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Complétez ce qui suit. La somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de 1 à 𝑛 est égale à combien.
Bon, ce que nous essayons de trouver, c’est une expression algébrique pour la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de 1 à 𝑛. Si nous écrivions cela à la main, ce serait un plus deux plus trois et ainsi de suite jusqu’à 𝑛 moins un plus 𝑛. Maintenant, afin de trouver la formule que nous recherchons, il y a une astuce qui consiste à écrire cette somme de deux manières. Nous pouvons échanger l’ordre des termes et l’écrire de manière équivalente comme 𝑛 plus 𝑛 moins un plus 𝑛 moins deux jusqu’à plus deux plus un.
À présent, ce que nous pourrions remarquer, c’est qu’en échangeant l’ordre des termes, la somme des termes qui sont dans la même position est toujours la même. À chaque fois, la somme est égale à 𝑛 plus un. Donc, si nous devions ajouter ces deux expressions de la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 ensemble, nous aurions deux fois la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 qui seraient égaux à 𝑛 plus un plus 𝑛 plus un plus 𝑛 plus un et ainsi de suite. En fait, nous ajouterions 𝑛 fois 𝑛 plus un, qui peut être écrit algébriquement par 𝑛 facteur de 𝑛 plus un.
Nous voulons trouver une expression pour la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛, alors que pour le moment nous avons deux fois cette somme. On peut donc diviser les deux membres de cette équation par deux pour obtenir que la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 est égale à 𝑛 facteur de 𝑛 plus un sur deux. Et voici notre réponse. La somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛, qui est la somme des entiers relatifs de un à 𝑛, est 𝑛 facteur de 𝑛 plus un sur deux. Nous devrions retenir ce résultat, mais nous devons également nous rappeler comment l’établir.
Voyons également une approche différente que nous pourrions proposer pour répondre à cette question. Nous allons considérer le développement binomial de 𝑟 moins un, le tout au carré. Et la raison pour laquelle nous ferons cela deviendra claire au fur et à mesure que nous avancerons dans la méthode. 𝑟 moins un au carré est égal à 𝑟 au carré moins deux 𝑟 plus un. En réarrangeant, nous obtenons que deux 𝑟 moins un est égal à 𝑟 au carré moins 𝑟 moins un au carré. Et comme ces deux expressions sont égales, les sommes pour 𝑟 allant de un à 𝑛 des séries dont chaque expression a pour terme le terme général seront également égales.
Considérons d’abord la somme du membre de droite. Si nous écrivions cette somme à la main, nous aurions un au carré moins zéro au carré plus deux au carré moins un au carré plus trois au carré moins deux au carré et ainsi de suite jusqu’à 𝑛 au carré moins 𝑛 moins un au carré. Ce que nous remarquerons cependant, c’est que plusieurs des termes s’annulerons. Tout d’abord, nous ajoutons un au carré, puis nous soustrayons un au carré. Nous ajoutons deux au carré, puis nous soustrayons deux au carré, etc. En fait, si nous continuons ainsi, les seuls termes qui restent sont moins zéro au carré lorsque 𝑟 est égal à un et 𝑛 au carré lorsque 𝑟 est égal à 𝑛. Mais bien sûr, zéro au carré est égal à zéro. Donc, en fait, la somme entière se simplifie par 𝑛 au carré.
Ensuite, considérons la somme sur le membre de gauche. En utilisant la propriété de linéarité de la somme, la somme des deux 𝑟 moins un pour 𝑟 allant de un à 𝑛 est égale à deux multiplié par la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 moins la somme des uns pour 𝑟 allant de un à 𝑛. Dans ce second terme, nous additionnons simplement la valeur un 𝑛 fois. La valeur de la deuxième somme est donc un multipliée par 𝑛, ce qui est égal à 𝑛. Donc, en posant l’égalité des expressions des sommes de chaque membre de l’équation, nous obtenons deux multiplié par la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 moins 𝑛 égal 𝑛 au carré.
Nous voulons réorganiser cette équation pour obtenir une expression de la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛. Nous commençons par ajouter 𝑛 à chaque membre ce qui donne deux multiplié par la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 égal 𝑛 au carré plus 𝑛. Cela peut être factorisé par 𝑛 pour donner 𝑛 facteur de 𝑛 plus un. La dernière étape consiste à diviser les deux membres de l’équation par deux, ce qui donne que la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 est égale à 𝑛 facteur de 𝑛 plus un sur deux, ce qui est identique à la formule que nous avons trouvée en utilisant notre précédente méthode.
Donc, en utilisant d’abord une astuce pour écrire la série dans deux ordres différents, puis en considérant le développement binomial de 𝑟 moins un carré, nous avons constaté que la somme des 𝑟 pour 𝑟 allant de un à 𝑛 est égale à 𝑛 multipliée par 𝑛 plus un sur deux.
