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Fiche explicative de la leçon : Déterminer algébriquement la somme des termes d'une suite Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ou quadratique en appliquant des méthodes et des formules algébriques.

Commençons par rappeler ce que nous entendons par une série comme somme de termes d’une suite {𝑎} ainsi que la notation sigma pour la représenter.

Définition : Séries en utilisant la notation sigma

On peut prendre la somme des termes de la suite 𝑎, qui est en fonction de 𝑟, allant de 𝑟=1 à une certaine valeur 𝑛 en utilisant la notation sigma notée par :𝑎=𝑎+𝑎+𝑎++𝑎+𝑎.

La série peut aussi commencer d’une valeur différente, allant de 𝑟=𝑚 avec 𝑚<𝑛 à une certaine valeur 𝑛, qui peut s’écrire comme 𝑎=𝑎+𝑎++𝑎+𝑎=𝑎𝑎, qui est la différence entre de deux séries avec un indice initial 𝑟=1.

Pour évaluer algébriquement ces séries, nous utiliserons certaines propriétés en utilisant la notation . Ce sont des propriétés intuitives qui rappellent la façon dont nous travaillons avec les expressions algébriques, mais il est utile de se familiariser avec cette notation plus formelle.

Définition : Propriétés de la somme

La somme écrite sous la forme de la notation sigma vérifient les propriétés suivantes:

  • Si on a une constante 𝜆 apparaissant à l’intérieur de la somme, nous pouvons la retirer de la somme comme suit:𝜆𝑎=𝜆𝑎.
  • On peut aussi diviser la somme en différents termes comme suit:(𝑎+𝑏)=𝑎+𝑏.
  • On peut également diviser la somme à partir d’une certaine valeur entre le début et la fin, 1<𝑚<𝑛 . Si on commence de 𝑟=1 jusqu’à 𝑛, alors pour tout 𝑚<𝑛 on a 𝑎=𝑎+𝑎.

Les deux premières propriétés montrent que la somme est linéaire et nous pouvons les combiner comme suit (𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏.

Pour la dernière propriété, nous pouvons également voir cela en utilisant la propriété pour un indice initial supérieur à 1, comme suit:𝑎+𝑎=𝑎+𝑎𝑎=𝑎.

Dans cette fiche explicative, nous examinerons des séries linéaires ou du second degré, c’est-à-dire où 𝑎 est une fonction affine ou du second degré en fonction de 𝑟.

Considérons un exemple où nous utilisons la dernière propriété pour réécrire une somme.

Exemple 1: Complète : Simplifier une série finie en utilisant les propriétés de la somme

(4𝑟+1)+(4𝑟+1)=.

  1. (8𝑟+2)
  2. (4𝑟+1)
  3. (4𝑟+2)
  4. (4𝑟+1)

Réponse

Dans cet exemple, on va simplifier une série algébriquement.

On va utiliser la propriété de l’indice initial supérieur à 1:𝑎=𝑎𝑎.

Pour la somme donnée, on a (4𝑟+1)+(4𝑟+1)=(4𝑟+1)+(4𝑟+1)(4𝑟+1)=(4𝑟+1)+(4𝑟+1)(4𝑟+1)=(4𝑟+1).

Cela est logique, car le premier terme est la somme de 𝑟=1 à 12, tandis que le second est la somme de 𝑟=13 à 25;ainsi, la somme totale sera de 𝑟=1 à 25. Si l’on applique la propriété où on peut diviser la somme pour 𝑚<𝑛𝑎=𝑎+𝑎, on obtient le même résultat en substituant 𝑎=4𝑟+1 et 𝑚=12 ce qui donne la série donnée dans le membre de droite et le résultat dans le membre de gauche.

C’est la réponse D.

Maintenant, calculons la somme avec une constante à l’intérieur de la somme, que nous pouvons retirer à l’extérieur de la somme:𝑆=𝛼=𝛼1.

Notez que 1=1+1++1+1=𝑛.fois

Ainsi pour 𝑆, la somme des termes constants, on a 𝑆=𝛼1=𝛼𝑛.

Maintenant, voyons un exemple où nous calculons une série arithmétique avec un terme constant.

Exemple 2: Évaluer une série arithmétique

Calculez 5.

Réponse

Dans cet exemple, on veut chercher la valeur de la somme d’une suite arithmétique avec un terme constant.

Nous utiliserons la somme suivante:𝛼=𝛼𝑛.

Ainsi, pour la somme donnée, on a 𝛼=5 et 𝑛=9 et par conséquent 5=5×9=45.

Maintenant, considérons une somme de de la forme 𝑆=(𝛼𝑟+𝛽).

D’après les propriétés d’addition des sommes et de la multiplication par une constante, on peut réécrire ceci comme 𝑆=𝛼𝑟+𝛽1.

Pour calculer cette somme, nous avons d’abord besoin d’une formule pour la série 𝑟=1+2++𝑛.

Nous pouvons écrire cette série explicitement de deux manières différentes:en partant de 1 et en additionnant tous les nombres jusqu’à 𝑛 ou en partant de 𝑛 et en additionnant tous les nombres jusqu’à 1:𝑟=1+2+3++(𝑛1)+𝑛,𝑟=𝑛+(𝑛1)+(𝑛2)2+1.

