Transcription de la vidéo
Simplifiez 𝑖 à la puissance moins 54.
Dans cette question, on nous demande de simplifier 𝑖 élevé à un exposant entier. Donc, le moyen le plus simple de répondre à cette question sera d’utiliser les identités des puissances de 𝑖 d’exposants entiers. Mais ce n’est pas la seule façon de le faire. Nous allons faire cela de manière détaillée car il peut souvent être utile de voir la méthode écrite en entier plutôt que d’appliquer simplement les identités.
Premièrement, rappelons-nous que chaque fois que nous élevons un nombre à un exposant négatif, nous pouvons plutôt le diviser par ce nombre élevé à un exposant positif. 𝑖 à la puissance moins 54 est égal à un sur 𝑖 élevé à la puissance 54. Mais nous savons exactement ce que signifie 𝑖 à la puissance 54. Nous savons que chaque fois que nous élevons un nombre à un exposant entier positif, par exemple 54, cela est identique au produit de ce nombre avec lui-même lorsqu’il apparaît 54 fois dans notre produit. Donc, 𝑖 à la puissance 54 c’est 𝑖 fois 𝑖 fois 𝑖, où 𝑖 apparaît 54 fois dans ce produit.
Nous avons quelques possibilités quant à la manière de simplifier cela. Nous allons simplement utiliser le fait que parce que 𝑖 est la racine carrée de moins un, 𝑖 au carré doit être égal à moins un. Nous voulons donc écrire notre produit au dénominateur en fonction de 𝑖 au carré. Nous multiplions donc chaque facteur 𝑖 avec un autre facteur 𝑖 pour obtenir des facteurs 𝑖 au carré. Mais si 𝑖 apparaît 54 fois dans ce produit, alors 𝑖 au carré apparaîtra 54 divisé par deux fois. Il apparaîtra 27 fois dans ce produit.
Maintenant, nous pouvons simplement remplacer chaque facteur de 𝑖 au carré au dénominateur par moins un. Ainsi, nous avons deux possibilités ; soit nous pouvons écrire le dénominateur comme étant moins un élevé à la puissance 27, soit nous pouvons simplement calculer cette expression directement. Nous savons que moins un multiplié par moins un est égal à un. Donc, si nous multiplions moins un par lui-même 27 fois, alors 26 de ces facteurs donneront un. Nous obtenons donc un sur moins un. Et un divisé par moins un est égal à moins un. Par conséquent, nous avons pu montrer que 𝑖 à la puissance moins 54 est juste égal à moins un.
