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Vidéo de la leçon : Déterminer algébriquement la somme des termes d’une suite Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ou quadratique en appliquant des méthodes et des formules algébriques

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ou quadratique en appliquant des méthodes et des formules algébriques. On rappelle qu’une suite arithmétique évolue de façon constante et son terme général est 𝑎𝑛 plus 𝑏. D’autre part, le terme général d’une suite quadratique est 𝑎𝑛 au carré plus 𝑏𝑛 plus 𝑐, où 𝑎 est différent de zéro.

Commençons maintenant par se remémorer ce que nous savons sur la somme des termes d’une suite et voyons comment utiliser la notation sigma pour les représenter. Prenons la somme d’un terme 𝑎 indice 𝑟, qui est une fonction de 𝑟, allant de 𝑟 égal un à une valeur 𝑛 en utilisant la notation sigma notée comme indiqué. La somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 est égale à 𝑎 indice un plus 𝑎 indice deux plus 𝑎 indice trois et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 indice 𝑛. Cette somme commence à 𝑟 égal un. Cependant, cela n’est pas obligatoire. Par exemple, nous pourrions commencer par 𝑟 égal 𝑚, où 𝑚 est inférieur à 𝑛, comme indiqué.

La somme allant de 𝑟 égal 𝑚 à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 peut également être écrite comme la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 moins la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑚 moins un de 𝑎 indice 𝑟. En effet, la première somme contient tous les termes de 𝑎 indice un jusqu’à 𝑎 indice 𝑛. En soustrayant les termes de 𝑟 égal un à 𝑟 égal 𝑚 moins un, on obtient 𝑎 indice 𝑚 plus 𝑎 indice 𝑚 plus un et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 indice 𝑛. Ceci correspond à la différence de deux sommes.

Afin d’évaluer ces sommes algébriquement, nous allons maintenant examiner certaines propriétés en utilisant la notation sigma. Ces propriétés suivent le même modèle que lorsque nous travaillons avec des expressions algébriques.

Premièrement, nous avons la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝜆 multiplié par 𝑎 indice 𝑟 est égale à 𝜆 multiplié par la somme de un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟. Cette propriété est valable si 𝜆 est une constante réelle. Ensuite, nous avons que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 plus 𝑏 indice 𝑟 est égale à la somme de un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 plus la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑏 indice 𝑟 de 𝑟 est égal à un à 𝑛. Ces deux propriétés peuvent être combinées. La somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝜆 un 𝑎 indice 𝑟 plus 𝜆 deux 𝑏 indice 𝑟 est égale à 𝜆 un multiplié par la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 plus 𝜆 deux multiplié par la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑏 indice 𝑟. Ceci est connu comme la propriété de linéarité de la somme.

Enfin, nous pouvons également séparer la somme en une certaine valeur entre le début et la fin, ici la valeur 𝑚, qui est supérieure à un et inférieure à 𝑛. La somme allant de 𝑟 égal un à 𝑟 de 𝑎 indice 𝑟 est égale à la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑚 de 𝑎 indice 𝑟 plus la somme allant de 𝑟 égal 𝑚 plus un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟. Cette propriété est valable car la première somme du côté droit est égale à 𝑎 indice un plus 𝑎 indice deux et ainsi de suite jusqu’à 𝑎 indice 𝑚. La deuxième somme est la somme des termes restants jusqu’à 𝑎 indice 𝑛. Combiner les deux donne la somme sur le côté gauche. Dans notre premier exemple, nous allons utiliser cette propriété pour réécrire une somme.

À quoi est égale la somme allant de 𝑟 égal un à 12 de quatre 𝑟 plus un plus la somme allant de 𝑟 égal 13 à 25 de quatre 𝑟 plus un? Est-ce (A) la somme allant de 𝑟 égal un à 25 de huit 𝑟 plus deux, (B) la somme allant de 𝑟 égal un à 25 de quatre 𝑟 plus un carré, (C) la somme allant de 𝑟 égal un à 25 de quatre 𝑟 plus deux, ou (D) la somme allant de 𝑟 égal un à 25 de quatre 𝑟 plus un?

