Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer le signe d’une fonction à partir de son équation ou de sa représentation graphique.
Définition : Signe d’une fonction
Le signe d’une fonction permet de savoir quand la fonction est positive, négative ou nulle. Pour une fonction sur un intervalle ,
- le signe est positif si pour tout dans ,
- le signe est négatif si pour tout dans .
Le signe de la fonction est nul pour les valeurs de où . Du fait que le nombre 0 n’est ni positif ni négatif, le signe de est nul lorsque n’est ni positif ni négatif.
Considérons trois types de fonctions. La première est une fonction constante de la forme , où est un nombre réel. La seconde est une fonction affine de la forme , où et sont des nombres réels, avec le coefficient directeur de la fonction et son ordonnée à l’origine. La troisième est une fonction du second degré de la forme , où , et sont des nombres réels, et n’est pas égal à 0. Des exemples de chacun de ces types de fonctions et leurs représentations graphiques sont donnés ci-dessous.
Nous pouvons déterminer le ou les signes de toutes ces fonctions à l’aide de leurs courbes.
Propriété: Relation entre le signe d’une fonction et sa représentation graphique
- Lorsque la courbe représentant une fonction est au-dessus de l’axe des abscisses, le signe de l’expression de la fonction est positif.
- Lorsque la courbe représentant une fonction est en-dessous de l’axe des abscisses, le signe de la fonction est négatif.
- À chaque intersection de la courbe d’une fonction avec l’axe des abscisses, le signe de la fonction est égal à zéro.
Nous pouvons voir que la courbe représentant la fonction constante est située au-dessus de l’axe des abscisses, et les flèches nous indiquent qu’elle s’étend infiniment vers la gauche et la droite. Cela signifie qu’elle n’a aucune intersection avec l’axe des abscisses. Ainsi, on dit que cette fonction est positive pour tous les nombres réels .
Ensuite, nous pouvons voir que la courbe représentant la fonction affine est en dessous de l’axe des abscisses pour certaines valeurs de et au-dessus de l’axe des abscisses pour les autres. On peut aussi voir qu’elle coupe l’axe des abscisses une fois. Pour déterminer les valeurs de pour lesquelles la fonction est positive, négative et nulle, nous pouvons déterminer l’ordonnée à l’origine x de sa courbe en substituant 0 à puis résoudre l’équation d’inconnue comme suit :
Comme la courbe coupe l’axe des abscisses en , on sait que la fonction est positive pour tous les nombres réels tels que et négative pour tous les nombres réels tels que . On sait aussi que le signe de la fonction est nul lorsque .
Enfin, nous pouvons voir que la courbe représentant la fonction du second degré est au-dessous de l’axe des abscisses pour certaines valeurs de et au-dessus de l’axe des abscisses pour les autres. On peut aussi voir que la courbe coupe l’axe des abscisses deux fois, en et , de sorte que la fonction du second degré a deux racines réelles distinctes. Par conséquent, nous savons que la fonction est positive pour tous les nombres réels , tels que ou , et qu’elle est négative pour tous les nombres réels , tels que . On sait aussi que le signe de la fonction est nul lorsque et .
Propriétés: signes des fonctions constantes, linéaires et quadratiques
- Une fonction constante de la forme ne peut être que positive, négative ou nulle. Son signe reste toujours le même quel que soit l’intervalle.
- Une fonction affine de la forme est toujours positive, négative et nulle pour différentes valeurs de avec différent de 0.
- Quand , son signe est l’opposé de celui de .
- Quand , son signe est le même que celui de .
- Quand , elle est nulle.
- Une fonction du second degré de la forme avec deux racines réelles distinctes est toujours positive, négative et nulle pour différentes valeurs de .
- Quand est inférieur à la plus petite racine ou supérieur à la plus grande racine, son signe est le même que celui de .
- Quand est entre les racines, son signe est l’opposé de celui de .
- Aux racines, son signe est nul.
Maintenant, regardons quelques exemples de ce genre de fonctions et voyons comment déterminer leurs signes en les représentant graphiquement.
Exemple 1: Déterminer le signe d’une fonction constante
Dans lequel des intervalles suivants est-elle négative ?
Réponse
Rappelons que le signe d’une fonction peut être positif, négatif ou nul. Il est positif dans un intervalle où sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses d’un repère, négatif dans un intervalle où sa courbe est en dessous de l’axe des abscisses, et nul à l’intersection avec l’axe des abscisses du repère.
