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Vidéo de la leçon : Nombres imaginaires purs Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer, simplifier et multiplier des nombres imaginaires purs et à résoudre des équations sur l’ensemble des nombres imaginaires purs.

14:50

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à manipuler des nombres imaginaires purs. Savoir travailler avec ces nombres est une base importante pour travailler efficacement et avec assurance sur les nombres complexes en général. Nous allons commencer par apprendre à évaluer et à simplifier des nombres imaginaires, y compris leur produit. Nous apprendrons ensuite à résoudre des équations dont les solutions sont des nombres imaginaires.

Raphaël Bombelli est le mathématicien considéré comme l’inventeur des nombres complexes. Pendant que d’autres mathématiciens résolvaient des équations en n’admettant que des solutions purement réelles, Bombelli a vu l’intérêt de la racine carrée de nombres négatifs et a introduit les règles de l’arithmétique des nombres imaginaires que nous utilisons toujours aujourd’hui. Fait intéressant, Bombelli a préféré éviter de donner un nom spécifique à la racine carrée des nombres négatifs, choisissant plutôt de les traiter comme les autres racines. Il a appelé le nombre que nous appelons aujourd’hui 𝑖 « plus de moins ». Et il utilisait le terme « moins de moins » pour décrire moins 𝑖.

Mais quelle est la définition de ce nombre imaginaire que nous appelons maintenant 𝑖? Dans sa forme la plus élémentaire, 𝑖 est défini comme la solution à l’équation 𝑥 carré égale moins un. Cela signifie que 𝑖 au carré est égal à moins un. Et nous pouvons alors dire que 𝑖 est égal à racine carrée de moins un. 𝑖 est appelé un nombre imaginaire parce qu’il ne fait pas partie de l’ensemble des nombres réels. Cela signifie que tout multiple réel de 𝑖 - en d’autres termes, 𝑏𝑖, où 𝑏 est un nombre réel - est également un nombre imaginaire pur.

Mais pourquoi les utilise-t-on? Pourquoi ne nous contentons-nous pas de l’ensemble des nombres réels que nous connaissons déjà si bien? Eh bien, comme nous l’avons déjà vu dans la définition de 𝑖, il existe des équations qui n’ont pas de solutions réelles. Les nombres imaginaires nous permettent alors de résoudre ces équations. Voyons un exemple de cela. Nous allons commencer par une équation nécessitant très peu de manipulations.

Résolvez l’équation 𝑥 carré égale moins 16.

Pour résoudre une équation comme celle-ci, nous commençons par effectuer une série d’opérations inverses, tout comme nous le ferions pour une équation à solutions réelles. Dans ce cas, on prend la racine carrée des deux membres de l’équation. Avant cela cependant, nous choisissons de reformuler légèrement moins 16. Nous le reformulons par 16𝑖 au carré. Et nous verrons pourquoi dans un instant. Mais c’est pour le moment vrai car 𝑖 au carré égale moins un. Donc 16𝑖 au carré égale 16 fois moins un, ce qui fait moins 16.

Maintenant que nous avons l’équation 𝑥 carré égale 16𝑖 carré, nous pouvons prendre la racine carrée des deux membres de l’équation, en rappelant de prendre à la fois la racine positive et la racine négative de 16𝑖 carré. Racine carrée de 𝑥 carré égale 𝑥. Donc 𝑥 est égal à la racine carrée positive ou négative de 16𝑖 carré. Et lors de la prochaine étape, il deviendra évident pourquoi nous avons choisi d’écrire moins 16 par 16𝑖 carré. Nous pouvons séparer la racine carrée de 16𝑖 carré par racine carrée de 16 fois racine carrée de 𝑖 carré.

Racine carrée de 16 égale quatre et racine carrée de 𝑖 carré est simplement égal à 𝑖; nous trouvons donc que 𝑥 est égal à plus ou moins quatre 𝑖. Les solutions à l’équation 𝑥 carré égale moins 16 sont quatre 𝑖 et moins quatre 𝑖. Et vous devriez maintenant comprendre pourquoi nous avons écrit moins 16 comme 16𝑖 au carré. Cela a rendu les dernières étapes un peu plus faciles à traiter.

