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Vidéo de la leçon: Formule de Moivre pour les formules trigonométriques Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser la formule de Moivre pour obtenir des formules trigonométriques.

14:44

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser la formule de Moivre pour démontrer des formules trigonométriques. Vous utilisez déjà très certainement ces formules depuis un bon moment sans vraiment savoir d’où elles viennent. Et vous allez en savoir un peu plus dans cette leçon. Nous allons commencer par expliquer comment utiliser la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton pour développer des expressions et nous allons ensuite en déduire un certain nombre de formules et voir comment les utiliser pour résoudre des équations comprenant des fonctions trigonométriques.

Rappelons que la formules de Moivre dit que pour toutes valeurs entières de 𝑛, un nombre complexe écrit sous forme polaire 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 puissance 𝑛 est égal à 𝑟 puissance 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus 𝑖 sin 𝑛𝜃. Par ailleurs, la formule du binôme de Newton nous indique comment calculer 𝑎 plus 𝑏, le tout puissance 𝑛. Vous connaissez peut-être aussi la formule du binôme de Newton comme la forme développée de un plus 𝑥 puissance 𝑛, mais ce n’est pas ce que nous allons utiliser dans cette vidéo. Voyons comment utiliser ces deux points pour déduire des formules comprenant des multiples de 𝜃.

1) Utilisez la formule de Moivre pour exprimer sin cinq 𝜃 en fonction des puissances de sin 𝜃. 2) En considérant les solutions de sin cinq 𝜃 égal zéro, déterminez une valeur exacte de sin carré de 𝜋 sur cinq.

Pour répondre à la question 1) de cet exercice, nous allons utiliser la formule de Moivre dans l’autre sens pour calculer cos cinq 𝜃 plus 𝑖 sin cinq 𝜃. Selon la formule de Moivre, cette expression est égale à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 le tout puissance cinq. Utilisons donc la formule du binôme de Newton pour développer cette expression. Nous allons comparer cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 à la puissance cinq à la formule du binôme de Newton. Nous voyons que 𝑎 est égal à cos 𝜃, 𝑏 est égal à 𝑖 sin 𝜃 et 𝑛 est égal à cinq.

Le premier terme dans le développement de cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 puissance cinq est donc cos 𝜃 puissance cinq. Le deuxième terme est un parmi cinq fois cos 𝜃 puissance quatre fois 𝑖 sin 𝜃. Le troisième terme est deux parmi cinq cos cube 𝜃 plus 𝑖 sin carré 𝜃. Et nous pouvons écrire les termes suiavnts comme indiqué. Ensuite, rappelons que un parmi cinq est égal à cinq, deux parmi cinq est égal à 10, trois parmi est égal à 10 aussi et quatre parmi cinq est égal à cinq. Nous savons également que 𝑖 au carré est égal à moins un, 𝑖 au cube est égal à moins 𝑖, 𝑖 puissance quatre est égal à un, et 𝑖 puissance cinq est égal à 𝑖. Et nos expressions se simplifient comme indiqué.

Et comme nous avons dit initialement que cos cinq 𝜃 plus 𝑖 sin cinq 𝜃 était égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 puissance cinq, nous pouvons dire que cette expression entière est égale à cos cinq 𝜃 plus 𝑖 sin cinq 𝜃. Alors, rappelons que nous essayons de déterminer une expression de sin cinq 𝜃. Nous allons donc identifier les parties imaginaires de chaque côté de l’équation. Sur le côté gauche, nous avons simplement sin cinq 𝜃. Et à droite, nous avons cinq cos 𝜃 puissance quatre fois sin 𝜃 moins 10 cos carré 𝜃 sin cube 𝜃 plus sin 𝜃 puissance cinq.

Nous allons devoir faire un peu de place ici. Et à ce point, nous allons rappeler le fait que sin carré 𝜃 plus cos carré 𝜃 est toujours égal à un. En réarrangeant l’expression, nous voyons que cos carré 𝜃 est égal à un moins sin carré 𝜃. Et nous avons fait cela parce que nous pouvons ensuite remplacer cos carré 𝜃 et cos 𝜃 puissance quatre dans l’expression, car nous voulons seulement des puissances de la fonction sinus.

