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Fiche explicative de la leçon : Nombres imaginaires purs Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer, simplifier et multiplier des nombres imaginaires purs et à résoudre des équations sur l’ensemble des nombres imaginaires purs.

Gagner en confiance dans la manipulation des nombres imaginaires permet d’acquérir les compétences nécessaires pour travailler efficacement avec les nombres complexes en général.

Historiquement, l’introduction des nombres complexes fut principalement associée à la résolution d’équations. Les mathématiciens du 16e siècle cherchaient notamment des solutions algébriques aux équations du troisième degré. Étonnamment, les équations que les mathématiciens essayaient de résoudre avaient souvent des solutions réelles pures. Les méthodes requises pour les résoudre nécessitaient d’évaluer des racines carrées de nombres négatifs. En particulier, la méthode de Tartaglia pour résoudre des équations du troisième degré de la forme 𝑥+𝑝𝑥+𝑞=0 conduisait souvent à des racines carrées de nombres négatifs, même lorsque toutes les solutions étaient réelles. Par exemple, appliquer sa méthode à l’équation 𝑥𝑥=0 conduit à la solution suivante:131+1.

En examinant cependant l’équation 𝑥𝑥=0, on peut voir qu’elle a trois solutions réelles:0, 1 et 1. À l’époque, beaucoup de personnes auraient rejeté une telle expression considérée absurde. Mais le mathématicien Raphaël Bombelli a vu l’utilité de recourir aux racines carrées de nombres négatifs et il est par conséquent aujourd’hui considéré comme la première personne à avoir formalisé leurs propriétés.

Rappelons la définition des nombres imaginaires.

Définition : Nombres imaginaires

Un nombre imaginaire est un nombre de la forme 𝑏𝑖, 𝑏 est un nombre réel et 𝑖 est défini par 𝑖=1.

On note que 𝑖 et 𝑖 sont les deux solutions de l'équation 𝑥=1 , qui n'a pas de vraies solutions. Alternativement, nous pouvons aussi les considérer comme les racines carrées de 1.

Il est important de savoir que les nombres imaginaires sont un sous-ensemble d'un ensemble plus vaste connu sous le nom de nombres complexes. Rappelons aussi la définition des nombres complexes.

Définition : nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre de la forme 𝑎+𝑏𝑖, 𝑎 et 𝑏 sont des nombres réels.

La partie réelle d'un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 est définie comme étant 𝑎, et la partie imaginaire de 𝑧 est définie comme étant 𝑏. Ces deux parties peuvent être écrites, respectivement, comme ReIm(𝑧)=𝑎,(𝑧)=𝑏.

Dans cette fiche explicative nous ne considérerons que des nombres imaginaires purs, c'est-à-dire des nombres complexes sans composante réelle.

L’introduction des nombres imaginaires permet alors de résoudre des équations qui n’ont pas de solutions réelles. Nous allons commencer par étudier un exemple simple de cela.

Exemple 1: Résoudre des équations à l’aide des nombres imaginaires

Résolvez l’équation 2𝑥=50.

Réponse

On commence par isoler 𝑥 en divisant les deux membres de l’équation par 2:𝑥=25.

En prenant la racine carrée des deux membres, on obtient 𝑥=±25, et on rappelle que l’on doit alors considérer à la fois les racines positive et négative. On peut le reformuler par 25=25×1=25×1.

Par conséquent, 𝑥=±5𝑖.

En le remplaçant dans l’équation, nous pouvons vérifier notre réponse. On vérifie ici la réponse pour 5𝑖:2𝑥=2(5𝑖)=2(5)𝑖.

Comme 𝑖=1, on peut le réécrire par 2𝑥=2×25×(1)=50 comme attendu.

En appliquant les formules connues de l’arithmétique et de l’algèbre, il est assez facile d’apprendre à utiliser les nombres imaginaires et complexes. Dans les prochains exemples, nous allons appliquer plusieurs formules que nous avons l’habitude d’utiliser avec les nombres réels pour résoudre des problèmes impliquant des nombres imaginaires purs.

Exemple 2: Calculer des puissances positives de nombres imaginaires

Simplifiez (2𝑖)(2𝑖).

Réponse

Pour résoudre de tels problèmes, on peut essayer d’étudier chaque terme individuellement. En commençant par le premier terme, on peut appliquer les propriétés des exposants ou la commutativité de la multiplication pour le reformuler par:(2𝑖)=2𝑖.

Par définition, 𝑖=1, cela se simplifie donc par (2𝑖)=4.

On peut suivre un raisonnement similaire pour le deuxième terme. En appliquant les propriétés des exposants ou la commutativité de la multiplication, on peut réécrire (2𝑖)=(2)𝑖.

On peut facilement évaluer (2). Mais, comment peut-on faire pour 𝑖?On pourrait se demander comment évaluer 𝑖 élevé à une puissance autre que 2 lorsqu’on le rencontre pour la première fois. Nous avons cependant déjà tous les outils dont nous avons besoin pour le calculer:si on réécrit simplement 𝑖=𝑖×𝑖, on peut utiliser la définition 𝑖=1 pour déterminer que 𝑖=𝑖. Par conséquent, le deuxième terme se simplifie par (2𝑖)=8𝑖.

On peut enfin calculer le produit des deux termes, ce qui nous donne la réponse finale (2𝑖)(2𝑖)=(4)×8𝑖=32𝑖.

