Vidéo : Nombres imaginaires purs

Dans cette leçon, nous apprendrons à évaluer, simplifier et multiplier des nombres imaginaires purs et à résoudre des équations sur l’ensemble des nombres imaginaires purs.

14:50

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à travailler avec des nombres purement imaginaires. Savoir travailler avec ces nombres est une base importante pour travailler efficacement et en toute confiance avec des nombres complexes. Nous commencerons par apprendre à évaluer et à simplifier les nombres imaginaires, y compris lors de la recherche du produit de ces nombres. Ensuite, nous découvrirons comment résoudre des équations qui ont des solutions imaginaires.

Rafael Bombelli était le mathématicien considéré comme l’inventeur des nombres complexes. Alors que d’autres mathématiciens résolvaient des équations en reconnaissant des solutions purement réelles, Bombelli a vu l’utilité de travailler avec la racine carrée des nombres négatifs et il a introduit les règles d’arithmétique des nombres imaginaires que nous utilisons encore aujourd’hui. Fait intéressant, Bombelli a évité de donner un nom spécial à la racine carrée des nombres négatifs, choisissant plutôt de les traiter comme il le ferait avec n’importe quel autre radical. Il a appelé ce que nous savons maintenant que 𝑖 « plus de moins ». Et il a utilisé le terme « moins de moins » pour décrire moins 𝑖.

Mais quelle est la définition de ce nombre imaginaire que nous appelons maintenant 𝑖 ? Dans sa forme la plus élémentaire, 𝑖 est défini comme la solution de l’équation 𝑥 au carré est égale à moins un. Cela signifie que 𝑖 au carré est égal à moins un. Et nous pouvons à son tour dire que 𝑖 est égal à la racine carrée de moins un. 𝑖 est appelé un nombre imaginaire, essentiellement parce qu’il ne fait pas partie de l’ensemble des nombres réels. Cela signifie que tout multiple réel de 𝑖 — en d’autres termes, 𝑏𝑖, où 𝑏 est un nombre réel — est également un nombre purement imaginaire.

Alors pourquoi les utilisons-nous ? Pourquoi ne nous contentons-nous pas d’un ensemble de chiffres réels que nous connaissons déjà si bien ? Eh bien, comme nous l’avons déjà vu dans la définition de 𝑖, il existe des équations qui n’ont pas de solutions réelles. Les nombres imaginaires nous permettent de résoudre réellement ces équations. Regardons un exemple de cela. Nous commencerons par considérer une équation avec très peu de réarrangement requis.

Résoudre l’équation 𝑥 au carré est égal à moins 16.

Pour résoudre une équation comme celle-ci, nous commençons par résoudre comme nous le ferions toute équation avec des solutions réelles en effectuant une série d’opérations inverses. Dans ce cas, nous allons trouver la racine carrée des deux côtés de l’équation. Avant de le faire, nous choisissons de réécrire légèrement le moins 16. Nous allons l’écrire en 16𝑖 au carré. Et nous verrons pourquoi nous le faisons dans un instant. Mais pour l’instant, cela fonctionne parce que 𝑖 au carré est égal à moins un. Et cela signifie que 16𝑖 au carré est 16 fois moins un, ce qui est moins 16.

Et maintenant que nous avons l’équation 𝑥 au carré égale 16𝑖 au carré, nous pouvons maintenant trouver la racine carrée des deux côtés de l’équation, en nous souvenant que nous pouvons prendre à la fois la racine positive et la racine négative de 16𝑖 au carré. La racine carrée de 𝑥 au carré est 𝑥. Donc 𝑥 est égal à la racine carrée positive et négative de 16𝑖 au carré. Et au cours de cette prochaine étape, il deviendra évident pourquoi nous avons choisi d’écrire le moins 16 en 16𝑖 au carré. Nous pouvons diviser la racine carrée de 16𝑖 au carré en la racine carrée de 16 fois la racine carrée de 𝑖 au carré.

La racine carrée de 16 est quatre et la racine carrée de 𝑖 au carré est simplement 𝑖 donc à son tour, nous pouvons voir que 𝑥 est égal à plus ou moins quatre 𝑖. Les solutions à l’équation 𝑥 au carré sont égales à moins 16 sont quatre 𝑖 et moins quatre 𝑖. Et nous devrions maintenant être en mesure de voir pourquoi nous avons écrit moins 16 comme 16𝑖 au carré. Cela a rendu ces dernières étapes un peu plus faciles à gérer.

