonale sont les mêmes, car la transposition ne les change pas. Mettons en évidence les coefficients à l’extérieur de la diagonale qui doivent être égaux ci-dessous:

Cela nous donne deux équations qui doivent être satisfaites:43=5𝑥3,5𝑥3=43.

Nous pouvons voir que les deux équations sont les mêmes. Comme il s’agit d’une équation linéaire, nous pouvons la résoudre en la réarrangeant de manière à calculer 𝑥:40=5𝑥8=𝑥.

Par conséquent, 𝑥=8.

Notez que, dans l’exemple précédent, il serait également possible de calculer 𝑥 en utilisant la propriété suivante des matrices symétriques:𝑎=𝑎𝑖,𝑗.pourtous

Pour une matrice d’ordre 2×2, il suffit de vérifier que 𝑎=𝑎. Nous pouvons voir cela dans la matrice donnée:𝑎=5𝑥3,𝑎=43.

Ainsi, poser 𝑎=𝑎 conduit à la même équation que nous avions trouvée dans l’exemple.

Considérons maintenant un exemple où nous considérons une matrice antisymétrique.

Exemple 5: Déterminer les éléments inconnus qui rendent une matrice donnée antisymétrique

Sachant que la matrice 𝐵=02𝑥63𝑧+1403𝑧3𝑦+6𝑥120 est antisymétrique, déterminez la valeur de 𝑥+𝑦+𝑧.

Réponse

Rappelons que, pour qu’une matrice soit antisymétrique, elle doit être carrée et satisfaire la condition 𝐵=𝐵,𝐵 est la transposée de 𝐵. Comme le nombre de lignes et le nombre de colonnes de 𝐵 sont tous les deux égaux à 3, il s’agit bien d’une matrice carrée. En appliquant la transposée à 𝐵 et en posant l’égalité avec elle-même, nous pouvons calculer les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 qui satisfont à la deuxième condition.

Commençons par calculer 𝐵. Comme 𝐵 est d’ordre 3×3, l’ordre de 𝐵 sera aussi 3×3. Pour trouver les coefficients de 𝐵, on peut réécrire les lignes de 𝐵 à la place des colonnes de 𝐵 comme suit:

Ainsi, la transposée est 𝐵=0𝑧+143𝑦+6𝑥2𝑥012633𝑧0.

On peut maintenant écrire 𝐵=𝐵 en utilisant l’opposé de cette matrice transposée et la matrice initiale:02𝑥63𝑧+1403𝑧3𝑦+6𝑥120=0𝑧143𝑦6𝑥2𝑥012633𝑧0.

Pour que cette équation de matrice soit satisfaite, les coefficients correspondants doivent être égaux. On note tout d’abord que des deux côtés de l’équation, les diagonales ont des coefficients nuls (ce qui est une condition nécessaire pour qu’une matrice soit antisymétrique). Pour les coefficients à l’extérieur des diagonales, nous mettons en évidence lorsqu’ils doivent être égaux:

Cela donne six équations, bien que dans le cas où nous avons utilisé la même couleur de surlignage les équations sont équivalentes. Par exemple, les coefficients verts repérés par 𝑏 et 𝑏 nous donnent l’équation suivante:𝑧+14=2𝑥2𝑥=𝑧14.

Ainsi, nous avons trois équations distinctes:𝑧+14=2𝑥,3𝑦+6𝑥=63,12=3𝑧.

Pour calculer 𝑥+𝑦+𝑧, résolvons d’abord ces équations simultanément pour calculer 𝑥, 𝑦 et 𝑧 séparément. La troisième équation nous donne 12=3𝑧4=𝑧.

Donc, 𝑧=4. On peut substituer cela dans la première équation, 𝑧+14=2𝑥, pour obtenir 4+14=2𝑥18=2𝑥9=𝑥.

Ainsi, 𝑥=9. Enfin, nous pouvons le substituer dans la deuxième équation, 3𝑦+6𝑥=63, pour obtenir 3𝑦+6(9)=633𝑦+54=633𝑦=9𝑦=3.

Une fois l’ensemble traité, cela nous donne 𝑥=9, 𝑦=3 et 𝑧=4. Enfin, on peut trouver 𝑥+𝑦+𝑧 en les additionnant pour obtenir 𝑥+𝑦+𝑧=93+4=10.

Dans notre dernier exemple, nous examinerons comment la transposée interagit avec d’autres opérations matricielles.

