Video Transcript
Déterminez l’ensemble solution de l’inégalité 𝑓 de 𝑥 inférieur ou égal à zéro en utilisant la courbe représentative ci-dessous.
Comment interpréter graphiquement cette inéquation ? Eh bien, 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à zéro lorsque sa courbe est en-dessous de l’axe des abscisses 𝑥 ou lorsqu’elle le coupe. En regardant la courbe représentative, nous pouvons voir que cela se produit pour deux régions. L’une d’entre elle se trouve à gauche de moins quatre. Et comme on ne nous donne pas de codage circulaire pour nous dire que la courbe s’arrête, nous supposons qu’elle continue indéfiniment en bas à gauche. La seconde région est à droite de moins trois. Et encore une fois, nous suivons ceci sans s’arrêter en supposant que cela continue.
Nous recherchons les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est inférieure ou égale à zéro. Donc, pour la partie orange de la courbe à gauche du moins quatre, cette région correspond à 𝑥 inférieur ou égal à moins quatre. Nous utilisons le signe inférieur ou égal plutôt que le signe strictement inférieur ou égal, car moins quatre est dans cette région. La borne est incluse. Nous pouvons voir sur la courbe représentative que 𝑓 de moins quatre est égal à zéro et donc cela vérifie l’inégalité 𝑓 de 𝑥 inférieur ou égal zéro.
L’autre région est 𝑥 supérieur ou égal à moins trois et nous utilisons le signe supérieur ou égal pour la même raison que précédemment, comme moins trois est inclus dans cette région, car 𝑓 de moins trois est nul et vérifie l’inégalité 𝑓 de 𝑥 inférieur ou égal zéro. Donc, pour résumer, notre ensemble de solutions contient les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑥 est soit inférieur ou égal à moins quatre, soit supérieur ou égal à moins trois. Nous pouvons également écrire ceci en notation d’intervalle. 𝑥 inférieur ou égal à moins quatre peut être écrit comme suit : parenthèse, moins l’infini, moins quatre, crochet. Et le fait que nous utilisions une parenthèse à gauche nous indique que la borne moins l’infini n’est pas incluse. En revanche, le fait que nous utilisions un crochet à droite nous indique que la borne moins quatre est incluse.
De même, l’inégalité 𝑥 supérieure ou égale à moins trois peut être écrite en notation d’intervalle comme crochets, moins trois, infini, parenthèse, où le crochet du côté gauche nous dit que la borne moins trois est incluse dans l’intervalle et la parenthèse du côté droit nous indique que la borne infini ne l’est pas. Et pour exprimer le fait que 𝑥 peut être dans l’un de ces intervalles, nous utilisons le symbole union. C’est une façon d’écrire l’ensemble de solutions en notation d’intervalle, mais il y a une autre manière. Nous pouvons plutôt décrire l’ensemble de solutions comme étant tout sauf la petite région verte entre moins quatre et moins trois. Cet ensemble de solutions est tout sauf moins quatre strictement inférieur à 𝑥 strictement inférieur à moins trois.
En notation d’intervalle, c’est tout sauf parenthèse, moins quatre, moins trois, parenthèse où nous avons pris soin d’utiliser des parenthèses plutôt que des crochets et des signes strictement inférieurs plutôt que des signes inférieurs ou égaux, car aucune des bornes n’est pas incluse dans cet intervalle. Rappelez-vous que c’est l’intervalle des valeurs de 𝑥 qui ne vérifient pas l’inégalité et qui ne sont donc pas dans l’ensemble solution.
Dans notre cas, tout signifie l’ensemble des nombres réels. Et donc nous pouvons écrire tout sauf cet intervalle comme l’ensemble des nombres réels moins l’intervalle. Juste une petite note pour dire, que cela peut aussi être écrit comme ℝ suivi d’une barre oblique puis l’intervalle qui doit être supprimé.