Et bien sûr, nous pouvons vérifier ces solutions en les replaçant dans l’équation d’origine. Essayons ceci pour 𝑥 est égal à quatre 𝑖 en premier. 𝑥 au carré est quatre 𝑖 au carré. Et bien sûr, c’est quatre 𝑖 fois quatre 𝑖. La multiplication est commutative. Il peut être exécuté dans n’importe quel ordre. Nous pouvons donc réécrire ceci quatre fois quatre fois 𝑖 fois 𝑖. Quatre multiplié par quatre est 16 et 𝑖 fois 𝑖 est 𝑖 au carré. Et comme 𝑖 au carré est moins un, 𝑥 au carré est moins 16 selon les besoins.

Nous pouvons répéter ce processus pour 𝑥 est égal à moins quatre 𝑖. 𝑥 carré est moins quatre 𝑖 fois moins quatre 𝑖, qui peut à son tour être écrit comme moins quatre fois quatre fois moins 𝑖 fois 𝑖. Encore une fois, étant donné que quatre fois moins moins quatre est positif 16, nous obtenons 16𝑖 au carré, ce qui est moins 16 selon les besoins.

Ensuite, nous allons voir une équation qui nécessite juste un peu plus de travail pour la résoudre.

Résoudre l’équation deux 𝑥 au carré est égal à moins 50.

Pour commencer à résoudre cette équation, nous allons diviser les deux côtés par deux. Moins 50 divisé par deux est moins 25. Donc, 𝑥 au carré est égal à moins 25. Nous réécrivons maintenant le moins 25 en 25𝑖 au carré. Et rappelez-vous que nous pouvons le faire parce que 𝑖 au carré est moins un. Et puis, nous trouvons la racine carrée des deux côtés de cette équation.

Bien sûr, nous pouvons trouver la racine carrée positive et négative de 25𝑖 au carré. Donc 𝑥 est égal à plus ou moins racine 25𝑖 au carré. Nous pouvons alors écrire la racine carrée de 25𝑖 au carré comme la racine carrée de 25 multipliée par la racine carrée de 𝑖 au carré, qui est tout simplement cinq 𝑖. Donc 𝑥 est égal à plus ou moins cinq 𝑖. Les solutions à l’équation deux 𝑥 au carré sont égales à moins 50 sont cinq 𝑖 et moins cinq 𝑖.

Dans ces prochains exemples, nous verrons comment étendre les règles de l’arithmétique et de l’algèbre pour les nombres réels afin de nous aider à résoudre des problèmes impliquant des nombres purement imaginaires.

Simplifiez deux 𝑖 au carré multipliés par moins deux 𝑖 au cube.

Lorsque nous égalons un nombre, nous le multiplions par lui-même. Donc, deux 𝑖 au carré sont les mêmes que deux 𝑖 multipliés par deux 𝑖. Et comme la multiplication est commutative, nous pouvons l’écrire comme deux fois deux fois 𝑖 fois 𝑖. Et en fait, c’est un peu comme évaluer une expression algébrique. Nous multiplions deux par deux pour obtenir quatre et nous multiplions 𝑖 par 𝑖 pour obtenir 𝑖 au carré. Mais rappelez-vous que 𝑖 n’est pas une variable. C’est la solution à l’équation 𝑥 au carré est égal à moins un tel que 𝑖 au carré est moins un. Donc, quatre 𝑖 au carré est quatre multiplié par moins un qui est moins quatre.

Ensuite, nous allons évaluer moins deux 𝑖 au cube. Mais on ne va pas l’écrire comme moins deux 𝑖 fois moins deux 𝑖 fois moins deux 𝑖. Au lieu de cela, nous allons utiliser les règles des exposants auxquels nous sommes habitués. Et nous allons l’écrire comme moins deux au cube fois 𝑖 au cube. Moins deux au cube est moins huit. Mais qu’en est-il de 𝑖 au cube ? Maintenant, cela pourrait sembler un peu effrayant. Mais c’est la même chose que d’écrire 𝑖 fois 𝑖 au carré. Et 𝑖 au carré est moins un. Ainsi, notre expression devient négative huit multipliée par une fois négative 𝑖 qui est tout simplement huit 𝑖.

Notre dernière étape consiste à remplacer deux 𝑖 carrés et moins deux 𝑖 au cube par des moins quatre et huit 𝑖, respectivement. Et puis, nous évaluerons cela comme nous le ferions pour toute expression algébrique. Il devient moins quatre fois huit 𝑖, ce qui est moins 32𝑖.

Nous venons de voir que nous pouvons appliquer certaines des règles de manipulation des expressions algébriques pour nous aider à évaluer celles impliquant des nombres imaginaires. Et nous venons de voir le résultat que 𝑖 cube est égal à moins 𝑖.

