Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer, simplifier et multiplier des nombres imaginaires purs et à résoudre des équations sur l’ensemble des nombres imaginaires purs.
Gagner en confiance dans la manipulation des nombres imaginaires permet d’acquérir les compétences nécessaires pour travailler efficacement avec les nombres complexes en général.
Historiquement, l’introduction des nombres complexes fut principalement associée à la résolution d’équations. Les mathématiciens du 16e siècle cherchaient notamment des solutions algébriques aux équations du troisième degré. Étonnamment, les équations que les mathématiciens essayaient de résoudre avaient souvent des solutions réelles pures. Les méthodes requises pour les résoudre nécessitaient d’évaluer des racines carrées de nombres négatifs. En particulier, la méthode de Tartaglia pour résoudre des équations du troisième degré de la forme conduisait souvent à des racines carrées de nombres négatifs, même lorsque toutes les solutions étaient réelles. Par exemple, appliquer sa méthode à l’équation conduit à la solution suivante :
En examinant cependant l’équation , on peut voir qu’elle a trois solutions réelles : 0, 1 et . À l’époque, beaucoup de personnes auraient rejeté une telle expression considérée absurde. Mais le mathématicien Raphaël Bombelli a vu l’utilité de recourir aux racines carrées de nombres négatifs et il est par conséquent aujourd’hui considéré comme la première personne à avoir formalisé leurs propriétés.
Rappelons la définition des nombres imaginaires.
Définition : Nombres imaginaires
Un nombre imaginaire est un nombre de la forme , où est un nombre réel et est défini par
On note que et sont les deux solutions de l'équation , qui n'a pas de vraies solutions. Alternativement, nous pouvons aussi les considérer comme les racines carrées de .
Il est important de savoir que les nombres imaginaires sont un sous-ensemble d'un ensemble plus vaste connu sous le nom de nombres complexes. Rappelons aussi la définition des nombres complexes.
Définition : nombres complexes
Un nombre complexe est un nombre de la forme , où et sont des nombres réels.
La partie réelle d'un nombre complexe est définie comme étant , et la partie imaginaire de est définie comme étant . Ces deux parties peuvent être écrites, respectivement, comme
Dans cette fiche explicative nous ne considérerons que des nombres imaginaires purs, c'est-à-dire des nombres complexes sans composante réelle.
L’introduction des nombres imaginaires permet alors de résoudre des équations qui n’ont pas de solutions réelles. Nous allons commencer par étudier un exemple simple de cela.
Exemple 1: Résoudre des équations à l’aide des nombres imaginaires
Résolvez l’équation .
Réponse
On commence par isoler en divisant les deux membres de l’équation par 2 :
En prenant la racine carrée des deux membres, on obtient et on rappelle que l’on doit alors considérer à la fois les racines positive et négative. On peut le reformuler par
Par conséquent,
En le remplaçant dans l’équation, nous pouvons vérifier notre réponse. On vérifie ici la réponse pour :
Comme , on peut le réécrire par comme attendu.
En appliquant les formules connues de l’arithmétique et de l’algèbre, il est assez facile d’apprendre à utiliser les nombres imaginaires et complexes. Dans les prochains exemples, nous allons appliquer plusieurs formules que nous avons l’habitude d’utiliser avec les nombres réels pour résoudre des problèmes impliquant des nombres imaginaires purs.
Exemple 2: Calculer des puissances positives de nombres imaginaires
Simplifiez .
Réponse
Pour résoudre de tels problèmes, on peut essayer d’étudier chaque terme individuellement. En commençant par le premier terme, on peut appliquer les propriétés des exposants ou la commutativité de la multiplication pour le reformuler par :
Par définition, , cela se simplifie donc par
On peut suivre un raisonnement similaire pour le deuxième terme. En appliquant les propriétés des exposants ou la commutativité de la multiplication, on peut réécrire
On peut facilement évaluer . Mais, comment peut-on faire pour ? On pourrait se demander comment évaluer élevé à une puissance autre que 2 lorsqu’on le rencontre pour la première fois. Nous avons cependant déjà tous les outils dont nous avons besoin pour le calculer : si on réécrit simplement , on peut utiliser la définition pour déterminer que . Par conséquent, le deuxième terme se simplifie par
On peut enfin calculer le produit des deux termes, ce qui nous donne la réponse finale
Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé que . Nous pouvons alors nous demander ce qui se passe lorsque l’on élève à des puissances plus élevées. On sait déjà que , et . Quelle est donc la valeur de ? On peut le calculer de manière similaire à la façon dont on a calculé en notant que
En élevant cette équation à la puissance , on obtient
En multipliant cette équation par les puissances de de 1 à 3, on obtient les identités suivantes :
Nous pouvons également résumer ces identités par le cycle ci-dessous.
