Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer le signe d’une fonction à partir de son équation ou de sa représentation graphique. Nous commencerons par définir ce que nous entendons par le signe d’une fonction. Le signe de toute fonction peut être positif, négatif ou égal à zéro. Si une fonction est positive, elle est strictement supérieure à zéro et si elle est négative, elle est strictement inférieure à zéro. Certaines fonctions peuvent correspondre à plusieurs de ces possibilités. Elles peuvent être positives, négatives et égales à zéro pour différents intervalles de la fonction. Considérons différents types de graphiques.
Nous commençons par trois graphiques linéaires. Le premier graphique est une droite horizontale et sera de la forme 𝑦 égale une constante 𝑎. Comme la droite est en dessous de l’axe des abscisses, cette fonction sera toujours négative. Notre deuxième graphique est une droite verticale, cette fois de la forme 𝑥 égale une constante 𝑎. Cette fonction sera égale à zéro au point où la droite traverse l’axe des abscisses. Elle sera négative pour tous les points en-dessous de cet axe et positive pour tous les points au-dessus. Notre troisième fonction linéaire est de la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est le coefficient directeur et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine. Ici encore, cette fonction aura une valeur où elle sera égale à zéro. Une partie de la fonction sera également positive, et une partie sera négative. La partie au-dessus de l’axe des abscisses est positive et la partie en-dessous est négative. Nous pouvons calculer la valeur à laquelle la fonction est égale à zéro en posant 𝑦 égale zéro. Nous pouvons alors résoudre cette équation pour calculer la valeur de 𝑥.
Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous avons une fonction du second degré. Une fonction du second degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 sera en forme de u ou de n en fonction du signe du coefficient du second degré 𝑎. Nous pourrons encore une fois calculer les valeurs où la fonction est égale à zéro en posant 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Dans notre graphique, la fonction sera positive à droite d’une solution et à gauche de l’autre. La fonction sera négative entre les deux valeurs. Bien que ce ne soit pas le cas pour toutes les fonctions du second degré, cette fonction est positive, négative et égale à zéro pour différentes valeurs.
Il en va de même pour la fonction cubique indiquée. Elle est égale à zéro en trois points du graphique. Elle est positive entre nos deux premiers zéros et lorsqu’elle est supérieure au troisième zéro. La fonction est négative quand elle est inférieure à notre premier zéro ou entre notre deuxième zéro et notre troisième zéro. Dans cette vidéo, nous nous concentrerons sur des questions impliquant des fonctions constantes, des fonctions linéaires et des fonctions du second degré.
Dans lequel des intervalles suivants 𝑓 de 𝑥 égale moins huit est-elle négative ? Est-ce (A) l’intervalle ouvert de moins ∞ à huit ? (B) L’intervalle ouvert de moins huit à plus ∞ ; (C) L’intervalle ouvert de moins huit à huit ; (D) L’intervalle ouvert de huit à plus ∞ ; Ou (E) l’intervalle ouvert de moins ∞ à plus ∞.
Commençons par regarder à quoi ressemble la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins huit. Si nous considérons le repère normal, notre axe horizontal est l’axe des abscisses et notre axe vertical est l’axe des ordonnées. L’axe des ordonnées peut être noté dans ce cas 𝑓 de 𝑥. On nous dit que 𝑓 de 𝑥 est égal à moins huit. Par conséquent, nous devons trouver moins huit sur l’axe des ordonnées ou l’axe 𝑓 de 𝑥. Notre fonction est une droite horizontale passant par ce point. Cette ligne continuera indéfiniment à gauche et à droite. Comme la droite est entièrement en-dessous de l’axe des abscisses, elle sera toujours négative. Comme 𝑓 de 𝑥 égale moins huit est toujours négative, la bonne réponse est l’option (E), l’intervalle ouvert moins ∞ à plus ∞. Si une fonction est égale une constante, elle aura toujours un seul signe. Dans le cas présent, la fonction est toujours négative.
Dans notre question suivante, nous examinerons une fonction sous la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏.
Déterminez le signe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins cinq 𝑥 plus cinq.
Nous savons que cette fonction est affine car elle est de la forme 𝑦 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏, où 𝑚 est le coefficient directeur et 𝑏 est l’ordonnée à l’origine. Dans notre question, le coefficient directeur de la fonction est moins cinq et l’ordonnée à l’origine est cinq. Comme le coefficient directeur de la fonction est négatif, notre graphique descendra vers la droite. Afin de déterminer le signe de la fonction, nous devons déterminer où la courbe est positive, négative et égale à zéro. Nous pouvons voir que la courbe croise l’axe des abscisses en un point. Ce sera le point où la fonction est égale à zéro. Lorsque la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, la fonction est positive, et lorsque la courbe est en dessous de l’axe des abscisses, la fonction est négative.