Pour répondre à cette question, nous utiliserons la propriété des sommes qui indique que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑚 de 𝑎 indice 𝑟 plus la somme allant de 𝑟 égal 𝑚 plus un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟 est égale à la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑎 indice 𝑟. Cela est valable lorsque 𝑚 est inférieur à 𝑛. De l’expression donnée, nous voyons que la valeur de 𝑚 est 12. 𝑚 plus un est donc égal à 13, qui est la valeur de départ de la deuxième somme. Nous pouvons également voir que 𝑛 est égal à 25 et 𝑎 indice 𝑟 est égal à quatre 𝑟 plus un. L’expression sur le côté gauche de l’équation est donc égale à la somme allant de 𝑟 égal un à 25 de quatre 𝑟 plus un. Cela signifie que la bonne réponse parmi les quatre options est l’option (D).

Voyons maintenant comment nous pouvons calculer la somme d’une suite avec une constante. Supposons que nous devons calculer la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 d’une constante 𝛼. Nous savons déjà que nous pouvons sortir une constante en dehors de la somme. Ainsi, cela est égal à 𝛼 multiplié par la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de un. La somme seule est égale à un plus un plus un et ainsi de suite, avec 𝑛 uns. Ceci est donc égal à 𝑛. La somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de toute constante 𝛼 est égale à 𝛼 multiplié par 𝑛.

Ensuite, examinons comment trouver la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 d’une expression linéaire de 𝑟. Ceci est égal à la somme des entiers de un à 𝑛. Comme l’addition est commutative, nous pouvons également écrire les termes dans l’ordre inverse. Ajoutons ensuite ces deux équations. Cela nous donne deux multiplié par la somme allant de 𝑟 est égal à un à 𝑛 de 𝑟 est égal à 𝑛 plus un plus 𝑛 plus un et ainsi de suite, où il y a 𝑛 paquets de 𝑛 plus un. Le côté droit est donc égal à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un. En divisant par deux, la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un le tout divisé par deux. Nous allons maintenant utiliser ces deux formules pour trouver la somme d’une suite sous la forme 𝛼 𝑟 plus 𝛽.

Trouvez la somme allant de 𝑟 égal à un à 𝑛 de 𝑟 moins huit étant donné que la somme allant de 𝑟 égal à un à 𝑛 de 𝑟 est égal à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un divisé par deux.

Commençons cette question en rappelant la propriété de linéarité de la somme. Cela signifie que nous pouvons réécrire la somme donnée comme la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 moins huit multiplié par la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de un. On nous donne dans la question que le premier terme sur la droite est égal à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un divisé par deux. Rappelant que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de un est égale à 𝑛, le deuxième terme à droite est égal à huit 𝑛. Nous avons 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un sur deux moins huit 𝑛.

En distribuant les parenthèses et en mettant un dénominateur commun, nous avons 𝑛 au carré plus 𝑛 moins 16𝑛 sur deux. Cela se simplifie à son tour en 𝑛 carré moins 15𝑛 sur deux. Il s’agit de la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 moins huit.

Nous allons maintenant voir un exemple où l’indice de départ est supérieur à un.

Trouvez la somme allant de 𝑟 égal huit à 12 de neuf fois 𝑟 moins 37 en utilisant les propriétés de la somme et étant donné que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 vaut 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un divisé par deux.

Commençons par distribuer les parenthèses pour que l’expression linéaire soit égale à neuf 𝑟 moins 333. Nous devons calculer la somme de cela entre 𝑟 égal huit et 𝑟 égal 12 en utilisant les propriétés de la somme.

Lorsque l’indice de départ est supérieur à un, nous pouvons utiliser la propriété sur la différence de deux sommes. Puisque la valeur de 𝑚 est égal à huit et que 𝑛 est égal à 12, nous pouvons réécrire l’expression comme indiqué. Ensuite, nous pouvons utiliser la propriété de linéarité de la somme. En rappelant que soustraire un nombre négatif revient à ajouter un nombre positif, il nous reste neuf multiplié par la somme allant de 𝑟 égal un à 12 de 𝑟 moins 333 multiplié par la somme allant de un à 12 de un moins neuf multiplié par la somme allant de 𝑟 égal un à sept de 𝑟 plus 333 multiplié par la somme allant de 𝑟 égal un à sept de un.