Exemple 3: Calculer des puissances de 𝑖
Simplifiez .
Réponse
On souhaite d’abord simplifier . Pour cela, on exprime 45 sous la forme , où est un entier entre 0 et 3. Cela nous permet d’appliquer les identités des puissances de pour éliminer l’exposant de l’expression.
Comme , on peut exprimer . On peut maintenant appliquer les identités des puissances de , en particulier , pour simplifier l’expression et obtenir . Nous aurions également pu l’approcher comme suit :
En appliquant les propriétés des exposants, on peut l’exprimer par
Comme , on a
D’où
À ce stade, un élève débutant avec les nombres complexes pourrait être un peu bloqué. Nous ne devons cependant pas oublier les outils algébriques et arithmétiques que nous connaissons déjà. On rappelle que lorsque l’on souhaite rendre le dénominateur entier dans une expression telle que , on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par , ce qui donne . En pensant alors à comme , on peut appliquer la même technique, ce qui donne le calcul suivant :
Comme , on a
Par conséquent,
Dans l’exemple précédent, nous avons appris à évaluer . Sachant que l’on peut exprimer sous forme de puissance par et que cela est égal à , on peut se demander si les puissances négatives de suivent un cycle similaire et les mêmes formules que les puissances positives. Il s’avère que c’est le cas et nous pouvons énoncer le théorème suivant.
Théorème : Puissances entières du nombre imaginaire 𝑖
Pour tout entier ,
On peut l’exprimer par le cycle ci-dessous :
Nous pouvons maintenant étudier un exemple d’application de ces formules.
Exemple 4: Simplifier des puissances entières de 𝑖
Sachant que est un entier, simplifiez .
Réponse
Pour appliquer les règles des puissances de , nous devons d’abord exprimer sous la forme , où est un entier entre 0 et 3. On note que et . Par conséquent, que l’on peut réécrire comme
Cette formule est alors presque sous une forme adaptée. La valeur de doit être comprise entre 0 et 3 mais il est ici égal à . On peut facilement résoudre ce problème en exprimant . En le substituant, on obtient
On peut maintenant appliquer les formules des puissances entières de , en particulier , pour obtenir
Nous allons terminer par étudier un dernier exemple d’arithmétique avec des nombres complexes qui nécessite d’être prudent lors de l’application d’une formule connue d’arithmétique.
Exemple 5: Arithmétique avec des nombres imaginaires
Simplifiez .
Réponse
Nous devons faire attention ici à ne pas tomber dans le piège de supposer que est vrai pour tous les nombres. Cela est tout à fait vrai pour les nombres réels positifs. Mais, cela ne l’est pas pour les nombres négatifs, comme nous allons le voir. Pour éviter ce piège, nous devons d’abord exprimer ces racines carrées en fonction de : et
On peut maintenant les multiplier et simplifier :
En exprimant 60 comme le produit de facteurs premiers, , on peut voir que . En le substituant et en utilisant , on trouve
Si on avait essayé d’utiliser la propriété , on aurait conclu à tort que la réponse était .
Ce dernier exemple met en évidence que même si la majorité des formules de l’algèbre et de l’arithmétique peuvent être appliquées à des nombres complexes, nous devons faire attention à exprimer d’abord la racine carrée d’un nombre négatif en fonction de avant d’essayer de la manipuler si l’expression contient des puissances fractionnaires ou des racines.
Points clés
- On peut résoudre de nombreux problèmes impliquant des nombres imaginaires et complexes en appliquant les propriétés connues de l’arithmétique et de l’algèbre.
- Il faut être prudent lorsque l’on utilise des puissances non entières de tout nombre qui n’est pas réel positif ; certaines des formules connues ne s’appliquent pas aux nombres négatifs ou complexes. Par exemple, n’est pas vrai pour des nombres complexes quelconques. Ce n’est en particulier pas vrai pour deux nombres négatifs.
- Les puissances entières de forment un cycle :
En utilisant ces formules, on peut simplifier certains calculs impliquant des nombres complexes.
