Vidéo : Applications du théorème de De Moivre aux identités trigonométriques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment appliquer le théorème de De Moivre pour découvrir des identités trigonométriques.

14:06

Transcription de vidéo

Dans cette leçon, nous apprendrons à utiliser le théorème de De Moivre pour prouver les identités trigonométriques. Il y a de très bonnes chances que vous utilisiez certaines de ces identités depuis une longue période sans vraiment vous rendre compte d’où elles viennent. Et cette leçon vous donnera un aperçu de cela. Nous commencerons par récapituler comment appliquer le théorème de De Moivre et le théorème binomial pour la distribution des parenthèses avant de dériver un certain nombre d’identités et de voir comment les utiliser pour résoudre des équations impliquant des fonctions trigonométriques.

Rappelez-vous que le théorème de De Moivre dit que pour les valeurs entières de 𝑛, un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑟 à la puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃. De même, le théorème binomial nous montre comment évaluer 𝑎 plus 𝑏 tous à la puissance 𝑛. Vous connaissez peut-être également la série binomiale comme le développement d’un plus 𝑥 à la puissance 𝑛 bien que nous n’appliquerons pas cette méthode pendant cette vidéo. Voyons comment utiliser ces deux concepts pour dériver la formule à angles multiples.

1) Utilisez le théorème de De Moivre pour exprimer le sin cinq 𝜃 en fonction des puissances de sin 𝜃. 2) En considérant les solutions du sin cinq 𝜃 égal à zéro, trouvez une représentation exacte du sin au carré de 𝜋 par cinq.

Pour répondre à la partie 1) de cette question, nous utiliserons en fait l’inverse du théorème de De Moivre pour évaluer le cos de cinq 𝜃 plus 𝑖 sin de cinq 𝜃. Selon le théorème de De Moivre, ceci est égal à cos de 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 tous à la puissance cinq. Utilisons donc le théorème binomial pour distribuer ces parenthèses. Nous comparerons cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance cinq au théorème binomial. Nous voyons que 𝑎 est égal à cos 𝜃, 𝑏 est égal à 𝑖 sin 𝜃 et 𝑛 est égal à cinq.

Le premier terme dans le développement de cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance cinq est donc cos 𝜃 à la puissance cinq. Le deuxième terme est cinq choisir une fois cos 𝜃 à la puissance quatre fois 𝑖 sin 𝜃. Le troisième terme est cinq, choisissez deux cos au cube 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 au carré. Et nous pouvons évaluer les termes restants comme indiqué. Ensuite, nous rappelons que cinq choix un est cinq, cinq choix deux est 10, cinq choix trois sont 10 à nouveau, et cinq choix quatre sont également cinq. Nous savons également que 𝑖 au carré va être égal à moins un, 𝑖 au cube va être moins 𝑖, 𝑖 à la puissance quatre va être un, et 𝑖 à la puissance cinq va être 𝑖. Et nos expressions se simplifient comme indiqué.

Et puisque nous avons initialement dit que cos cinq 𝜃 plus 𝑖 sin cinq 𝜃 était égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance cinq, nous pouvons assimiler cette expression entière à cos cinq 𝜃 plus 𝑖 sin five 𝜃. Maintenant, souvenez-vous que nous essayons de trouver une expression pour le sin cinq 𝜃. Nous allons donc assimiler les parties imaginaires de chaque côté de notre équation. Sur le côté gauche, c’est tout simplement le sin cinq 𝜃. Et à droite, c’est cinq cos 𝜃 à la puissance quatre fois sin 𝜃 moins 10 cos au carré 𝜃 sin au cube 𝜃 plus sin 𝜃 à la puissance cinq.

Nous allons devoir dégager un peu d’espace ici. Et à ce stade, nous allons rappeler que sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 est toujours égal à un. En réarrangeant cela, nous voyons que cos au carré 𝜃 est égal à un moins sin au carré 𝜃. Et nous l’avons fait parce que cela nous permettra de remplacer cos carré 𝜃 et cos 𝜃 à la puissance quatre dans notre expression parce que nous essayons de l’écrire en fonction de puissances de sinus.