Afin de déterminer l’intervalle dans lequell est négative, commençons par représenter graphiquement la courbe d’équation dans un repère. Rappelons que la courbe représentative d’une fonction de la forme , où est une constante, est une droite horizontale. En effet, quelle que soit la valeur de que nous entrons dans la fonction, nous obtiendrons toujours la même valeur de sortie. Dans ce cas, la valeur de sortie sera toujours , ainsi, la courbe représentative est la ligne horizontale suivante :
Nous pouvons voir que la courbe est située sous l’axe des abscisses et que pour toute valeur réelle de entrée dans la fonction, on obtiendra . Cela signifie que la courbe ne coupera jamais ou ne sera jamais au-dessus de l’axe des abscisses. En d’autres termes, le signe de la fonction ne sera jamais nul ou positif, il doit donc toujours être négatif. Ainsi, l’intervalle dans lequel la fonction d’expression est négative est .
Dans le problème suivant, nous apprendrons à déterminer le signe d’une fonction affine.
Exemple 2: Déterminer le signe d’une fonction affine sur différents intervalles
Déterminez le signe de la fonction définie par .
Réponse
Rappelons que le signe d’une fonction peut être positif, négatif ou nul. On peut déterminer graphiquement le signe d’une fonction. Nous savons que le signe est positif dans un intervalle où la courbe de la fonction est au-dessus de l’axe des abscisses, nul à l’intersection de sa courbe avec l’axe des abscisses, et négatif dans un intervalle où sa courbe est située sous l’axe des abscisses.
Commençons par déterminer l’intersection de la courbe représentant la fonction avec l’axe des abscisses, en regardant quand est égale à 0 et résolvons l’équation d’inconnue :
Cela nous indique que la courbe coupe l’axe des abscisses au point . D’après l’expression de la fonction, nous sommes également en mesure d’écrire que l’ordonnée à l’origine de la courbe est 5, donc en traçant une droite passant par le point et le point , on obtient la courbe d’équation qui est représentée par :
Nous pouvons voir que la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses pour toutes les valeurs réelles de inférieures à 1, qu’elle coupe l’axe des abcisses en 1, et qu’elle est en-dessous de l’axe des abscisses pour toutes les valeurs réelles de supérieures à 1. Ainsi, on peut conclure que la fonction est positive lorsque , est négative lorsque , et est nulle lorsque .
Note
En saisissant des valeurs de dans notre fonction et en observant les signes des valeurs de sortie obtenues, nous pouvons être en mesure de repérer les erreurs éventuelles. Entrons des valeurs de qui sont inférieures à 1 et d’autres qui sont supérieures à 1, ainsi que la valeur 1 elle-même :
Notez que les valeurs d’entrée inférieures à 1 renvoient des valeurs de sortie supérieures à 0 et que les valeurs d’entrée supérieures à 1 renvoient des valeurs de sortie inférieures à 0. La valeur 1 elle-même retourne la valeur 0. Ceci est cohérent avec ce que nous souhaitions.
Il est à noter que, dans le problème que nous venons de résoudre, la fonction définie par est sous la forme . On rappelle que le signe d’une fonction affine exprimée sous cette forme peut aussi être déterminé algébriquement.
- Quand , son signe est l’opposé à celui de .
- Quand , son signe est le même que celui de .
- Quand , son signe est nul.
Dans ce cas, et , donc la valeur de est , soit 1. Ainsi, comme le signe de est négatif, on sait que la fonction est positive lorsque , est négative lorsque , et est nulle lorsque . C’est la même réponse que celle obtenue avec la représentation graphique de la fonction.
Maintenant, nous allons représenter graphiquement une fonction du second degré pour déterminer son signe sur différents intervalles.
Exemple 3: Déterminer le signe d’une fonction du second degré sur différents intervalles
Déterminez le signe de la fonction d’expression .