Pour calculer le point où la fonction est égale à zéro, nous allons poser 𝑓 de 𝑥 égal à zéro. Ajouter cinq 𝑥 aux deux côtés de cette équation nous donne cinq 𝑥 est égal à cinq. Nous pouvons alors diviser les deux côtés de cette équation par cinq, ce qui nous donne 𝑥 est égal à un. Notre fonction est positive pour toutes les valeurs 𝑥 strictement inférieures à un. La fonction est négative ou inférieure à l’axe des abscisses pour toutes les valeurs de 𝑥 strictement supérieures à un. Nous pouvons donc conclure ce qui suit. La fonction est positive lorsque 𝑥 est strictement inférieur à un, la fonction est négative lorsque 𝑥 est strictement supérieur à un et, enfin, la fonction est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à un. La fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins cinq 𝑥 plus cinq est positive, négative et égale zéro pour différentes valeurs de 𝑥.
Dans notre prochaine question, nous examinerons une fonction du second degré.
Déterminez le signe de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 16.
Cette fonction est du second degré et comme le coefficient de 𝑥 au carré est positif, elle sera en forme de U. Afin de déterminer le signe de toute fonction, nous devons calculer des valeurs où 𝑓 de 𝑥 est positive, négative et égale à zéro. Nous pouvons commencer par calculer les zéros de la fonction en posant 𝑓 de 𝑥 égale zéro. Cela nous donne 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 16 égale zéro. L’expression du second degré peut être factorisée. Le premier terme de chaque facteur entre parenthèses sera 𝑥 car 𝑥 multiplié par 𝑥 égale 𝑥 au carré. Les seconds termes de chaque facteur doivent avoir un produit de 16 et une somme de 10. Huit multiplié par deux est égal à 16 et huit plus deux est égal à 10. 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 16 factorisé est égal à 𝑥 plus huit multiplié par 𝑥 plus deux.
Comme la multiplication de ces deux facteurs nous donne zéro, l’un des facteurs doit également être égal à zéro. Soit 𝑥 plus huit est égal à zéro, soit 𝑥 plus deux est égal à zéro. Soustraire huit des deux côtés de la première équation, nous donne 𝑥 égale moins huit. Soustraire deux des deux côtés de la seconde équation nous donne 𝑥 égale moins deux. Cela signifie que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 16 est égale à zéro lorsque 𝑥 égale moins huit ou 𝑥 égale moins deux.
Il convient maintenant de tracer le graphique 𝑦 est égal à 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 16. Nous savons que la courbe est en forme de U et traverse l’axe des abscisses lorsque 𝑥 égale moins huit et lorsque 𝑥 égale moins deux. Nous savons également qu’elle croise l’axe des ordonnées lorsque 𝑦 est égal à 16. La fonction est négative lorsqu’elle est en-dessous de l’axe des abscisses. Cela se produit entre les valeurs moins huit et moins deux. Nous pouvons écrire cela comme une inégalité. La fonction est négative lorsque 𝑥 est strictement supérieur à moins huit, mais strictement inférieur à moins deux. La courbe est positive quand elle est au-dessus de l’axe des abscisses. Cela se produit lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins huit ou lorsque 𝑥 est strictement supérieur à moins deux. Nous pouvons maintenant écrire toutes ces informations sous forme d’intervalle et d’ensemble.
La fonction 𝑓 de 𝑥 est positive pour toute valeur réelle autre que celles de l’intervalle fermé moins huit à moins deux. Cela signifie que la fonction est positive pour toutes les valeurs, à l’exception de celles comprises entre moins huit et moins deux, inclus. La fonction est négative lorsque 𝑥 est dans l’intervalle ouvert moins huit, moins deux. Cela signifie qu’elle est négative pour toute valeur comprise entre moins huit et moins deux, sans inclure ces valeurs. La fonction est égale à zéro lorsque 𝑥 est dans l’ensemble des nombres moins huit, moins deux. Cela signifie qu’elle n’est égale à zéro que pour les deux valeurs 𝑥 égale moins huit et 𝑥 égale moins deux. Nous pouvons donc voir que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus 10𝑥 plus 16 est positive, négative et égale à zéro pour différentes valeurs de 𝑥.
Dans notre dernière question, nous considérerons deux fonctions différentes.
Quelles sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles les fonctions 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins cinq et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 48 sont toutes deux positives ?