Et quand nous le faisons, nous voyons que le sin cinq 𝜃 est égal à cinq fois un sin moins carré 𝜃 fois au carré sin 𝜃 moins 10 fois un sin moins au carré 𝜃 sin cube 𝜃, plus le sin 𝜃 à la puissance cinq. Et en développant ces parenthèses et en simplifiant, nous voyons que le sin cinq 𝜃 est égal à 16 sin 𝜃 à la puissance cinq moins 20 sin au cube 𝜃 plus cinq sin 𝜃.

Maintenant que nous avons le sin cinq 𝜃 exprimé en fonction de puissances de sin 𝜃, nous pouvons répondre à la partie 2) de cette question. Nous devons considérer les solutions du sin cinq 𝜃 est égal à zéro. Nous savons que sin 𝜃 est égal à zéro a des solutions aux multiples entiers de 𝜋. Cela signifie donc que le sin de cinq 𝜃 est égal à zéro a des solutions lorsque 𝜃 est égal à 𝑛𝜋 sur cinq ou à des multiples entiers de 𝜋 sur cinq. Maintenant, en comparant cela à notre équation dans la première partie, nous voyons que 16 sin 𝜃 à la puissance cinq moins 20 sin au cube 𝜃 plus cinq sin 𝜃 égaux à zéro doivent également avoir des solutions lorsque 𝜃 est égal à 𝑛𝜋 sur cinq.

Faisons quelques manipulations de l’expression sur le côté gauche de notre équation, en nous souvenant que notre objectif est de trouver la valeur exacte du sin au carré 𝜋 par cinq. Nous commencerons par factoriser le sin 𝜃. Et nous voyons que le sin 𝜃 fois 16 sin 𝜃 à la puissance quatre moins 20 sin au carré 𝜃 plus cinq doit être égal à zéro. Et supposons que notre valeur pour 𝜃 soit 𝜋 par cinq. En d’autres termes, 𝑛 est égal à un. Le sin de 𝜋 par cinq n’est pas égal à zéro. Donc, pour que le produit de ces deux parenthèses soit égal à zéro, cela doit signifier que 16 sin 𝜋 par cinq à la puissance quatre moins 20 sin au carré 𝜋 par cinq plus cinq est égal à zéro. Et remarquez que cela ressemble un peu à une équation du second degré. Nous allons définir 𝑥 comme le sin au carré 𝜋 par cinq.

Et notre équation du second degré est maintenant de 16𝑥 au carré moins 20𝑥 plus cinq égale zéro. Et nous pouvons résoudre cette équation en utilisant n’importe quelle méthode que nous aimons pour résoudre une équation du second degré comme compléter le carré ou la formule du discriminant. Et quand nous le faisons, nous voyons que 𝑥 est égal à cinq plus ou moins la racine cinq tous divisés par huit. Et bien sûr, nous avons dit que 𝑥 est égal au sin au carré de 𝜋 par cinq. Donc, nos solutions pour le sin au carré de 𝜋 par cinq sont cinq plus ou moins racine cinq sur huit. Maintenant, en fait, si nous les vérifions sur notre calculatrice, nous voyons que le sin au carré 𝜋 par cinq est cinq moins la racine cinq divisée par huit. Et nous avons répondu à la question 2). La représentation exacte du sin au carré de 𝜋 par cinq est cinq moins la racine cinq sur huit.

Nous venons de voir comment utiliser le théorème de De Moivre pour évaluer le sin de multiples de 𝜃. Mais nous pouvons également utiliser le théorème pour dériver des identités pour sin 𝜃 à la puissance 𝑛 et cos 𝜃 à la puissance 𝑛. Disons que nous avons un nombre complexe 𝑧 qui est simplement cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Nous savons que l’inverse de 𝑧 est 𝑧 puissance moins un. Et nous pouvons utiliser le théorème de De Moivre pour évaluer cela. C’est cos de moins 𝜃 plus 𝑖 sin de moins 𝜃.

Maintenant, rappelez-vous que cos est une fonction paire. Donc, cos de moins 𝜃 est tout simplement le même que cos de 𝜃. Le sin est cependant une fonction impaire. Ainsi, le sin de moins 𝜃 est le même que le sin moins 𝜃. Et nous pouvons donc voir que l’inverse de 𝑧 peut s’écrire cos 𝜃 moins 𝑖 sin 𝜃. Alors pourquoi est-ce utile ? Eh bien, cela nous permet d’évaluer 𝑧 plus l’inverse de 𝑧. 𝑧 plus l’inverse de 𝑧 est simplement deux cos 𝜃. De même, cela nous permet d’évaluer leur différence. 𝑧 moins l’inverse de 𝑧 est deux 𝑖 sin 𝜃. Et nous pouvons en fait généraliser cela pour des puissances supérieures de 𝑧.