Et en faisant cela, nous obtenons que sin cinq 𝜃 est égal à cinq fois un moins sin carré 𝜃 au carré fois sin 𝜃 moins 10 fois un moins sin carré 𝜃 sin cube 𝜃 plus sin 𝜃 puissance cinq. Et en développant l’expression et en simplifiant, nous obtenons que sin cinq 𝜃 est égal à 16 sin 𝜃 puissance cinq moins 20 sin cube 𝜃 plus cinq sin 𝜃.

Maintenant que nous avons sin cinq 𝜃 exprimé en fonction des puissances de sin 𝜃, nous pouvons répondre à la question 2) de l’exercice. Nous devons considérer les solutions de l’équation sin cinq 𝜃 égale zéro. Nous savons que sin 𝜃 est égal à zéro possède comme solutions les multiples entiers de 𝜋. Donc, les solutions de sin cinq 𝜃 égal à zéro correspondent à 𝜃 égal 𝑛𝜋 sur cinq, c’est-à-dire à des multiples entiers de 𝜋 sur cinq. Alors, en comparant cela à l’équation de la première question, nous voyons que l’équation 16 sin 𝜃 puissance cinq moins 20 sin cube 𝜃 plus cinq sin 𝜃 est égal à zéro admet aussi comme solution 𝜃 égal 𝑛𝜋 sur cinq.

Modifions un peu l’expression du côté gauche de l’équation, en nous souvenant que l’objectif est de trouver la valeur exacte de sin carré 𝜋 par cinq. Nous allons commencer par factoriser par sin 𝜃. Et nous obtenons que sin 𝜃 fois 16 sin 𝜃 puissance quatre moins 20 sin carré 𝜃 plus cinq est égal à zéro. Et supposons que la valeur de 𝜃 soit 𝜋 sur cinq. En d’autres termes, 𝑛 est égal à un. Le sin de 𝜋 sur cinq n’est pas égal à zéro. Donc, pour que le produit de ces deux facteurs soit égal à zéro, il faut donc que 16 sin 𝜋 sur cinq puissance quatre moins 20 sin au carré 𝜋 sur cinq plus cinq soit égal à zéro. Et remarquons que cela ressemble un peu à une équation du second degré. Nous allons définir 𝑥 comme sin carré 𝜋 sur cinq.

Et l’équation du second degré est maintenant 16𝑥 au carré moins 20𝑥 plus cinq égale zéro. Et nous pouvons résoudre cette équation avec la méthode de notre choix permettant de résoudre une équation du second degré, en complétant le carré ou en utilisant la formule des racines. Et en faisant cela, nous obtenons que 𝑥 est égal à cinq plus ou moins racine de cinq, le tout divisé par huit. Et bien sûr, nous avons dit que 𝑥 est égal à sin carré de 𝜋 sur cinq. Donc, les valeurs de sin carré de 𝜋 sur cinq sont cinq plus ou moins racine de cinq sur huit. Alors, en fait, si nous vérifions ces valeurs avec la calculatrice, nous voyons que sin carré 𝜋 sur cinq est égal à cinq moins racine de cinq divisé par huit. Et nous avons répondu à la question 2). La valeur exacte de sin carré de 𝜋 sur cinq est cinq moins racine de cinq sur huit.

Nous venons de voir comment utiliser la formule de Moivre pour calculer le sinus des multiples de 𝜃. Mais nous pouvons également utiliser cette formule pour établir d’autres formules de sin 𝜃 puissance 𝑛 et cos 𝜃 puissance 𝑛. Prenons par exemple un nombre complexe 𝑧 qui s’écrit cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Nous savons que l’inverse de 𝑧 est 𝑧 puissance moins un. Et nous pouvons utiliser la formule de Moivre pour calculer sa valeur. Il s’agit de cos moins 𝜃 plus 𝑖 sin moins 𝜃.

