Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser la formule de Moivre pour obtenir les formules de trigonométrie
En utilisant la formule du binôme de Newton et la formule de Moivre, nous pouvons exprimer et en termes de puissances de et . On commence par rappeler la formule de Moivre.
Théorème : La formule de Moivre
Pour tout entier ,
On note que le membre de gauche de l’équation est une expression binomiale, car il est de la forme . Ainsi, rappelons la formule du binôme de Newton, que nous pouvons utiliser pour déterminer directement des expressions de ce type.
Théorème : La formule du binôme de Newton
Pour tout entier ,
où . Parfois, est noté .
En utilisant la formule de Moivre et le théorème du binôme de Newton ensemble, nous pouvons exprimer les puissances du sinus et du cosinus en fonction de puissances inférieures. Étudions la forme générale de cette méthode ci-dessous.
Comment : Dériver des expressions pour les puissances de fonctions trigonométriques
Supposons que nous voulons trouver une relation entre et les termes des puissances inférieures du cosinus d’un côté et de l’autre côté. Alors, nous pouvons écrire ce qui suit.
- En utilisant la formule de Moivre, nous avons
- On utilise la formule du binôme de Newton dans le membre de droite pour obtenir
- En multipliant et en déplaçant à l’avant, on obtient
- On utilise le fait que pour calculer les puissances de . Cela se traduira par une moitié des termes à être réels dans l’expression développée et une moitié à être imaginaire, comme indiqué :
- On peut alors assimiler les parties réelles et les parties imaginaires de l’équation ci-dessus. Comme on veut seulement trouver , on considère seulement les parties réelles (si on voulait , on pourrait éventuellement avoir besoin de considérer les parties imaginaires, selon que est réel ou imaginaire). Cela nous donne
- On utilise l’identité pour éliminer les termes sinus : On note que le procédé pour est presque le même, sauf que nous cherchons à éliminer les termes en à la place.
Après avoir observé la forme générale que prend cette méthode, considérons un exemple où nous pouvons montrer comment l’utilisation des formules trigonométriques fonctionne en pratique.
Exemple 1: Calculer des puissances de la fonction sinus à l’aide de relations trigonométriques
- Utilisez la formule de Moivre pour exprimer en termes de puissances de .
- En considérant les solutions de , déterminez une valeur exacte de .
Réponse
Partie 1
En utilisant la formule de Moivre, nous avons
En appliquant le théorème du binôme de Newton au membre de droit, on obtient
En substituant les valeurs de et en simplifiant, nous avons
En calculant les puissances de on obtient
En assimilant les parties imaginaires, cela donne
Pour éliminer les puissances de , on utilise l’identité . En substituant cela, nous avons
En développant les parenthèses et en simplifiant, cela donne
En regroupant les termes, nous avons
Partie 2
Nous commençons par examiner les solutions de . Nous savons que le sinus est égal à zéro pour des entiers multiples de . Par conséquent, quand pour . En utilisant notre réponse obtenue à la partie 1, nous avons , quand pour . En factorisant par , nous avons
On considère maintenant le cas où . Nous savons que ; par conséquent, nous pouvons conclure que . C’est une équation du second degré en . Par conséquent, en posant , on peut réécrire ceci comme
En utilisant la formule qui permet de calculer les solutions des équations du second degré,
les solutions sont données par
Par conséquent, nous avons deux possibilités, ou . Maintenant, nous savons que est une fonction croissante pour et que dans cet intervalle. Ainsi, nous avons
Comme on sait que , cela signifie que
En comparant les deux réponses possibles avec , on trouve que , tandis que , ce qui signifie que seule la première réponse est correcte. Par conséquent, nous avons
On peut aussi utiliser la formule de Moivre pour écrire des identités en fonction de et . Pour ce faire, on commence par définir un nombre complexe . Ensuite, on peut considérer
En appliquant la formule de Moivre, nous avons
En considérant la parité des fonctions sinus et cosinus, et , on peut réécrire ceci comme
Par conséquent,
De même, on peut considérer , pour . En utilisant la formule de Moivre, nous pouvons réécrire ceci comme . De la même manière, on considère
En utilisant la formule de Moivre, nous pouvons réécrire ceci comme
En considérant la parité des fonctions sinus et cosinus, on obtient
Ainsi, en additionnant et en soustrayant les égalités ci-dessus, nous obtenons la paire utile d’identités suivantes.
Identité : Formules trigonométriques en fonction de nombres complexes
Soit . Alors, pour tout , nous avons
Ces équations sont en fait équivalentes aux formules suivantes qui expriment le sinus et le cosinus en fonction de la fonction exponentielle :
En utilisant les identités ci-dessus pour sinus et cosinus en fonction de , on peut écrire de nombreuses autres formules trigonométriques. La technique utilisée ici et les formules du sinus et du cosinus en fonction de devraient être connues.