A ce stade, il pourrait être utile de considérer ce qui se passe avec d’autres puissances de 𝑖, 𝑖 à la puissance quatre ou cinq par exemple. Nous pouvons évaluer 𝑖 à la puissance quatre en le considérant comme 𝑖 fois au carré 𝑖 au carré. Et puis puisque 𝑖 au carré est moins un, nous disons que 𝑖 à la puissance quatre est moins un multiplié par moins un et que simplement un. Et à ce stade, nous pouvons commencer à généraliser.

Nous allons élever toute cette équation à la 𝑛 ième puissance. Et cela fonctionne pour les valeurs entières de 𝑛. Quand nous le faisons, nous voyons que 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 est égal à un à la puissance 𝑛. Mais en réalité, un à la puissance n’importe quoi n’est qu’un. Nous pouvons donc voir que 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 est égal à un. Nous pourrions alors choisir de multiplier les deux côtés de cette équation par 𝑖 ou 𝑖 à la puissance un.

N’oubliez pas que lorsque nous multiplions deux nombres avec la même base, ici c’est 𝑖, nous ajoutons les puissances. Donc 𝑖 fois 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 est 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus un et 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus un est égal à 𝑖. Faisons-le encore. Lorsque nous le faisons, nous voyons que 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus deux est égal à 𝑖 au carré. Mais 𝑖 au carré est tout simplement moins un. Donc 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus deux est égal à moins un. Nous allons répéter ce processus une fois de plus. Et nous voyons que 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus trois est moins 𝑖.

Et maintenant nous nous arrêtons. Pourquoi ? Eh bien, si nous devions multiplier par 𝑖 à nouveau, nous aurions 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus quatre. Mais quatre est un multiple de quatre. Cela aura donc le même résultat que 𝑖 à la puissance quatre 𝑛. Et ce cycle se répète à l’infini. Il y a un joli graphique que nous pouvons utiliser pour nous aider à trouver toute puissance de 𝑖. Pour les valeurs entières de 𝑛, nous pouvons utiliser ce cycle pour définir toute puissance de 𝑖. Examinons le potentiel de ces résultats en simplifiant une expression en fonction des puissances de 𝑖.

Simplifiez 𝑖 à la puissance 30.

Pour simplifier cette expression, nous ne voulons vraiment pas écrire 𝑖 30 fois et évaluer chaque paire. Au lieu de cela, nous nous souviendrons du cycle qui nous aide à nous souvenir des identités pour les différentes puissances de 𝑖. Comparons notre nombre 𝑖 à la puissance 30 à ce cycle. Nous devons représenter la puissance 30 sous la forme quatre 𝑎 plus 𝑏. Et pour correspondre aux puissances de 𝑖 dans notre cycle, 𝑏 serait zéro, un, deux ou trois.

Maintenant, en fait, 30 peut être écrit comme quatre multiplié par sept plus deux. Donc 𝑖 à la puissance 30 correspond à la partie du cycle où 𝑖 est à la puissance quatre 𝑛 plus deux. Selon cela, 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus deux est égal à moins un. Et cela signifie que 𝑖 à la puissance 30 est moins un.

Maintenant, une autre méthode que nous aurions pu choisir aurait toujours été d’écrire 𝑖 à la puissance 30 comme 𝑖 à la puissance quatre fois sept plus deux. Et nous savons par les règles des exposants que c’est la même chose que 𝑖 à la puissance quatre à la puissance sept fois 𝑖 à la puissance deux. 𝑖 à la puissance quatre est égal à un et 𝑖 au carré est moins un. Ainsi, notre expression devient un à la puissance sept multipliée par moins un qui est à nouveau moins un.

Nous avons donc vu comment ce cycle peut nous faire gagner du temps lorsque nous travaillons avec des puissances positives de 𝑖. Et en fait, il est important de se rappeler que ces ensembles de règles pour simplifier les puissances de 𝑖 fonctionnent également pour les puissances négatives.

Voyons un exemple plus approfondi de cela.

Étant donné que 𝑛 est un entier, simplifiez 𝑖 à la puissance 16𝑛 moins 35.

Rappelez-vous que le cycle qui nous aide à nous souvenir des identités pour les différentes puissances de 𝑖 est comme indiqué. Nous pouvons donc faire deux choses. Notre première méthode consiste à utiliser les lois des exposants pour essentiellement simplifier un peu notre expression. Nous savons que 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 est le même que 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Nous pouvons donc inverser cela et dire que 𝑖 à la puissance 16𝑛 moins 35 est égal à 𝑖 à la puissance 16𝑛 fois 𝑖 à la puissance moins 35.

