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Si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral de côté 29,9 centimètres, déterminez le produit scalaire entre le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐀𝐂 plus 𝐂𝐁.
Cette question nous donne des informations sur un triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶. Et il est indiqué que la longueur de côté de ce triangle est de 29,9 centimètres. Nous devons utiliser cette information pour calculer le produit scalaire entre le vecteur 𝐀𝐁 et la somme des deux vecteurs, 𝐀𝐂 plus 𝐂𝐁. Ces trois vecteurs sont des côtés de notre triangle équilatéral.
Il y a plusieurs façons d’évaluer cette expression, et nous allons en présenter quelques-unes. La première chose que nous allons cependant faire est de tracer un schéma de ce triangle. Nous commençons donc par un triangle équilatéral 𝐴𝐵𝐶, pour lequel nous savons que toutes les longueurs de côtés sont de 29,9 centimètres. Et puisqu’il s’agit un triangle équilatéral, nous savons également que tous ses angles mesurent 60 degrés.
Il y alors plusieurs méthodes possibles pour évaluer ce produit scalaire. Le moyen le plus simple est de remarquer quelque chose d’intéressant sur le vecteur 𝐀𝐂 plus 𝐂𝐁. Le vecteur 𝐀𝐂 commence au point 𝐴 et se termine au point 𝐶, et le vecteur 𝐂𝐁 commence au point 𝐶 et se termine au point 𝐵. Donc cette somme de vecteurs est simplement égale au vecteur de 𝐴 à 𝐵, car il commence en 𝐴 et se termine en 𝐵.
On peut le voir facilement sur le schéma. On commence par le vecteur de 𝐴 à 𝐶. Puis on ajoute le vecteur de 𝐶 à 𝐵. Et on peut voir qu’il s’agit exactement de la même chose que le vecteur de 𝐴 à 𝐵. Nous pouvons ensuite utiliser cela pour calculer directement le produit scalaire de la question. En remplaçant 𝐀𝐂 plus 𝐂𝐁 par 𝐀𝐁, cela revient à calculer le produit scalaire du vecteur 𝐀𝐁 et lui-même.
Et il y a plusieurs façons d’évaluer ce produit scalaire. Le moyen le plus simple est de se rappeler de la formule suivante : le produit scalaire de vecteur 𝐯 avec lui-même est égal à la norme du vecteur 𝐯 au carré. Et nous connaissons la norme de 𝐀𝐁 car il représente le côté d’un triangle équilatéral de côté 29,9 centimètres. Le produit scalaire est donc égal à 29,9 au carré. Et en calculant cela, on obtient une réponse finale de 894,01.
Ce n’est cependant pas la seule façon de répondre à cette question. Nous aurions également pu utiliser les propriétés du produit scalaire. Nous commençons par le produit scalaire à calculer. Et nous remarquons quelque chose d’intéressant. Nous calculons en fait le produit scalaire d’un vecteur et de la somme de deux vecteurs. Et nous pouvons alors faire appel à une des propriétés du produit scalaire. Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition vecteurs. En d’autres termes, pour trois vecteurs quelconques 𝐮, 𝐯 et 𝐰, le produit scalaire entre le vecteur 𝐮 et le vecteur 𝐯 plus 𝐰 est égal à 𝐮 scalaire 𝐯 plus 𝐮 scalaire 𝐰. Au lieu de calculer le produit scalaire de la somme de nos deux vecteurs, nous pouvons donc calculer le produit scalaire de chaque vecteur séparément, puis additionner les résultats.
On obtient ainsi le produit scalaire de 𝐀𝐁 et 𝐀𝐂, auquel on ajoute le produit scalaire de 𝐀𝐁 et 𝐂𝐁. Et nous avons quelques options pour calculer le produit scalaire de ces vecteurs. Nous pourrions par exemple déterminer les composantes de chaque vecteur puis calculer le produit scalaire. Nous pourrions trouver ces composantes à l’aide de la trigonométrie dans notre triangle équilatéral et cela fonctionnerait. Mais nous connaissons également l’angle entre tous ces vecteurs. Et nous connaissons une formule du produit scalaire impliquant l’angle entre deux vecteurs.
On rappelle que si 𝜃 est l’angle entre deux vecteurs 𝐮 et 𝐯, alors le cosinus de 𝜃 est égal au produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 divisé par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯. On peut réarranger cette formule en multipliant les deux membres par la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯, et on trouve que le produit scalaire de 𝐮 et 𝐯 est égal à la norme de 𝐮 fois la norme de 𝐯 fois le cosinus de l’angle entre 𝐮 et 𝐯.
Nous pouvons alors utiliser cette formule pour calculer les deux produits scalaires de notre expression. On remarque d’abord que les trois vecteurs de cette expression correspondent à des côtés du triangle. Donc, ils ont tous les trois ont une norme de 29,9. On voit ensuite sur le schéma que l’angle entre le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐀𝐂 est de 60 degrés. Et il en va en fait de même pour les vecteurs 𝐀𝐁 et 𝐂𝐁. Mais nous devons être un peu plus prudents ici. Pour trouver l’angle entre ces deux vecteurs, nous devons construire un vecteur équivalent au vecteur 𝐂𝐁 qui commence en 𝐴. Puis, nous devons utiliser un peu de géométrie pour montrer que l’angle entre ces deux vecteurs mesure bien 60 degrés.
Nous pouvons à présent utiliser notre formule pour évaluer tous ces produits scalaires. La norme de tous ces vecteurs est de 29,9. L’angle entre ces deux paires de vecteurs est de 60 degrés. Et bien sûr, on sait que le cosinus de 60 degrés est égal à un sur deux. Donc, cela nous donne 29,9 fois 29,9 fois un sur deux plus 29,9 fois 29,9 fois un sur deux. Et on obtient la même réponse de 894,01, bien que cette méthode soit plus compliquée que la précédente.
Nous avons ainsi montré que si 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral de côté 29,9 centimètres, il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer le produit scalaire entre le vecteur 𝐀𝐁 et le vecteur 𝐀𝐂 plus 𝐂𝐁. Dans tous les cas, nous obtenons un résultat de 894,01.