En utilisant le théorème de De Moivre et en appliquant les identités paires et impaires pour le sinus et le cosinus, nous obtenons ces deux équations. En les réorganisant en divisant la première équation par deux et la seconde par deux 𝑖 pour un nombre complexe 𝑧 sous forme exponentielle, nous voyons que cos de 𝑛𝜃 est égal à la moitié 𝑒 de 𝑖𝑛𝜃 plus 𝑒 de moins 𝑖𝑛𝜃. Et le sin 𝑛𝜃 est égal à un sur deux 𝑖 multiplié par 𝑒 au 𝑖𝑛𝜃 plus 𝑒 au moins 𝑖𝑛𝜃. Ces formules sont incroyablement puissantes pour dériver un certain nombre d’identités trigonométriques. Et ils doivent être conservés en mémoire pour un rappel facile. Jetons un coup d’œil à quelques exemples pour lesquels ceux-ci pourraient être utiles.

En utilisant le théorème de De Moivre, trouvez la valeur exacte de l’intégrale de sin 𝜃 à la puissance sept par rapport à 𝜃 entre les limites 𝜋 sur deux et zéro.

Nous commencerons par exprimer le sin 𝜃 à la puissance sept en termes d’angles multiples, car ceux-ci sont assez simples à intégrer. Nous utiliserons également le fait que 𝑧 moins l’inverse de 𝑧 est égal à deux 𝑖 sin 𝜃. Et puisque nous sommes intéressés par le sin 𝜃 à la puissance sept, nous allons élever toute cette équation à la puissance sept. C’est 𝑧 moins un sur 𝑧 tout à la puissance sept et cela équivaut à deux 𝑖 sin 𝜃 à la puissance sept.

Deux à la puissance sept est 128 et 𝑖 à la puissance sept est moins 𝑖. Nous divisons les deux côtés de cette équation par moins 128𝑖. Nous allons évaluer moins un sur 128𝑖 en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par 𝑖. Lorsque nous le faisons, nous obtenons moins 𝑖 sur 128𝑖 au carré. Mais comme 𝑖 au carré est égal à moins un, cela se simplifie en 𝑖 sur 128.

Notre prochaine étape consiste à appliquer le théorème binomial à 𝑧 moins un sur 𝑧 tous à la puissance sept. Lorsque nous utilisons le théorème binomial, nous voyons que le sin 𝜃 à la puissance sept est comme indiqué. On rappelle alors que 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un sur 𝑧 à la puissance 𝑛 est deux 𝑖 sin 𝑛𝜃. Et nous pouvons voir que nous pouvons écrire cette expression en termes d’angles multiples en rassemblant des puissances de 𝑧.

Cela signifie que le sin 𝜃 à la puissance sept est égal à 𝑖 plus de 28 [128] fois deux 𝑖 sin sept 𝜃 moins sept fois deux 𝑖 sin cinq 𝜃 plus 21 fois deux 𝑖 sin trois 𝜃 moins 35 fois deux 𝑖 sin 𝜃. Et puis simplifié pleinement, nous voyons que cela équivaut à un sur 64 fois 35 sin 𝜃 moins 21 sin trois 𝜃 plus sept sin cinq 𝜃 moins le sin sept 𝜃.

Dégageons un peu d’espace et remplaçons le sin 𝜃 par la puissance de sept dans notre intégrale avec cette expression. On rappelle alors que l’intégrale de sin 𝑛𝜃 par rapport à 𝜃 est moins un fois sur 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus évidemment cette constante d’intégration. Et cela signifie que notre intégrale est moins 35 cos 𝜃 plus sept cos trois 𝜃 moins sept cinquièmes fois cos de cinq 𝜃 plus un septième de cos de sept 𝜃. Et puisque nous allons évaluer cela entre les limites de 𝜋 sur deux et zéro, nous n’avons pas besoin de la constante d’intégration. Cela devient une soixante-quatrième fois 35 moins sept plus sept cinquièmes moins un septième qui est seize trente-cinquièmes.