𝑖 à la puissance 16𝑛 peut en fait s’écrire 𝑖 à la puissance quatre à la puissance quatre 𝑛. Cela correspond à la partie de notre cycle 𝑖 à la puissance quatre 𝑛. Nous pouvons donc voir que 𝑖 à la puissance 16𝑛 peut être écrit comme un. Qu’en est- 𝑖 à la puissance moins 35 ? Celui-ci est un peu plus compliqué. Nous allons écrire moins 35 sous la forme quatre 𝑎 plus 𝑏, où 𝑏 peut prendre les valeurs zéro, un, deux ou trois pour correspondre aux valeurs de notre cycle. C’est la même chose que quatre fois moins neuf plus un.

Rappelez-vous que quatre fois moins neuf est moins 36 et l’ajout d’un nous donne moins un 35. Et nous avons choisi moins neuf au lieu du moins huit car nous avions besoin que 𝑏 soit zéro, un, deux ou trois. Et nous ne voulons certainement pas que ce soit une valeur négative. Donc 𝑖 à la puissance moins 35 aura le même résultat que 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus un dans notre cycle ; c’est 𝑖. Donc 𝑖 à la puissance 16𝑛 moins 35 est un multiplié par 𝑖 qui est 𝑖.

Jetons un œil à la méthode alternative. Ici, nous aurions directement sauté dans l’écriture de la puissance — c’est-à-dire 16𝑛 moins 35 — sous la forme quatre 𝑎 plus 𝑏, où 𝑏 est à nouveau zéro, un, deux ou trois. Nous pouvons écrire 16𝑛 comme quatre fois quatre 𝑛 et négatif 35 comme quatre fois négatif neuf plus un. Nous pouvons factoriser cette expression et nous voyons que 16𝑛 moins 35 est égal à quatre multiplié par quatre 𝑛 moins neuf plus un. Nous pouvons donc voir qu’une fois de plus 𝑖 à la puissance 16𝑛 moins 35 aura le même résultat que 𝑖 à la puissance quatre 𝑛 plus un dans notre cycle ; c’est 𝑖.

Notre dernier exemple concerne l’une des lois des radicaux que nous avons brièvement examinées dans cette leçon. C’est la racine carrée de 𝑎 fois 𝑏 est égale à la racine carrée de 𝑎 fois la racine carrée de 𝑏. Nous devons être extrêmement prudents avec cette règle. Comme si cela fonctionne pour tous les nombres réels positifs, il n’en va pas de même pour les négatifs.

Simplifiez la racine carrée de moins 10 fois la racine carrée de moins six.

Nous commencerons par exprimer chaque radical en termes de 𝑖. N’oubliez pas que 𝑖 au carré est égal à moins un. On peut donc dire que la racine carrée de moins 10 est la même que la racine carrée de 10𝑖 au carré. Et de même, la racine carrée de moins six est la même que la racine carrée de six 𝑖 au carré. Et à ce stade, nous pouvons diviser cela. Nous obtenons la racine carrée de 10 fois la racine carrée de 𝑖 au carré. Et comme la racine carrée de 𝑖 au carré est 𝑖, nous pouvons voir que la racine carrée de moins 10 est la même que la racine 10 𝑖. Et de même, la racine carrée de moins six est la racine six 𝑖.

Ensuite, nous les multiplions ensemble. La multiplication est commutative. Nous pouvons donc réorganiser cela un peu et dire qu’elle est égale à la racine carrée de 10 fois la racine carrée de six qui est racine 60 fois 𝑖 au carré. Et comme 𝑖 au carré est moins un, nous voyons que la racine carrée de moins 10 fois la racine carrée de moins six est moins racine 60. Et en fait, nous devons simplifier cela autant que possible.

Il y a un certain nombre de façons de le faire. Nous pourrions considérer 60 comme un produit de ses facteurs premiers. Alternativement, nous trouvons le plus grand facteur de 60 qui est également un nombre carré. En fait, ce facteur est de quatre. Cela signifie donc que le carré de 60 est le même que la racine carrée de quatre fois la racine carrée de 15 qui est égale à deux racine 15. Et nous avons complètement simplifié notre expression. Nous obtenons une racine négative de deux 15.

Voyons ce qui se serait passé si nous avions appliqué les lois des radicaux. Nous aurions dit que la racine carrée de moins 10 fois la racine carrée de moins six est égale au carré de moins 10 fois moins six qui est égale à la racine carrée de 60 ou deux racine 15 et qui est manifestement différente de notre autre solution.

Dans cette vidéo, nous avons appris que de nombreuses règles d’arithmétique et d’algèbre avec lesquelles nous sommes si confiants peuvent être étendues au monde des nombres imaginaires et complexes. Nous avons également vu que certaines des règles doivent être un peu plus prudentes, comme la généralisation de la loi de multiplication des radicaux lorsque ces radicaux incluent des nombres négatifs. Nous avons également vu comment les puissances entières de 𝑖 forment un cycle et cela nous permet de simplifier assez rapidement toute puissance réelle de 𝑖.

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