En additionnant les deux expressions on obtient 2𝑟=(𝑛+1)+(𝑛1+2)+(𝑛2+3)(𝑛1+2)+(𝑛+1)=(𝑛+1)+(𝑛+1)+(𝑛+1)+(𝑛+1)=𝑛(𝑛+1).fois

Ainsi, on a 𝑟=𝑛(𝑛+1)2.

On peut aussi obtenir ce résultat en utilisant développement du binôme (𝑟1)=𝑟2𝑟+1, qui donne après le réarrangement 𝑟(𝑟1)=2𝑟1.

D’abord, notons qu’à gauche, la somme de 𝑟=1 à 𝑛 donne 𝑟(𝑟1)=10+21+32++𝑛(𝑛1)=11+22+33+(𝑛1)(𝑛1)+𝑛=𝑛, tandis qu’à droite on a (2𝑟1)=2𝑟1=2𝑟𝑛.

Ainsi, on obtient 2𝑟𝑛=𝑛2𝑟=𝑛+𝑛=𝑛(𝑛+1).

Cela donne la même formule que précédemment:𝑟=𝑛(𝑛+1)2.

En utilisant ce résultat, on peut maintenant calculer la somme définie par 𝑆:𝑆=𝛼𝑟+𝛽1=𝛼𝑛(𝑛+1)2+𝛽𝑛=𝛼𝑛(𝑛+1)+2𝛽𝑛2=𝑛(𝛼(𝑛+1)+2𝛽)2.

Dans l’exemple suivant, on va étudier le calcul d’une somme à l’aide des propriétés de la somme d’une suite arithmétique.

Exemple 3: Évaluer une série finie en utilisant les propriétés de la somme

Trouvez (𝑟8) étant donné 𝑟=𝑛(𝑛+1)2.

Réponse

Dans cet exemple, nous cherchons la somme des termes d’une suite arithmétique.

Nous utiliserons la propriété de linéarité de la somme (𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏, et les sommes 1=𝑛,𝑟=𝑛(𝑛+1)2.

La somme donnée peut être écrite comme (𝑟8)=𝑟8=𝑟81=𝑛(𝑛+1)28𝑛=𝑛+𝑛16𝑛2=𝑛15𝑛2.

Maintenant, voyons un exemple où nous déterminons la valeur d’une inconnue apparaissant dans la formule d’une suite arithmétique avec la somme connue.

Exemple 4: Déterminer une inconnue connaissant la somme d’une suite arithmétique

Si (3+𝑘𝑟)=150, alors déterminez 𝑘.

  1. 19093
  2. 193
  3. 1190
  4. 93190
  5. 3167

Réponse

Dans cet exemple, nous voulons trouver la valeur d’une inconnue, cette inconnue apparaît à l’intérieur d’une somme arithmétique.

Nous utiliserons la propriété de linéarité de la somme (𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏, et les sommes 1=𝑛,𝑟=𝑛(𝑛+1)2.

Évaluons d’abord le membre de droite de la somme donnée:(2+𝑘𝑟)=2+𝑘𝑟=21+𝑘𝑟=2×20+𝑘×20(20+1)2=40+210𝑘.

En utilisant cela, nous pouvons déterminer la valeur de 𝑘 comme suit:40+210𝑘=160210𝑘=120𝑘=47.

Maintenant, cherchons la somme des termes d’une suite arithmétique avec un indice initial supérieur à 1.

Exemple 5: Calculer la somme des termes d’une suite arithmétique avec un indice initial supérieur à 1

Déterminez 9(𝑟37) à l’aide des propriétés de la somme et sachant que 𝑟=𝑛(𝑛+1)2.

Réponse

Dans cet exemple, nous calculerons la somme des termes d’une suite arithmétique avec un indice initial supérieur à 1 en utilisant les propriétés de la somme.

On va utiliser la propriété de l’indice initial supérieur à 1 et la propriété de la linéarité de la somme 𝑎=𝑎𝑎,(𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏, et les sommes 1=𝑛,𝑟=𝑛(𝑛+1)2.

En utilisant les propriétés, nous pouvons réécrire la somme donnée comme étant 9(𝑟37)=(9𝑟333)=(9𝑟333)(9𝑟333)=9𝑟33319𝑟+3331=9×12(12+1)2333×129×7(7+1)2+333×7=9×78333×129×28+333×7=9×50333×5=1215.

Maintenant, considérons une expression du second degré dont nous voulons évaluer la série:𝑆=𝛼𝑟+𝛽𝑟+𝛾.

En utilisant la propriété de l’addition des séries et la propriété de la multiplication par une constante, on peut réécrire cela comme suit:𝑆=𝛼𝑟+𝛽𝑟+𝛾1.

Pour calculer cette somme, nous avons d’abord besoin d’une formule pour la série 𝑟=1+2++𝑛.

