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Utilisez le théorème de De Moivre pour exprimer le cosinus de cinq 𝜃 en fonction des puissances de cosinus 𝜃.
Dans cette question, nous voulons trouver une expression pour le cos de cinq 𝜃 en fonction des puissances de cosinus de 𝜃. On nous demande de le faire en utilisant le théorème de De Moivre. Commençons donc par le rappeler. Le théorème de De Moivre nous dit que pour tout entier 𝑛 et valeur réelle 𝜃, le cos de 𝜃 plus 𝑖 sin de 𝜃 le tout élevé à la puissance 𝑛 est égal au cos de 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin de 𝑛𝜃. Si nous voulons utiliser cela pour trouver une expression pour cos de cinq 𝜃, alors nous voulons que cos de cinq 𝜃 apparaisse dans cette expression. Nous allons donc vouloir définir notre valeur de l’entier 𝑛 égale à cinq.
Donc, en utilisant cet énoncé du théorème de De Moivre et en posant 𝑛 égal à cinq, nous obtenons cos de cinq 𝜃 plus 𝑖 sin de cinq 𝜃 doit être égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 le tout élevé à la puissance cinq. Mais ce n’est pas encore une expression pour cos cinq 𝜃. Et ce n’est certainement pas en fonction de puissances de cos 𝜃. Nous allons donc devoir arranger cela. Nous pouvons voir que sur le membre droit de notre équation, nous pouvons essayer de distribuer la puissance cinq sur nos parenthèses. Et pour ce faire, nous devons remarquer qu’à l’intérieur de nos parenthèses nous avons deux termes. Nous avons un binôme. Donc, une façon de distribuer l’exposant sur nos parenthèses sera d’utiliser la formule du binôme.
Cela nous indique que pour un entier positif 𝑚, 𝑎 plus 𝑏, le tout élevé à la puissance 𝑚 est égal à la somme de 𝑟 égale zéro à 𝑚 de 𝑚 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑟 multipliée par 𝑏 à la puissance 𝑚 moins 𝑟. Donc, en appliquant la formule du binôme, nous pouvons développer le membre droit de notre équation. Nous obtenons cinq parmi zéro fois cos à la puissance cinq de 𝜃 plus cinq parmi un multiplié par cos à la puissance quatre de 𝜃 multiplié par 𝑖 sin 𝜃 plus cinq parmi deux fois cos au cube de 𝜃 multiplié par 𝑖 sin 𝜃 le tout au carré plus cinq parmi trois fois cos carré 𝜃 multiplié par 𝑖 sin 𝜃 le tout au cube plus cinq parmi quatre fois cos 𝜃 multiplié par 𝑖 sin 𝜃 le tout élevé à la puissance quatre plus cinq parmi cinq fois 𝑖 sin 𝜃 le tout élevé à la puissance cinq.
Et maintenant, nous pouvons voir que nous réalisons des progrès. Sur le membre droit de notre équation, nos expressions impliquent maintenant des puissances de cos 𝜃. Cependant, nous avons aussi des puissances de sin 𝜃. Nous allons donc devoir simplifier davantage. Nous allons commencer par simplifier chaque terme individuellement. Dans notre premier terme, cinq parmi zéro est égal à un. Donc, notre premier terme est juste cos à la puissance cinq 𝜃. Dans notre deuxième terme, cinq parmi un est égal à cinq. Et rappelez-vous, nous avons un facteur de 𝑖, donc notre deuxième terme se simplifie pour nous donner cinq 𝑖 multiplié par cos à la puissance quatre de 𝜃 fois sin 𝜃. Dans notre troisième terme, cinq parmi deux est égal à 10. Et nous pourrions distribuer le carré sur nos parenthèses. Nous obtenons 𝑖 au carré fois sin au carré 𝜃.
Mais rappelez-vous, 𝑖 est la racine carrée de moins un. Donc, 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, notre troisième terme se simplifie pour nous donner moins 10 cos au cube 𝜃 fois sin au carré 𝜃. Et nous pouvons déterminer les trois derniers termes de ce développement de la même manière. Les trois derniers termes de ce développement sont moins 10𝑖 cos carré 𝜃 sin au cube 𝜃 plus cinq fois cos 𝜃 sin à la puissance quatre 𝜃 plus 𝑖 fois sin à la puissance cinq de 𝜃. Et n’oubliez pas par le théorème de De Moivre, nous savons que c’est égal à cos de cinq 𝜃 plus 𝑖 sin de cinq 𝜃.