Nous pouvons bien sûr vérifier ces solutions en les replaçant dans l’équation d’origine. Commençons par 𝑥 égale quatre 𝑖. 𝑥 au carré égale quatre 𝑖 au carré. Et cela est bien sûr égal à quatre 𝑖 fois quatre 𝑖. La multiplication est commutative. Elle peut être effectuée dans n’importe quel ordre. On peut donc réécrire quatre fois quatre fois 𝑖 fois 𝑖. Quatre fois quatre font 16 et 𝑖 fois 𝑖 égale 𝑖 au carré. Et puisque 𝑖 carré égale moins un, 𝑥 carré égale moins 16 comme attendu.

Nous pouvons répéter ce processus pour 𝑥 égale moins quatre 𝑖. 𝑥 carré égale moins quatre 𝑖 fois moins quatre 𝑖, ce qui peut à son tour être écrit comme moins quatre fois moins quatre fois 𝑖 fois 𝑖. Encore une fois, comme moins quatre fois moins quatre égale plus 16, on obtient 16𝑖 carré, ce qui est égal à moins 16 comme requis.

Nous allons maintenant étudier une équation dont la résolution nécessite à peine plus de travail.

Résolvez l’équation deux 𝑥 carré égale moins 50.

Pour commencer à résoudre cette équation, on divise les deux membres par deux. Moins 50 divisé par deux égale moins 25. Donc, 𝑥 au carré égale moins 25. On réécrit maintenant le moins 25 par 25𝑖 carré. Et on rappelle que c’est possible car 𝑖 au carré égale moins un. On prend ensuite la racine carrée des deux membres de cette équation.

On doit bien sûr conserver la racine carrée positive et la négative de 25𝑖 carré. Donc 𝑥 égale plus ou moins racine carrée de 25𝑖 au carré. On peut alors écrire racine carrée de 25𝑖 carré comme racine carrée de 25 fois racine carrée de 𝑖 au carré, qui est simplement égal à cinq 𝑖. Donc 𝑥 égale plus ou moins cinq 𝑖. Les solutions à l’équation deux 𝑥 carré égale moins 50 sont cinq 𝑖 et moins cinq 𝑖.

Dans les prochains exemples, nous allons voir comment étendre les règles de l’arithmétique et de l’algèbre des nombres réels pour nous aider à résoudre des problèmes impliquant des nombres imaginaires purs.

Simplifiez deux 𝑖 au carré fois moins deux 𝑖 au cube.

Lorsque l’on met un nombre au carré, on le multiplie par lui-même. Donc, deux 𝑖 au carré égale deux 𝑖 fois deux 𝑖. Et comme la multiplication est commutative, on peut l’écrire comme deux fois deux fois 𝑖 fois 𝑖. Et cela revient à évaluer une expression algébrique. On multiplie deux par deux pour obtenir quatre et on multiplie 𝑖 par 𝑖 pour obtenir 𝑖 au carré. Mais rappelez-vous que 𝑖 n’est pas une variable. C’est la solution à l’équation 𝑥 carré égale moins un donc 𝑖 carré égale moins un. Donc, quatre 𝑖 au carré égale quatre fois moins un, soit moins quatre.

Nous évaluons ensuite moins deux 𝑖 au cube. Mais nous n’allons pas l’écrire comme moins deux 𝑖 fois moins deux 𝑖 fois moins deux 𝑖. Nous allons plutôt utiliser les règles des exposants que nous connaissons. Nous l’écrivons donc comme moins deux au cube fois 𝑖 au cube. Moins deux au cube égale moins huit. Mais qu’en est-il de 𝑖 au cube? Cela peut sembler un peu effrayant. Mais cela est en fait juste égal à au carré fois 𝑖. Et 𝑖 au carré égale moins un. L’expression devient donc moins huit fois moins un fois 𝑖, soit simplement huit 𝑖.

La dernière étape consiste à remplacer deux 𝑖 au carré et moins deux 𝑖 au cube par moins quatre et huit 𝑖 respectivement. Nous l’évaluerons ensuite comme nous le ferions pour n’importe quelle expression algébrique. On obtient moins quatre fois huit 𝑖, ce qui est égal à moins 32𝑖.

Nous venons de voir que nous pouvons appliquer certaines des règles de manipulation des expressions algébriques pour évaluer des expressions impliquant des nombres imaginaires. Et nous avons également montré que 𝑖 au cube égale moins 𝑖.

Il pourrait maintenant être utile d’observer ce qui se passe avec d’autres puissances de 𝑖, 𝑖 puissance quatre ou cinq par exemple. Nous pouvons évaluer 𝑖 puissance quatre en le considérant comme 𝑖 au carré fois 𝑖 au carré. Et comme 𝑖 au carré égale moins un, 𝑖 puissance quatre égale moins un fois moins un, soit simplement un. Et nous pouvons ainsi commencer à généraliser.