Exemple 6: Étude des propriétés des matrices transposées

Étant donné les matrices 𝑌=4227 et 𝑋=4417, a-t-on (𝑌𝑋)=𝑌𝑋?

Réponse

On sait qu’un exposant 𝑇 à côté d’une matrice indique la transposée d’une matrice. Le membre de gauche de l’équation donnée applique la transposée à la différence des matrices, tandis que le membre de droite applique la transposée à chaque matrice avant de les soustraire. Par conséquent, cet exemple demande si nous pouvons échanger l’ordre de la transposée et de la différence.

À présent, pour vérifier si cette équation est correcte, nous devons calculer chaque membre de celle-ci et vérifier que les matrices sont égales.

Pour calculer le membre de gauche de l’équation, déterminons d’abord la différence 𝑌𝑋. Rappelons que l’on peut prendre la différence de deux matrices du même ordre en prenant la différence des coefficients correspondants dans les deux matrices. Cela nous donne 𝑌𝑋=42274417=8230.

Ensuite, nous pouvons appliquer la transposée pour trouver la matrice (𝑌𝑋). Rappelons que la transposition d’une matrice d’ordre 𝑚×𝑛 est une matrice d’ordre 𝑛×𝑚. Comme 𝑌𝑋 est une matrice d’ordre 2×2, sa transposée doit être du même ordre.

Nous rappelons également que nous pouvons trouver la transposée d’une matrice en échangeant ses lignes avec ses colonnes. On peut prendre chaque ligne de la matrice 𝑌𝑋 et la placer dans chaque colonne correspondante comme suit:

Donc, nous avons (𝑌𝑋)=8320.

Maintenant, pour le membre de droite, nous devons calculer 𝑌𝑋. Commençons par trouver la transposée de 𝑌 et 𝑋 séparément. Considérons d’abord 𝑌:𝑌=4227.

On note que 𝑌 est une matrice symétrique, car les valeurs de chaque côté de la diagonale ( 𝑎 et 𝑎) sont égales. Ainsi, la transposée est 𝑌=4227.

Ensuite, considérons 𝑋:𝑋=4417.

Ce n’est pas une matrice symétrique, alors nous allons prendre la transposée en échangeant ses lignes avec ses colonnes:

Ainsi, nous avons 𝑋=4147.

Enfin, on peut calculer 𝑌𝑋 en utilisant la différence matricielle comme suit:𝑌𝑋=42274147=8320.

Comme on peut le voir, ceci est égal à la matrice que nous avons calculée pour (𝑌𝑋). Ainsi, on peut conclure que (𝑌𝑋)=𝑌𝑋.

Nous notons que le résultat de l’exemple ci-dessus n’est pas une coïncidence. Pour les matrices 𝐴 et 𝐵 en général, cela est vrai et cela s’étend aussi aux sommes de matrices. On appelle cette propriété la distributivité .

Propriété : Distributivité de la transposition matricielle

Soit 𝐴 et 𝐵 deux matrices d’ordre 𝑚×𝑛. Par conséquent, nous avons (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐵,(𝐴𝐵)=𝐴𝐵.

Dans cette fiche explicative, nous avons discuté de la transposition matricielle et de certaines de ses propriétés intéressantes. Résumons les points clés que nous avons appris.

Points Clés

  • Si une matrice est d’ordre 𝑚×𝑛, alors la transposée de la matrice est d’ordre 𝑛×𝑚.
  • Si 𝐴=𝑎, alors la matrice transposée est définie par 𝐴=𝑎.
  • On peut transposer les coefficients d’une matrice en écrivant ses lignes à la place de ses colonnes.
  • Une matrice carrée 𝐴 est symétrique si 𝐴=𝐴. De plus, une matrice carrée 𝐴=𝑎 est symétrique si et seulement si 𝑎=𝑎𝑖,𝑗.pourtous
  • Une matrice carrée 𝐴 est antisymétrique si 𝐴=𝐴. De même, une matrice carrée 𝐴=𝑎 est antisymétrique si et seulement si 𝑎=𝑎𝑖,𝑗.pourtous
  • Soit 𝐴 et 𝐵 deux matrices d’ordre 𝑚×𝑛. Par conséquent, nous avons (𝐴+𝐵)=𝐴+𝐵,(𝐴𝐵)=𝐴𝐵.

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