On nous donne une expression pour la somme allant de 𝑟 égal à un à 𝑛 de 𝑟. Dans cette question, 𝑛 sera égal à 12 et sept, respectivement. Cela signifie que le premier terme est égal à neuf multiplié par 12 multiplié par 13 divisé par deux. Le troisième terme est égal à neuf multiplié par sept multiplié par huit divisé par deux. Cela se simplifie pour donner neuf multiplié par 78 et neuf multiplié par 28.

Nous rappelons que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de un est égal à 𝑛. L’expression devient donc neuf multiplié par 78 moins 333 multiplié par 12 moins neuf multiplié par 28 plus 333 multiplié par sept. Ceci est égal à moins 1215. Il s’agit de la somme allant de 𝑟 égal huit à 12 de neuf fois 𝑟 moins 37.

Une autre méthode consisterait à substituer simplement les entiers de huit à 12 dans l’expression, puis à trouver la somme de ces valeurs.

Avant de regarder un dernier exemple, considérons ce qui se passe lorsque nous avons une expression quadratique. Comme pour la somme d’une constante et du terme linéaire 𝑟, il existe une formule que nous pouvons utiliser si nous devons calculer la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 au carré. Dans cette vidéo, nous ne verrons pas la preuve de cette formule. Cependant, on peut déduire en utilisant les développements binomiaux que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un le tout divisé par six.

Nous allons maintenant voir un dernier exemple où nous utilisons ces trois formules pour évaluer une somme quadratique.

Sachant que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 est égale à 𝑛 multipliée par 𝑛 plus un divisé par deux et que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un le tout divisé par six, utilisez les propriétés de la notation de somme sigma pour trouver la somme allant de 𝑟 égal un à quatre de sept 𝑟 au carré moins sept 𝑟 moins 21.

Commençons par réécrire l’expression en utilisant la propriété de linéarité de la somme. Cela donne sept fois la somme allant de 𝑟 égal un à quatre de 𝑟 au carré moins sept fois la somme allant de 𝑟 égal un à quatre de 𝑟 moins 21 fois la somme allant de 𝑟 égal un à quatre de un. On nous donne des expressions en fonction de 𝑛 pour la somme de 𝑟 et la somme de 𝑟 au carré. Nous rappelons également que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de un est égale à 𝑛.

Dans cette question, la valeur de 𝑛 est quatre. Le premier terme de l’expression devient sept multiplié par quatre multiplié par cinq multiplié par neuf le tout divisé par six. Cela peut être simplifié comme indiqué, ce qui nous donne sept multiplié par 30. Le deuxième terme est égal à sept multiplié par quatre multiplié par cinq divisé par deux. Cela donne simplement sept multiplié par 10. Comme le troisième terme devient 21 multiplié par quatre, il nous reste sept multiplié par 30 moins sept multiplié par 10 moins 21 multiplié par quatre. Cela équivaut à 56. La somme allant de 𝑟 égal un à quatre de sept 𝑟 au carré moins sept 𝑟 moins 21 vaut 56.

Aussi, nous aurions pu substituer les entiers de un à quatre dans l’expression et trouver la somme de ces quatre valeurs. Lorsque 𝑟 est égal à un, sept 𝑟 au carré moins sept 𝑟 moins 21 est égal à moins 21. Lorsque 𝑟 égal deux, l’expression est égale à moins sept. Lorsque 𝑟 est égal à trois, nous obtenons une réponse de 21. Lorsque 𝑟 est égal à quatre, l’expression est égale à 63. Comme ces quatre nombres s’additionnent pour donner 56, cela confirme que la réponse est correcte.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons évalué des sommes écrites sous la forme de la somme allant de 𝑟 égal 𝑚 à 𝑛 de 𝛼𝑟 au carré plus 𝛽𝑟 plus 𝛾, notant que lorsque 𝛼 est égal à zéro, nous avons une somme linéaire et que lorsque 𝛼 n’est pas égal à zéro, nous avons une somme quadratique. Nous avons utilisé deux propriétés de somme : tout d’abord, la propriété de la différence. Ensuite, nous avons utilisé la propriété de linéarité de la somme. Nous avons également utilisé le fait que la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de un vaut 𝑛. La somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un divisé par deux. Enfin, la somme allant de 𝑟 égal un à 𝑛 de 𝑟 au carré est égale à 𝑛 multiplié par 𝑛 plus un multiplié par deux 𝑛 plus un le tout divisé par six.

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