Réponse
Dans ce problème, on nous donne la fonction du second degré définie par . Nous savons que pour les valeurs de où , son signe est positif ; pour les valeurs de où , son signe est négatif et pour les valeurs de où , son signe est nul. Commençons par trouver les valeurs de pour lesquelles le signe de est nul. En posant égal à 0 on obtient
Pour résoudre cette équation d’inconnue , nous pouvons vérifier s’il est possible de factoriser le membre de gauche en deux expressions du premier degré. Si nous le pouvons, nous savons que le premier terme de chacun des facteurs sera , du fait que le produit de et est . Nous savons aussi que les seconds termes devront avoir un produit de 16 et une somme de 10. Comme et , on peut factoriser le membre de gauche pour obtenir
Étant donné que le produit des deux facteurs obtenus est égal à 0, l’un des deux facteurs doit être nul. Ainsi ou . On peut résoudre la première équation d’inconnue en soustrayant 8 à chaque membre et la deuxième équation en soustrayant 2 à chaque membre. Cela nous indique que soit ou . En d’autres termes, les valeurs qui annulent la fonction sont et .
Nous pouvons déterminer le signe d’une fonction à partir de sa représentation graphique, représentons donc la courbe d’équation . Comme le coefficient de est positif, on sait que la courbe est une parabole qui s’ouvre vers le haut. Nous avons déjà montré que les intersections de la courbe représentative avec l’axe des abscisses sont et , et comme nous savons la courbe représentative coupe l’axe des ordonnées en 16. Ainsi, notre courbe devrait se présenter comme suit :
Nous pouvons voir que la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses pour toutes les valeurs de inférieures à et aussi celles supérieures à , qu’elle coupe l’axe des en et en , et qu’elle est sous l’axe des abscisses pour toutes les valeurs de entre et . Cela signifie que la fonction est positive lorsque et , elle est négative lorsque , et elle est nulle lorsque et . En utilisant la notation habituelle, on dirait que la fonction est positive lorsque , elle est négative lorsque , et elle est nulle lorsque .
Remarquons que, dans le problème que nous venons de résoudre, la fonction définie par est sous la forme , et a deux racines distinctes. Rappelons que le signe d’une telle fonction du second degré peut aussi être déterminé algébriquement.
- Quand est inférieur à la plus petite racine ou supérieur à la plus grande racine, son signe est le même que celui de .
- Quand est entre les racines, son signe est l’opposé de celui de .
- Aux racines, son signe est nul.
Dans ce cas, , et les racines de la fonction sont et . Comme le signe de est positif, on sait que la fonction est positive lorsque et , elle est négative lorsque , et il est nul lorsque et . C’est la même réponse que celle obtenue à l’aide de la représentation graphique de la fonction.
Note également que, dans le problème que nous venons de résoudre, nous avons pu factoriser le membre de gauche de l’équation . Cela nous a permis de déterminer que la fonction du second degré correspondante avait deux racines réelles distinctes. Cependant, ce ne sera pas toujours le cas.
Considérons la fonction du second degré définie par . En posant égal à 0 on a , mais il n’existe aucun moyen apparent de factoriser le membre de gauche de l’équation. Nous pouvons confirmer que le côté gauche ne peut pas être factorisé à l’aide du discriminant de l’équation. Pour une équation du second degré de la forme , le discriminant, , est égal à . Ainsi, le discriminant de l’équation est
Étant donné que le discriminant est négatif, nous savons que l’équation n’a pas de solutions réelles et, par conséquent, que la fonction n’a pas de racines réelles. Étant donné que le coefficient directeur de la fonction est positif, nous savons aussi que la courbe de la fonction est une parabole qui s’ouvre vers le haut, de sorte que la représentation graphique apparaîtra comme suit :
Comme la courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses, la fonction est positive pour toutes les valeurs réelles de .
Propriété: Relation entre le discriminant d’une équation du second degré et le signe de la fonction du second degré correspondante définie par 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
- Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est négatif, la fonction correspondante n’a aucune racine réelle. Le signe de la fonction sera toujours le même que le signe de .
- Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est nul, la fonction correspondante a une seule racine réelle. Le signe de la fonction sera toujours nul à la racine et sera le même que celui de pour toutes les autres valeurs réelles de .
- Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est positif, la fonction correspondante a deux racines réelles. Le signe de la fonction sera toujours le même que celui de quand est inférieur à la plus petite racine ou supérieur à la plus grande racine, l’opposé de celui de quand est entre les racines, et nul aux racines.
Dans l’exemple qui suit, nous chercherons les valeurs de pour lesquels le signe d’une fonction affine et le signe d’une fonction du second degré sont tous deux positifs.
