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Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 𝑥 multipliée par deux 𝑥 au carré moins neuf le tout au cube.
Pour résoudre ce problème et intégrer cette expression, on va en fait utiliser un changement de variable. Cette méthode est également connue sous le nom de la règle de chaîne inversée. La première étape pour intégrer par changement de variable est de préciser quelle variable sera 𝑢. Donc, je dis que 𝑢 égale deux 𝑥 au carré moins neuf. Je vais maintenant la dériver car je veux trouver 𝑑𝑢 sur 𝑑𝑥.
Si je dérive deux 𝑥 au carré moins neuf, j'obtiens quatre 𝑥. Et pour nous rappeler rapidement comment on a obtenu ça, en fait, il faut multiplier l'exposant par le coefficient. Donc deux fois deux nous donne quatre. Et ensuite, on soustrait un de l'exposant. Donc au lieu de deux, on a un. Nous avons donc quatre 𝑥. La raison pour laquelle on fait ça, c'est qu'on cherche à trouver 𝑑𝑥. On va donc réarranger pour trouver 𝑑𝑥.
Pour commencer, nous allons multiplier par 𝑑𝑥. On obtient donc 𝑑𝑢 égale quatre 𝑥 𝑑𝑥. Ensuite, on divise les deux membres par quatre 𝑥 et on obtient 𝑑𝑢 sur quatre 𝑥 égale 𝑑𝑥. Maintenant, on a choisi ce qu'est 𝑢 et on a trouvé 𝑑𝑥. Nous allons donc les substituer à notre expression originale. On obtient maintenant l'intégrale de 𝑥 fois 𝑢 au cube fois 𝑑𝑢 sur quatre 𝑥.
Cela nous donne encore un petit problème parce que la raison pour laquelle nous avons utilisé le changement de variable est en fait de faciliter l'intégration de l'expression. Mais nous avons toujours 𝑥 et 𝑢 dans notre expression. Mais en réalité, si nous examinons à nouveau l'expression que nous avons obtenue, on peut dire que si on divise par 𝑥, on peut éliminer les termes en 𝑥. Et cela nous donne une intégration beaucoup plus simple, car nous devons maintenant intégrer 𝑢 au cube sur quatre.
Cela nous donne donc 𝑢 puissance quatre sur 16 plus 𝑐 car il ne faut pas oublier la constante d'intégration. Et pour rappel, nous avons augmenté l'exposant de un, ce qui nous a permis de passer de 𝑢 au cube à 𝑢 puissance quatre. Et ensuite nous avons divisé par le nouvel exposant. Mais comme on avait déjà un sur quatre ou 𝑢 au cube sur quatre, on multiplie ensuite quatre par le nouvel exposant, qui est quatre, pour avoir 16 au dénominateur.
D’accord ! Quelle est l'étape suivante ? Que devons-nous faire ? La dernière étape consiste à remplacer 𝑢 par l'expression deux 𝑥 au carré moins neuf. Ainsi, nous pouvons dire que l'intégrale de 𝑥 multipliée par deux 𝑥 au carré moins neuf le tout au cube est égal à un sur 16 deux 𝑥 au carré moins neuf le tout puissance quatre plus 𝑐.