Maintenant, dans les quelques exemples suivants, nous allons montrer les applications de cette identité à divers problèmes trigonométriques.
Exemple 2: Calculer des puissances de la fonction cosinus en utilisant des identités trigonométriques
Exprimez en fonction de , , , , , et de termes constants.
Réponse
En posant , on peut écrire
En élevant les deux membres à la puissance six, nous avons ceci
Par conséquent,
Nous appliquons maintenant la formule du binôme de Newton au membre de droite :
En substituant les valeurs de et en simplifiant, nous avons
On peut maintenant regrouper les termes en avec les termes en comme suit :
En utilisant , on peut l’exprimer comme suit :
Enfin, on simplifie pour obtenir
Exprimer les puissances des sinus et des cosinus en fonction des multiples des angles est très utile pour calculer les intégrales comme le montrera l’exemple suivant.
Exemple 3: Utiliser la formule de Moivre pour calculer les intégrales trigonométriques
En utilisant la formule de Moivre, déterminez la valeur exacte de
Réponse
En appliquant la formule de Moivre, nous pouvons exprimer en fonction de plusieurs angles plus simples à intégrer. On commence par définir . Ensuite, en utilisant , on peut exprimer le sinus comme
En élevant les deux membres à la puissance sept, nous avons ceci
Comme et , on peut diviser les deux membres par pour obtenir
En appliquant le théorème du binôme de Newton, nous avons
En substituant les valeurs de et en simplifiant, nous avons
On peut maintenant regrouper les termes en avec les termes en comme suit :
En utilisant , on peut l’exprimer comme suit :
En simplifiant, on obtient
En substituant ceci dans l’intégrale, nous avons
Par conséquent,
Les applications de la formule de Moivre ne sont pas limitées aux puissances simples du sinus et du cosinus ; on peut aussi trouver des expressions pour le produit des puissances de sinus et de cosinus.
Exemple 4: Résoudre des équations trigonométriques en utilisant les produits des puissances des fonctions sinus et cosinus
- Exprimez sous la forme , où et sont des constantes à déterminer.
- Déduisez ensuite toutes les solutions de dans l’intervalle . Donnez vos réponses sous leur forme exacte.
Réponse
Partie 1
En posant , on peut exprimer sinus et cosinus en fonction de comme suit :
Par conséquent,
En utilisant la formule du binôme de Newton, nous pouvons développer chaque parenthèse séparément comme suit :
En multipliant les deux parenthèses, on obtient
En regroupant les termes en avec les termes en il résulte que
En utilisant , on peut l’exprimer comme suit :
Partie 2
En utilisant notre réponse de la partie 1, nous pouvons voir que
Par conséquent, est équivalent à
En factorisant cette expression, on obtient
ce qui est vrai soit si , soit si . Pour le premier cas, sachant que , quand .
Maintenant, nous considérons le cas où . En utilisant la formule trigonométrique suivante pour le sinus,
nous pouvons réécrire cela comme
Par conséquent,
En prenant la racine carrée des deux membres de l’équation, on obtient
En partant de la racine carrée positive, pour dans l’intervalle , quand ou . De même, pour la racine carrée négative, quand ou .
Ainsi, les solutions de pour dans l’intervalle sont
Les techniques utilisées pour écrire des formules trigonométriques peuvent également être appliquées à d’autres fonctions trigonométriques telles que les fonctions tangente et cotangente. L’exemple suivant montre comment on peut trouver des formules trigonométriques pour la fonction tangente.
Exemple 5: Écrire des formules trigonométriques impliquant la fonction tangente
- Exprimez en fonction de puissances de et .
- Exprimez en fonction de puissances de et .
- Déduisez alors l’expression de en fonction de puissances de .
Réponse
Partie 1
En utilisant la formule de Moivre, nous avons
En appliquant le théorème du binôme de Newton, on obtient
En substituant les valeurs de et en simplifiant, nous avons
En calculant les puissances de on obtient
En identifiant les parties imaginaires, nous avons
Partie 2
En identifiant les parties réelles de l’équation (1) cela nous donne l’égalité
Partie 3
En utilisant la définition de la fonction tangente en fonction de sinus et cosinus, nous avons
En utilisant les réponses des parties 1 et 2, nous pouvons réécrire ceci comme
En divisant le numérateur et le dénominateur par on obtient
Finissons en récapitulant les points clés que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points Clés
- En utilisant la formule de Moivre et le théorème du binôme de Newton, nous pouvons écrire des formules trigonométriques pour différentes fonctions sinus, cosinus et tangente.
- Si on définit , on peut exprimer sinus et cosinus en fonction de comme suit : On peut aussi exprimer et en fonction de par En utilisant ces égalités, nous pouvons trouver des expressions pour des puissances de sinus et de cosinus et ainsi que pour leurs produits.
- En utilisant ces techniques pour écrire des formules trigonométriques, nous pouvons simplifier les intégrales et résoudre des équations.