Nous allons élever cette équation à la puissance 𝑛. Et cela fonctionne pour des valeurs entières de 𝑛. Nous voyons alors que 𝑖 puissance quatre 𝑛 est égal à un puissance 𝑛. Et un élevé à toute puissance est simplement égal à un. Nous pouvons donc voir que 𝑖 puissance quatre 𝑛 égale un. Nous pourrions alors choisir de multiplier les deux membres de cette équation par 𝑖 ou 𝑖 puissance un.

On rappelle que lorsque l’on multiplie deux puissances avec la même base, ici 𝑖, on additionne leurs exposants. Donc 𝑖 fois 𝑖 puissance quatre 𝑛 égale 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus un et 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus un égale 𝑖. Répétons cette opération. Nous voyons alors que 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus deux est égal à 𝑖 au carré. Mais 𝑖 au carré est simplement égal à moins un. Donc 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus deux égale moins un. Nous répétons cette opération une fois de plus. Et nous voyons que 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus trois égale moins 𝑖.

Nous pouvons maintenant nous arrêter. Pourquoi? Eh bien, si nous multiplions par 𝑖 à nouveau, nous obtiendrions 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus quatre. Mais quatre est un multiple de quatre. Cela aurait donc le même résultat que 𝑖 puissance quatre 𝑛. Et ce cycle se répète à l’infini. Il existe un graphique utile qui peut nous aider à calculer toute puissance de 𝑖. Pour des valeurs entières de 𝑛, nous pouvons utiliser ce cycle pour déterminer n’importe quelle puissance de 𝑖. Découvrons le potentiel de ces résultats en simplifiant une expression en fonction de puissances de 𝑖.

Simplifiez 𝑖 puissance 30.

Pour simplifier cette expression, nous ne voulons vraiment pas écrire 𝑖 30 fois et évaluer chaque produit. Au lieu de cela, nous rappelons le cycle permettant de se souvenir des valeurs des différentes puissances de 𝑖. Comparons le nombre 𝑖 puissance 30 à ce cycle. Nous devons représenter la puissance 30 sous la forme quatre 𝑎 plus 𝑏. Et pour correspondre aux puissances de 𝑖 dans notre cycle, 𝑏 doit être égal à zéro, un, deux ou trois.

30 est en fait égal à quatre fois sept plus deux. Donc 𝑖 puissance 30 correspond à la partie du cycle où 𝑖 est à la puissance quatre 𝑛 plus deux. D’après le graphique, 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus deux égale moins un. Et cela signifie donc que 𝑖 puissance 30 égale moins un.

Nous aurions également pu choisir d’écrire 𝑖 puissance 30 comme 𝑖 puissance quatre fois sept plus deux. Et nous savons d’après les règles des exposants que cela serait égal à 𝑖 puissance quatre puissance sept fois 𝑖 puissance deux. 𝑖 puissance quatre égale un et 𝑖 au carré égale moins un. L’expression deviendrait ainsi un puissance sept fois moins un, qui est encore une fois égal à moins un.

Nous avons donc vu comment ce cycle peut nous faire gagner du temps lorsque nous travaillons sur des puissances positives de 𝑖. Et il est en fait important de savoir que ces règles de simplification des puissances de 𝑖 fonctionnent également pour des puissances négatives.

Voyons un exemple plus détaillé de cela.

Sachant que 𝑛 est un entier, simplifiez 𝑖 puissance 16𝑛 moins 35.

Rappelez-vous que le cycle nous aidant à nous souvenir des valeurs des différentes puissances de 𝑖 est celui-ci. Nous pouvons donc faire deux choses. La première méthode consiste à utiliser les lois des exposants pour simplifier un peu notre expression. Nous savons que 𝑥 puissance 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑏 égale 𝑥 puissance 𝑎 plus 𝑏. Nous pouvons donc inverser cela et dire que 𝑖 puissance 16𝑛 moins 35 est égal à 𝑖 puissance 16𝑛 fois 𝑖 puissance moins 35.

𝑖 puissance 16𝑛 peut en fait s’écrire 𝑖 puissance quatre puissance quatre 𝑛. Cela correspond à la partie de notre cycle 𝑖 puissance quatre 𝑛. Nous voyons donc que 𝑖 puissance 16𝑛 est égal à un. Et qu’en est-il de 𝑖 puissance moins 35? Celui-ci est un peu plus compliqué. Nous allons donc écrire moins 35 sous la forme quatre 𝑎 plus 𝑏, où 𝑏 peut prendre les valeurs zéro, un, deux ou trois, pour que cela corresponde aux valeurs de notre cycle. Et 35 égale quatre fois moins neuf plus un.