Alors, rappelons que cosinus est une fonction paire. Donc, cos moins 𝜃 est tout simplement égal à cos 𝜃. Mais, le sinus est une fonction impaire. Donc, sin de moins 𝜃 est égal à sin moins 𝜃. Et nous pouvons donc voir que l’inverse de 𝑧 peut s’écrire cos 𝜃 moins 𝑖 sin 𝜃. Alors pourquoi est-ce utile ? Eh bien, cela nous permet de calculer 𝑧 plus l’inverse de 𝑧. 𝑧 plus l’inverse de 𝑧 est égal à deux cos 𝜃. De même, nous pouvons calculer leur différence. 𝑧 moins l’inverse de 𝑧 est égal à deux 𝑖 sin 𝜃. Et nous pouvons en fait généraliser cela pour des puissances supérieures de 𝑧.

En utilisant la formule de Moivre et en appliquant les propriétés des fonctions paires et impaires pour le sinus et le cosinus, nous obtenons ces deux équations. En les réarrangeant et en divisant la première équation par deux et la seconde par deux 𝑖 pour un nombre complexe 𝑧 sous forme exponentielle, nous obtenons que cos 𝑛𝜃 est égal à un demi de 𝑒 𝑖𝑛𝜃 plus 𝑒 moins 𝑖𝑛𝜃. Et sin 𝑛𝜃 est égal à un demi de 𝑖 multiplié par 𝑒 𝑖𝑛𝜃 plus 𝑒 moins 𝑖𝑛𝜃. Ces formules sont très puissantes pour établir de nouvelles formules trigonométriques. Et il faut les garder en mémoire et pouvoir s’en rappeler facilement. Voyons quelques exemples où cela pourrait être utile.

En utilisant la formule de Moivre, déterminez la valeur exacte de l’intégrale de sin 𝜃 puissance sept par rapport à 𝜃 entre les bornes zéro et 𝜋 sur deux.

Nous allons commencer par exprimer sin 𝜃 puissance sept en fonction des sinus de multiple de 𝜃 car ces fonctions sont assez simples à intégrer. Nous allons également utiliser le fait que 𝑧 moins l’inverse de 𝑧 est égal à deux 𝑖 sin 𝜃. Et ce qui nous intéresse, c’est sin 𝜃 puissance sept, nous allons élever toute cette équation à la puissance sept. C’est 𝑧 moins un sur 𝑧, le tout puissance sept et c’est égal à deux 𝑖 sin 𝜃 puissance sept.

Deux puissance sept est égal à 128 et 𝑖 puissance sept est égal à moins 𝑖. Nous divisons les deux côtés de cette équation par moins 128𝑖. Nous allons calculer moins un sur 128𝑖 en multipliant le numérateur et le dénominateur par 𝑖. En faisant cela, nous obtenons moins 𝑖 sur 128𝑖 au carré. Mais comme 𝑖 au carré est égal à moins un, cela se simplifie en 𝑖 sur 128.

La prochaine étape consiste à appliquer la formule du binôme de Newton à 𝑧 moins un sur 𝑧, le tout puissance sept. En utilisant la formule du binôme de Newton, nous obtenons cette expression pour sin 𝜃 puissance sept. On rappelle alors que 𝑧 puissance 𝑛 moins un sur 𝑧 puissance 𝑛 est égal à deux 𝑖 sin 𝑛𝜃. Et nous voyons que nous pouvons écrire cette expression en fonction des multiples de 𝜃 en rassemblant les puissances de 𝑧.

Cela signifie que sin 𝜃 puissance sept est égal à 𝑖 sur Et puis en simplifiant, nous obtenons un sur 64 fois 35 sin 𝜃 moins 21 sin trois 𝜃 plus sept sin cinq 𝜃 moins sin sept 𝜃.

Faisons un peu de place et remplaçons sin 𝜃 puissance sept dans l’intégrale avec cette expression. Rappelons ensuite que la primitive de sin 𝑛𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à moins un sur 𝑛 fois cos 𝑛𝜃 plus évidemment cette constante d’intégration. Et cela signifie que l’intégrale est égale à moins 35 cos 𝜃 plus sept cos trois 𝜃 moins sept cinquièmes fois cos de cinq 𝜃 plus un septième de cos de sept 𝜃. Et comme nous allons calculer cela entre les bornes zéro et 𝜋 sur deux, nous n’avons pas besoin de la constante d’intégration. Nous obtenons un soixante-quatrième fois 35 moins sept plus sept cinquièmes moins un septième, ce qui fait seize trente-cinquièmes.