Commençons par considérer la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins cinq. Si nous voulons que cela soit positif, 𝑓 de 𝑥 doit être strictement supérieur à zéro. Cela nous donne 𝑥 moins cinq est strictement supérieur à zéro. Ajouter cinq aux deux côtés de cette inéquation nous donne 𝑥 est strictement supérieur à cinq. 𝑓 de 𝑥 est donc positive sur l’intervalle ouvert de cinq à plus ∞. C’est une fonction positive pour toute valeur strictement supérieure à cinq. Nous allons maintenant répéter ce processus pour 𝑔 de 𝑥. Cela nous donne 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 48 est strictement supérieur à zéro. Pour résoudre toute inéquation du second degré de cette forme, nous devons d’abord trouver les zéros en posant notre fonction égale à zéro. 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 48 est égal à zéro.
Cela peut être factorisé. Le premier terme dans chaque facteur est 𝑥. Les seconds termes doivent avoir un produit de moins 48 et une somme de deux. Six multiplié par huit est égal à 48. Cela signifie que moins six multiplié par huit est égal à moins 48. Moins six plus huit égale deux. Nos deux facteurs sont 𝑥 moins six et 𝑥 plus huit. Comme le produit de ces deux termes est égal à zéro, soit 𝑥 moins six est égal à zéro, soit 𝑥 plus huit est égal à zéro. Ajouter six aux deux côtés de la première équation nous donne 𝑥 est égal à six. Et soustraire huit des deux côtés de la seconde équation nous donne 𝑥 est égal à moins huit. Cela signifie que la fonction 𝑔 de 𝑥 est égale à zéro lorsque 𝑥 égale six et 𝑥 égale moins huit.
Comme notre fonction est du second degré et que le coefficient de 𝑥 au carré est positif, la courbe sera en forme de U. Cela signifie qu’elle est positive sur deux sections, lorsque 𝑥 est strictement supérieur à six et lorsque 𝑥 est strictement inférieur à moins huit. La solution de l’inéquation 𝑥 au carré plus deux 𝑥 moins 48 strictement supérieur à zéro est 𝑥 strictement inférieur à moins huit ou 𝑥 strictement supérieur à six. Cela peut aussi être écrit sous forme d’intervalle. 𝑔 de 𝑥 est positive dans l’intervalle ouvert moins ∞ à moins huit ou dans l’intervalle ouvert six à plus ∞.
Nous voulons calculer les valeurs de 𝑥 où les deux fonctions sont positives. Considérons une droite graduée avec les valeurs clés cinq, moins huit et six marquées. Nous savons que 𝑓 de 𝑥 est positive pour toutes les valeurs strictement supérieures à cinq. 𝑔 de 𝑥 est positive pour toutes les valeurs strictement inférieures à moins huit et strictement supérieures à six. Cela signifie que les deux fonctions sont positives lorsque 𝑥 est strictement supérieur à six. Cela peut également être écrit sous forme d’intervalle comme l’intervalle ouvert de six à plus ∞.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Une fonction constante de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎 sera positive, négative ou égale à zéro. Si notre valeur de 𝑎 est positive, la fonction sera positive. Si 𝑎 est négatif, elle sera négative. Et si 𝑎 est égal à zéro, la fonction sera égale à zéro. Une fonction affine de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑚𝑥 plus 𝑏 sera positive, négative et égale à zéro pour différentes valeurs de 𝑥. Nous pouvons trouver la valeur où elle est égale à zéro en posant 𝑓 de 𝑥 égale zéro. Il est alors utile de tracer le graphique de la fonction pour identifier les points où elle est négative et positive.
Une fonction du second degré de la forme 𝑎𝑥 au carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est généralement positive, négative et égale à zéro pour différentes valeurs de 𝑥. Pour calculer les valeurs où elle est égale à zéro, nous posons à nouveau la fonction égale à zéro, puis factorisons l’équation pour calculer nos valeurs. Une fois que nous avons calculé ces valeurs, nous pouvons tracer le graphique pour trouver les points où la fonction est positive et négative. Bien que nous n’ayons pas vu de question de ce type dans la vidéo, il est possible que la fonction n’ait aucune valeur où elle est égale à zéro. Dans ce cas, la fonction serait toujours positive ou toujours négative, comme indiqué dans les graphiques.
Cependant pour la grande majorité des questions que nous verrons, il y aura des solutions où 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Si nous ne pouvons pas factoriser la fonction, nous pourrons peut-être la résoudre en utilisant la formule quadratique. Nous avons également vu que nous pouvons donner nos réponses à ce type de questions sous forme d’inégalité ou d’intervalle.