Remarquez comment ce processus a rendu ce qui était une intégrale assez délicate vraiment très simple à évaluer. Et ce processus ne se limite pas aux seules puissances du sinus ou du cosinus. Nous pouvons également l’utiliser pour trouver des expressions pour les produits de puissances de ces fonctions. Mais ils fonctionnent également avec la fonction tangente. En rappelant que tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 divisé par cos 𝜃, nous pouvons exprimer tan d’un multiple entier de 𝜃 en fonction de puissances de tan. Voyons à quoi cela ressemble.

Exprimer le tan six 𝜃 en fonction de puissances de tan 𝜃.

Nous commençons par rappeler que tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 divisé par cos 𝜃. Et cela au moyen tour tan que six 𝜃 est égal à sin six 𝜃 divisé par cos six 𝜃. Nous évaluerons donc le sin six 𝜃 et le cos six 𝜃 en fonction de puissances de sinus et de cosinus. Le théorème de De Moivre dit que cos six 𝜃 plus 𝑖 sin six 𝜃 est égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 tous à la puissance six. Nous distribuons cette parenthèse en utilisant le théorème binomial et simplifions en évaluant les puissances de 𝑖. Et nous voyons que cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance six est comme indiqué. Et bien sûr, nous avons dit que cos six 𝜃 plus 𝑖 sin six 𝜃 est égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance six. Nous pouvons donc assimiler cette expansion à cos six 𝜃 plus 𝑖 sin six 𝜃.

Et maintenant, nous voyons que nous pouvons assimiler les parties réelle et imaginaire de l’équation. La partie réelle du côté gauche est cos six 𝜃. Sur le côté droit, nous avons obtenu cos 𝜃 à la puissance six, moins 15 cos 𝜃 à la puissance quatre sin au carré 𝜃, 15 cos au carré 𝜃 fois sin 𝜃 à la puissance quatre et le sin moins 𝜃 à la puissance six. Et puis en égalisant les parties imaginaires, sur le côté gauche, nous avons le sin six 𝜃. Sur le côté droit, nous avons six cos 𝜃 à la puissance cinq fois sin 𝜃, moins 20 cos cubés 𝜃 sin au cube 𝜃, et six cos 𝜃 fois sin 𝜃 à la puissance cinq.

Et nous sommes maintenant prêts à évaluer le tan de six 𝜃. C’est six cos 𝜃 à la puissance cinq fois sin 𝜃 moins 20 cos cube 𝜃 sin au cube 𝜃 plus six cos 𝜃 fois sin 𝜃 à la puissance cinq le tout sur cos 𝜃 à la puissance six moins 15 cos 𝜃 à la puissance quatre fois sin au carré 𝜃 plus 15 cos au carré 𝜃 sin 𝜃 à la puissance quatre moins sin 𝜃 à la puissance six. Pour exprimer cela en fonction de tan, nous allons tout diviser par cos 𝜃 à la puissance six.

Au numérateur, six cos 𝜃 à la puissance cinq fois sin 𝜃 divisé par cos 𝜃 à la puissance six est simplement six tan 𝜃. Nous avons moins 20 tan au cube 𝜃 et tan six fois 𝜃 à la puissance cinq. Au dénominateur, nous avons un moins 15 tan au carré 𝜃 plus 15 tan 𝜃 à la puissance quatre moins tan 𝜃 à la puissance six. Et nous avons réussi à exprimer un tan de six 𝜃 en fonction de puissances de tan 𝜃.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser le théorème de De Moivre et le théorème binomial pour dériver plusieurs formules d’angle pour différentes fonctions sinus, cosinus et tangentes. Nous avons également vu que pour un nombre complexe 𝑧 est égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, 𝑧 plus l’inverse de 𝑧 est deux cos 𝜃 et 𝑧 moins l’inverse de 𝑧 est deux 𝑖 sin 𝜃. Et nous avons également étendu cette idée en 𝑧 à la puissance 𝑛.

Nous avons utilisé ces équations pour trouver des expressions pour les puissances du sinus et du cosinus. Et nous avons dit que nous pouvons même le trouver pour leurs produits. Nous avons même vu que nous pouvons utiliser ces techniques pour dériver des identités trigonométriques afin de simplifier des intégrales plus compliquées.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.