Exemple 4: Déterminer un intervalle où une fonction linéaire et une fonction du secon degré sont de même signe
Quelles sont les valeurs de pour lesquelles les fonctions définies par et par sont toutes les deux positives ?
Réponse
Dans ce problème, on nous demande les valeurs de pour lesquelles deux fonctions sont toutes deux positives. Rappelons qu’une fonction peut être de signe positif. Pour commencer, considérons la fonction définie par . Nous savons qu’elle est positive pour toute valeur de où , de sorte que nous pouvons écrire cela comme l’inéquation
On ajoute 5 à chaque membre ce qui nous donne , qui peut être écrit sous forme d’intervalle comme . C’est-à-dire, la fonction définie par est positive pour toutes les valeurs de supérieures à 5.
Maintenant, regardons la fonction définie par . D’abord, déterminons quand est nulle. Nous ferons cela en posant égale à 0, ce qui nous donne l’équation
Nous devons maintenant vérifier si nous pouvons factoriser le membre de gauche de cette équation en deux expressions du premier degré pour résoudre l’équation d’inconnue . Comme le produit de et est , nous savons qu’il est possible que le premier terme de chacun des facteurs soit . Nous savons aussi que les termes restants doivent avoir un produit de et une somme de 2. Comme et , on peut factoriser le membre de gauche pour obtenir
Le produit des deux facteurs est égal à 0, alors l’un des deux facteurs doit être nul. C’est-à-dire, soit ou . Nous pouvons résoudre la première équation en ajoutant 6 à chaque membre, et nous pouvons résoudre la deuxième en soustrayant 8 à chaque membre. Cela nous indique que soit ou , de sorte que les valeurs qui annulent la fonction sont 6 et .
On peut trouver graphiquement le signe d’une fonction, traçons donc la courbe représentative d’équation . Le coefficient du terme en est positif, nous savons donc que la courbe est une parabole qui s’ouvre vers le haut. Nous avons déjà montré que les intersections avec l’axe des abscisses sont 6 et , et comme nous savons que l’intersection avec l’axe des ordonnées est . Ainsi, notre courbe devrait être semblable à celle représentée ci-dessous :
Nous pouvons voir que la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses pour toutes les valeurs de inférieures à et aussi celles qui sont supérieurss à 6, de sorte que la fonction est positive lorsque et . On peut écrire ceci comme la réunion des intervalles suivants .
Maintenant que nous savons que est positive lorsque et que est positif lorsque ou , on peut déterminer les valeurs de pour lesquelles les deux fonctions sont positives. Étant donné que toute valeur de inférieure à n’est pas supérieure à 5, on peut ignorer l’intervalle et ne déterminer que les valeurs de qui sont à la fois supérieures à 5 et supérieures à 6. Les valeurs de plus grandes que 5 et 6 sont supérieures à 6, donc nous savons que les valeurs de pour lesquelles les fonctions définies par et sont tous deux positives satisfont l’inégalité .
Comme dernier exemple, nous déterminerons l’intervalle dans lequel deux fonctions du second degré ont le même signe.
Exemple 5: Déterminer un intervalle où deux fonctions du second degré ont le même signe
Déterminez l’intervalle où les signes des deux fonctions définies par et sont négatifs dans .
Réponse
Dans ce problème, on nous demande de déterminer l’intervalle où les signes de deux fonctions sont tous deux négatifs. Rappelons que le signe d’une fonction est négatif sur un intervalle si la valeur de la fonction est inférieure à 0 sur cet intervalle.
Nous pouvons déterminer graphiquement le signe d’une fonction. On trace la courbe représentant cette fonction du second degré, puis on détermine ses intersections avec l’axe des abscisses ; tout d’abord, considérons la fonction définie par . Pour trouver les intersections de sa courbe avec l’axe des abscisses, nous pouvons commencer par chercher quand est égale à 0. On doit donc résoudre l’équation
Pour résoudre cette équation d’inconnue , on tente de l’écrire sous la forme d’un produit de deux expressions du premier degré. Si c’est possible, les premiers termes des facteurs peuvent être et , car le produit de et est . Nous savons aussi que le produit des seconds termes donne . Comme , on peut essayer de factoriser le membre de gauche comme ce qui nous donne l’équation
En développant et en réduisant et on trouve , nous savons que nous avons factorisé correctement. Nous pouvons voir que le produit des deux facteurs est égal à 0, donc l’un des deux facteurs doit être nul. C’est-à-dire, soit ou . On résout chacune des équations d’inconnue on obtient et
Cela nous indique que soit ou , de sorte que les zéros de la fonction sont et 6.