Remarquons que cette méthode nous a permis de passer d’un calcul d’intégral assez complexe à un calcul finalement assez simple. Et cela ne se limite pas aux puissances de sinus ou de cosinus. Nous pouvons également utiliser cette méthode pour calculer des expressions incluant le produit de puissances de ces fonctions. Mais cela fonctionne également avec la fonction tangente. En rappelant que tan 𝜃 est égale à sin 𝜃 divisé par cos 𝜃, nous pouvons exprimer la tangente d’un multiple entier de 𝜃 en fonction des puissances de tan. Voyons ce que ça donne.

Exprimez tan six 𝜃 en fonction des puissances de tan 𝜃.

Commençons par rappeler que tan 𝜃 est égal à sin 𝜃 divisé par cos 𝜃. Et cela veut donc dire que tan six 𝜃 est égal à sin six 𝜃 divisé par cos six 𝜃. Nous allons donc exprimer sin six 𝜃 et cos six 𝜃 en fonction des puissances de sinus et de cosinus. La formule de Moivre dit que cos six 𝜃 plus 𝑖 sin six 𝜃 est égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, le tout puissance six. Nous développons cette expression en utilisant la formule du binôme de Newton et nous simplifions en calculant les puissances de 𝑖. Et nous obtenons cette expression pour cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 puissance six. Et bien sûr, nous avons dit que cos six 𝜃 plus 𝑖 sin six 𝜃 est égal à cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃 puissance six. Nous pouvons donc dire que cette expression est égale à cos six 𝜃 plus 𝑖 sin six 𝜃.

Et maintenant, nous pouvons identifier les parties réelle et imaginaire de l’équation. La partie réelle du côté gauche est cos six 𝜃. Sur le côté droit, nous avons obtenu cos 𝜃 puissance six, moins 15 cos 𝜃 puissance quatre sin carré 𝜃, 15 cos carré 𝜃 fois sin 𝜃 puissance quatre et moins sin 𝜃 puissance de six. Et puis en identifiant les parties imaginaires, sur le côté gauche, nous avons sin six 𝜃. Sur le côté droit, nous avons six cos 𝜃 puissance cinq fois sin 𝜃, moins 20 cos cube 𝜃 sin cube 𝜃 et six cos 𝜃 fois sin 𝜃 puissance cinq.

Et nous pouvons maintenant calculer tan six 𝜃. C’est six cos 𝜃 puissance cinq fois sin 𝜃 moins 20 cos cube 𝜃 sin cube 𝜃 plus six cos 𝜃 fois sin 𝜃 puissance cinq, le tout divisé par cos 𝜃 puissance six moins 15 cos 𝜃 puissance quatre fois sin carré 𝜃 plus 15 cos carré 𝜃 sin 𝜃 puissance quatre moins sin 𝜃 puissance six. Pour exprimer cela en termes de tan, nous allons tout diviser par cos 𝜃 puissance six.

Au numérateur, six cos 𝜃 puissance cinq fois sin 𝜃 divisé par cos 𝜃 puissance six est simplement égal à six tan 𝜃. Nous avons moins 20 tan cube 𝜃 et six fois tan 𝜃 puissance cinq. Au dénominateur, nous avons un moins 15 tan au carré 𝜃 plus 15 tan 𝜃 puissance quatre moins tan 𝜃 puissance six. Et nous avons réussi à exprimer tan six 𝜃 en fonction des puissances de tan 𝜃.

Dans cette vidéo, nous avons vu qu’il est possible d’utiliser la formule de Moivre et la formule du binôme de Newton pour établir des formules impliquant des multiples de 𝜃 pour différentes fonctions sinus, cosinus et tangente. Nous avons également vu que pour un nombre complexe 𝑧 égal cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, 𝑧 plus l’inverse de 𝑧 est égal à deux cos 𝜃 et 𝑧 moins l’inverse de 𝑧 est égal à deux 𝑖 sin 𝜃. Et nous avons également étendu cette idée à 𝑧 puissance 𝑛.

Nous avons utilisé ces équations pour trouver des expressions pour les puissances de sinus et de cosinus. Et nous avons vu qu’il est possible d’utiliser cette méthode pour calculer leurs produits. Nous avons même vu que cette méthode peut être utilisées pour établir des formules trigonométriques pour simplifier des intégrales complexes.

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