D’une manière similaire à celle utilisée avec une suite arithmétique on va utiliser le développement du binôme (𝑟1)=𝑟3𝑟+3𝑟1, qui donne après le réarrangement 𝑟(𝑟1)=3𝑟3𝑟+1.

La somme dans le membre de gauche de l’égalité pour 𝑟=1 à 𝑛 donne 𝑟(𝑟1)=10+21+32++𝑛(𝑛1)=11+22+33+(𝑛1)(𝑛1)+𝑛=𝑛, et celle du membre de droite nous donne 3𝑟3𝑟+1=3𝑟3𝑟+1=3𝑟3𝑛(𝑛+1)2+𝑛.

Ainsi, nous avons 3𝑟3𝑛(𝑛+1)2+𝑛=𝑛,3𝑟=𝑛+3𝑛(𝑛+1)2𝑛=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)2, et en réarrangeant, on obtient la formule 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

En utilisant ce résultat, nous pouvons calculer la somme 𝑆 comme suit:𝑆=𝛼𝑟+𝛽𝑟+𝛾1=𝛼𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6+𝛽𝑛(𝑛+1)2+𝛾𝑛=𝑛(𝛼(𝑛+1)(2𝑛+1)+3𝛽(𝑛+1)+6𝛾)6.

Regardons quelques exemples pour calculer la somme des termes d’une suite ayant une expression du second degré. Dans l’exemple suivant, on va calculer une somme qui contient un terme carré et un terme constant en utilisant les propriétés de la somme.

Exemple 6: Calculer de la somme des termes d’une suite finie ayant une expression du second degré en utilisant les propriétés de la somme

Sachant que 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6, utilisez les propriétés de la somme pour trouver 5𝑟67.

Réponse

Dans cet exemple, on calcule une somme qui contient un terme carré et un terme constant, en utilisant les propriétés de la somme.

On va utiliser la propriété de linéarité de la somme (𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏, et les sommes 1=𝑛,𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

En utilisant ces propriétés, nous pouvons évaluer la série donnée:5𝑟67=5𝑟671=5×6(6+1)(12+1)667×6=5×9167×6=53.

Maintenant, regardons un exemple où nous allons calculer une somme qui contient une fonction du second degré en 𝑟.

Exemple 7: Calculer de la somme des termes d’une suite finie ayant une expression du second degré en utilisant les propriétés de la somme

Sachant que 𝑟=𝑛(𝑛+1)2 et 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6, utilisez les propriétés liées à la notation de la somme pour trouver 7𝑟7𝑟21.

Réponse

Dans cet exemple, on va calculer la somme des termes d’une suite ayant une expression du second degré en utilisant les propriétés de la somme.

Nous utiliserons la propriété de linéarité de la somme (𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏, et les sommes 1=𝑛,𝑟=𝑛(𝑛+1)2,𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

En utilisant ces propriétés, nous pouvons évaluer la série donnée:7𝑟7𝑟21=7𝑟7𝑟211=7×4(4+1)(8+1)67×4(4+1)221×4=7×307×1021×4=56.

Enfin, calculons la somme des termes d’une suite ayant une expression du second degré avec un indice initial supérieur à 1.

Exemple 8: Calculer de la somme des termes d’une suite finie ayant une expression du second degré avec un indice initial supérieur à 1 en utilisant les propriétés de la somme

Sachant que 𝑟=𝑛(𝑛+1)2 et 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6, utilisez les propriétés de la notation de la somme pour trouver 5𝑟22𝑟.

Réponse

On va utiliser la propriété de l’indice initial supérieur à 1 et la propriété de la linéarité de la somme 𝑎=𝑎𝑎,(𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏, et les sommes 𝑟=𝑛(𝑛+1)2,𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

En utilisant ces propriétés, on peut évaluer la série donnée:5𝑟22𝑟=5𝑟22𝑟5𝑟22𝑟=5𝑟22𝑟5𝑟+22𝑟=5×8(8+1)(16+1)622×8(8+1)25×4(4+1)(8+1)6+22×4(4+1)2=5×20422×365×30+22×10=298.

Points clés

  • Nous avons déterminé la somme de différentes types des suites de la forme 𝑆=𝛼𝑟+𝛽𝑟+𝛾,𝛼=0 pour une suite arithmétique, tandis que 𝛼0 pour une suite ayant une expression du second degré.
  • Afin de trouver la somme, on utilise les propriétés 𝑎=𝑎𝑎,(𝜆𝑎+𝜆𝑏)=𝜆𝑎+𝜆𝑏. La première nous permet d’évaluer une série avec un indice initial supérieur à un, en l’écrivant comme la différence de deux séries d’indice initial égal à un. La seconde est une propriété de linéarité, qui nous permet de diviser la somme en différents termes et de retirer la constante.
  • Nous utilisons également les sommes suivantes:1=𝑛,𝑟=𝑛(𝑛+1)2,𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.
  • Lorsque l’indice initial est égal à 1, c’est-à-dire 𝑚=1, on obtient le résultat général suivant pour la somme des termes d’une suite ayant une expression du second degré:𝑆=𝑛(𝛼(𝑛+1)(2𝑛+1)+3𝛽(𝑛+1)+6𝛾)6.

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