Maintenant, représentons la courbe d’équation . Comme le coefficient de est positif, on sait que la courbe est une parabole qui s’ouvre vers le haut. Nous avons déjà montré que les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses sont et 6, et comme on sait que son intersection avec l’axe des ordonnées est . Ainsi, notre courbe devrait être représentée comme suit :
Nous pouvons voir que la courbe est en dessous de l’axe des abscisses pour toutes les valeurs de supérieures à et inférieures à 6. Cela signifie que la fonction est négative lorsque est compris entre et 6. Ce qui s’écrit aussi à l’aide d’un intervalle .
Ensuite, considérons la fonction définie par . En posant égal à 0 cela nous donne l’équation
Pour résoudre cette équation d’inconnue , nous devons de nouveau vérifier si nous pouvons factoriser le membre de gauche avec deux expressions du premier degré. Si c’est possible, nous savons que le premier terme de chacun des facteurs sera , le produit de et étant . Nous savons aussi que les termes suivants devront avoir un produit égal à et une somme égale à . Comme et , on peut factoriser de membre de gauche pour obtenir
Étant donné que le produit des deux facteurs est nul, l’un des deux facteurs est nul. C’est-à-dire, soit ou ; en résolvant ces équations d’inconnues on obtient et
Maintenant, nous pouvons tracer une courbe d’équation . Le coefficient de est positif, nous savons une fois de plus que la courbe est une parabole qui s’ouvre vers le haut. Nous avons déjà montré que la courbe coupe l’axe des abscisses en 5 et , et comme nous savons que la courbe coupe l’axe des ordonnées en . Ainsi, notre courbe devrait être semblable à celle ci-dessous :
Cette fois, nous pouvons voir que la courbe est en dessous de l’axe des abscisses pour toutes les valeurs de supérieures à et inférieures à 5, de sorte que la fonction est négative lorsque et . Cela s’écrit à l’aide de l’intervalle .
Maintenant que nous savons que est négative lorsque est dans l’intervalle et que est négative lorsque est dans l’intervalle , on peut déterminer l’intervalle dans lequel les deux fonctions sont négatives. Comme l’intervalle est inclus dans l’intervalle , ou l’intervalle , toutes les valeurs de dans l’intervalle seraient également dans l’intervalle .
Ainsi, on sait que les valeurs de pour lesquelles les fonctions définies par et sont toutes deux négatives se trouvent dans l’intervalle .
Note
Cela peut être démontré graphiquement à l’aide de la représentation des courbes d’équations et dans un même repère comme indiqué ci-dessous.
Maintenant, récapitulons quelques points clés.
Points Clés
- Une fonction constante est soit positive, soit négative, soit nulle pour toutes les valeurs réelles de .
- Une fonction affine de la forme , où , a toujours un intervalle sur lequel elle est négative, un intervalle sur lequel elle est positive, et une intersection avec l’axe des abscisses pour laquelle elle s’annule.
- Quand , son signe est l’opposé de celui de .
- Quand , son signe est le même que celui de .
- Quand , son signe est nul.
- Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est négatif, la fonction correspondante d’expression n’a pas de racines réelles. Le signe de la fonction est toujours le même que le signe de .
- Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est nul, la fonction d’expression a une racine réelle. Le signe de la fonction est toujours nul à la racine et est le même que celui de pour toutes les autres valeurs réelles de .
- Lorsque le discriminant d’une équation du second degré est positif, la fonction d’expression a deux racines réelles. Le signe de la fonction est toujours le même que celui de quand est inférieur à la plus petite racine ou supérieur à la plus grande racine, l’opposé de celui de quand est entre les racines, et nul aux racines.
- Pour déterminer le signe d’une fonction dans différents intervalles, il est souvent utile de représenter graphiquement la fonction. Lorsque la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, le signe de la fonction est positif, quand elle est en dessous de l’axe des abscisses, le signe de la fonction est négatif et à l’intersection avec l’axe des abscisses, le signe de la fonction est nul.