Nous voulons l’utiliser pour trouver une expression pour le cos de cinq 𝜃. Et pour ce faire, nous devons remarquer quelque chose d’intéressant. Le membre gauche de cette équation n’est qu’un nombre complexe, et nous pouvons voir que cos de cinq 𝜃 est la partie réelle de ce nombre complexe. Nous pouvons donc trouver une expression pour le cos de cinq 𝜃 en prenant simplement la partie réelle du membre droit de cette équation. Ce sont tous les termes qui n’ont pas de facteur 𝑖. Ce faisant, nous obtenons cos de cinq 𝜃 est égal à cos à la puissance cinq de 𝜃 moins 10 cos au cube de 𝜃 fois sin au carré de 𝜃 plus cinq fois cos de 𝜃 fois sin à la puissance quatre de 𝜃. Nous avons donc trouvé avec succès une expression pour cos de cinq 𝜃.
Cependant, rappelez-vous, la question demande de donner notre réponse uniquement en puissance de cos 𝜃. Donc, pour ce faire, nous allons devoir trouver des expressions pour sin au carré de 𝜃 et sin à la puissance quatre de 𝜃 en fonction de cos 𝜃. Et nous pouvons le faire en utilisant l’identité trigonométrique suivante. Nous savons que pour toute valeur de 𝜃, cos au carré 𝜃 plus sin au carré 𝜃 est égal à un. En soustrayant cos au carré des deux membres, nous obtenons sin au carré 𝜃 équivalant à un moins cos au carré 𝜃. Et parce que nous avons aussi besoin d’une expression pour sin à la puissance quatre de 𝜃, nous pouvons mettre les deux membres au carré. Nous obtenons sin à la puissance quatre de 𝜃 est équivalent à un moins cos au carré 𝜃 le tout au carré. Nous pouvons les utiliser pour réécrire sin au carré 𝜃 et sin à la puissance quatre de 𝜃 en fonction de puissances de cos 𝜃.
Cela nous donne cos de cinq 𝜃 est égal à cos à la puissance cinq de 𝜃 moins 10 cos au cube de 𝜃 multiplié par un moins cos au carré de 𝜃 plus cinq cos de 𝜃 fois un moins cos au carré de 𝜃 le tout au carré. Et maintenant, cette expression ne comprend que des puissances de cos de 𝜃, nous pouvons donc nous arrêter ici. Cependant, nous pouvons simplifier cette expression en développant les parenthèses. En développant notre premier ensemble de parenthèses, nous obtenons moins 10 cos au cube de 𝜃 plus 10 cos à la puissance cinq de 𝜃. En développant deuxième ensemble de parenthèses au carré, nous obtenons un moins deux cos au carré de 𝜃 plus cos à la puissance quatre de 𝜃. Et nous allons devoir multiplier chacun de ces trois termes par cinq cos de 𝜃. Et en faisant cela, nous obtenons cinq cos de 𝜃 moins 10 cos au cube de 𝜃 plus cinq fois cos à la puissance cinq de 𝜃.
Maintenant, tout ce qui reste à faire est de regrouper des termes similaires. Ce faisant, nous obtenons cos de cinq 𝜃 est égal à 16 cos à la puissance cinq de 𝜃 moins 20 cos au cube de 𝜃 plus cinq cos de 𝜃, qui est notre réponse finale. Dans cette question, nous avons pu utiliser le théorème de De Moivre pour trouver une expression pour le cos de cinq 𝜃 entièrement en fonction des puissances du cos de 𝜃. Pour ce faire, nous avons dû développer en utilisant la formule du binôme et noter que nous devons prendre les parties réelles des deux membres de notre équation, puis enfin simplifier notre expression en utilisant nos identités trigonométriques. Cependant, nous avons pu montrer que le cos de cinq 𝜃 est égal à 16 cos à la puissance cinq de 𝜃 moins 20 cos au cube de 𝜃 plus cinq cos de 𝜃.