Car quatre fois moins neuf égale moins 36 et ajouter un donne moins 35. Nous avons choisi moins neuf plutôt que moins huit car 𝑏 doit être égal à zéro, un, deux ou trois. Et sa valeur ne doit notamment pas être négative. Donc 𝑖 puissance moins 35 a le même résultat que 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus un dans notre cycle; c’est-à-dire 𝑖. Nous obtenons ainsi 𝑖 puissance 16𝑛 moins 35 égale un fois 𝑖, soit 𝑖.

Voyons la méthode alternative. Nous écrivons cette fois directement la puissance - 16 𝑛 moins 35 - sous la forme quatre 𝑎 plus 𝑏, où 𝑏 appartient à nouveau à zéro, un, deux ou trois. On peut écrire 16𝑛 comme quatre fois quatre 𝑛 et moins 35 comme quatre fois moins neuf plus un. On peut factoriser cette expression et on trouve que 16 𝑛 moins 35 égale quatre fois quatre 𝑛 moins neuf plus un. Nous pouvons donc voir qu’une fois de plus, 𝑖 puissance 16𝑛 moins 35 aura le même résultat que 𝑖 puissance quatre 𝑛 plus un dans notre cycle, soit 𝑖.

Le dernier exemple concerne une des lois des racines que nous avons brièvement évoquée dans cette leçon. Cette formule nous dit que racine carrée de 𝑎 fois 𝑏 égale racine carrée de 𝑎 fois racine carrée de 𝑏. Nous devons être extrêmement prudents avec cette formule. Bien qu’elle fonctionne pour tous les nombres réels positifs, on ne peut pas en dire autant des nombres négatifs.

Simplifiez racine carrée de moins 10 fois racine carrée de moins six.

Nous allons commencer par exprimer chaque racine en fonction de 𝑖. On rappelle que 𝑖 au carré égale moins un. On peut donc dire que racine carrée de moins 10 égale racine carrée de 10𝑖 carré. Et de même, racine carrée de moins six égale racine carrée de six 𝑖 carré. On peut maintenant séparer les racines. On obtient racine carrée de 10 fois racine carrée de 𝑖 carré. Et comme racine carrée de 𝑖 au carré égale 𝑖, on voit que racine carrée de moins 10 égale racine carrée de 10 𝑖. De même, racine carrée de moins six égale racine carrée de six 𝑖.

On multiplie ensuite ces deux termes. La multiplication est commutative. On peut donc réorganiser un peu et dire qu’elle est égale à racine carrée de 10 fois racine carrée de six, c’est-à-dire racine carrée de 60, fois 𝑖 au carré. Et comme 𝑖 au carré égale moins un, nous trouvons que racine carrée de moins 10 fois racine carrée de moins six égale moins racine carrée de 60. Et nous devons maintenant simplifier cela autant que possible.

Il y a plusieurs façons de le faire. Nous pouvons écrire 60 comme un produit de ses diviseurs premiers. Ou nous pouvons chercher le plus grand diviseur de 60 qui est également un nombre carré. Ce diviseur est en fait quatre. Cela signifie donc que racine carrée de 60 est égale à racine carrée de quatre fois racine carrée de 15, ce qui est égal à deux racine carrée de 15. Et nous avons ainsi complètement simplifié notre expression. Nous obtenons moins deux racine carrée de 15.

Voyons ce qui se serait passé si nous avions appliqué les lois des racines. Nous aurions écrit que racine carrée de moins 10 fois racine carrée de moins six égale racine carré de moins 10 fois moins six, qui est égal à racine carrée de plus 60, soit deux racine carrée de 15, ce qui est manifestement différent de notre autre solution.

Dans cette vidéo, nous avons appris que de nombreuses règles d’arithmétique et d’algèbre que nous avons l’habitude d’utiliser peuvent être étendues au monde des nombres imaginaires et complexes. Nous avons également vu que nous devons être un peu plus prudents avec certaines formules, telles que la généralisation de la loi du produit de racines, lorsque ces racines impliquent des nombres négatifs. Nous avons également vu comment les puissances entières de 𝑖 forment un cycle qui nous permet de simplifier assez rapidement toute puissance entière de 𝑖.

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