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé que 𝑖=𝑖. Nous pouvons alors nous demander ce qui se passe lorsque l’on élève 𝑖 à des puissances plus élevées. On sait déjà que 𝑖=𝑖, 𝑖=1 et 𝑖=𝑖. Quelle est donc la valeur de 𝑖?On peut le calculer de manière similaire à la façon dont on a calculé 𝑖 en notant que 𝑖=𝑖=(1)=1.

En élevant cette équation à la puissance 𝑛, on obtient 𝑖=1.

En multipliant cette équation par les puissances de 𝑖 de 1 à 3, on obtient les identités suivantes:𝑖=1,𝑖=𝑖,𝑖=1,𝑖=𝑖.

Nous pouvons également résumer ces identités par le cycle ci-dessous.

Exemple 3: Calculer des puissances de 𝑖

Simplifiez 1𝑖.

Réponse

On souhaite d’abord simplifier 𝑖. Pour cela, on exprime 45 sous la forme 4𝑎+𝑏, 𝑏 est un entier entre 0 et 3. Cela nous permet d’appliquer les identités des puissances de 𝑖 pour éliminer l’exposant de l’expression.

Comme 45=4×11+1, on peut exprimer 𝑖=𝑖×. On peut maintenant appliquer les identités des puissances de 𝑖, en particulier 𝑖=𝑖, pour simplifier l’expression et obtenir 𝑖=𝑖. Nous aurions également pu l’approcher comme suit:𝑖=𝑖.×

En appliquant les propriétés des exposants, on peut l’exprimer par 𝑖=𝑖×𝑖=𝑖×𝑖.×

Comme 𝑖=1, on a 𝑖=(1)×𝑖=1×𝑖=𝑖.

D’où 1𝑖=1𝑖.

À ce stade, un élève débutant avec les nombres complexes pourrait être un peu bloqué. Nous ne devons cependant pas oublier les outils algébriques et arithmétiques que nous connaissons déjà. On rappelle que lorsque l’on souhaite rendre le dénominateur entier dans une expression telle que 12, on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par 2, ce qui donne 122. En pensant alors à 𝑖 comme 1, on peut appliquer la même technique, ce qui donne le calcul suivant:1𝑖=1𝑖×𝑖𝑖=𝑖𝑖.

Comme 𝑖=1, on a 1𝑖=𝑖1=𝑖.

Par conséquent, 1𝑖=𝑖.

Dans l’exemple précédent, nous avons appris à évaluer 1𝑖. Sachant que l’on peut exprimer 1𝑖 sous forme de puissance par 𝑖 et que cela est égal à 𝑖, on peut se demander si les puissances négatives de 𝑖 suivent un cycle similaire et les mêmes formules que les puissances positives. Il s’avère que c’est le cas et nous pouvons énoncer le théorème suivant.

Théorème : Puissances entières du nombre imaginaire 𝑖

Pour tout entier 𝑛, 𝑖=1,𝑖=𝑖,𝑖=1,𝑖=𝑖.

On peut l’exprimer par le cycle ci-dessous:

Nous pouvons maintenant étudier un exemple d’application de ces formules.

Exemple 4: Simplifier des puissances entières de 𝑖

Sachant que 𝑛 est un entier, simplifiez 𝑖.

Réponse

Pour appliquer les règles des puissances de 𝑖, nous devons d’abord exprimer 16𝑛35 sous la forme 𝑎𝑚+𝑏, 𝑏 est un entier entre 0 et 3. On note que 16=4×4 et 35=4×8+3. Par conséquent, 16𝑛35=4×4𝑛(4×8+3), que l’on peut réécrire comme 16𝑛35=4(4𝑛8)3.

Cette formule est alors presque sous une forme adaptée. La valeur de 𝑏 doit être comprise entre 0 et 3 mais il est ici égal à 3. On peut facilement résoudre ce problème en exprimant 3=4+1. En le substituant, on obtient 16𝑛35=4(4𝑛8)4+1=4(4𝑛9)+1.

On peut maintenant appliquer les formules des puissances entières de 𝑖, en particulier 𝑖=𝑖, pour obtenir 𝑖=𝑖=𝑖.()

Nous allons terminer par étudier un dernier exemple d’arithmétique avec des nombres complexes qui nécessite d’être prudent lors de l’application d’une formule connue d’arithmétique.

Exemple 5: Arithmétique avec des nombres imaginaires

Simplifiez 10×6.

Réponse

Nous devons faire attention ici à ne pas tomber dans le piège de supposer que 𝑎𝑏=𝑎𝑏 est vrai pour tous les nombres. Cela est tout à fait vrai pour les nombres réels positifs. Mais, cela ne l’est pas pour les nombres négatifs, comme nous allons le voir. Pour éviter ce piège, nous devons d’abord exprimer ces racines carrées en fonction de 𝑖:10=𝑖10 et 6=𝑖6.

On peut maintenant les multiplier et simplifier:10×6=𝑖10×𝑖6=𝑖60.

En exprimant 60 comme le produit de facteurs premiers, 60=2×3×5, on peut voir que 60=215. En le substituant et en utilisant 𝑖=1, on trouve 10×6=215.

Si on avait essayé d’utiliser la propriété 𝑎𝑏=𝑎𝑏, on aurait conclu à tort que la réponse était 215.

Ce dernier exemple met en évidence que même si la majorité des formules de l’algèbre et de l’arithmétique peuvent être appliquées à des nombres complexes, nous devons faire attention à exprimer d’abord la racine carrée d’un nombre négatif en fonction de 𝑖 avant d’essayer de la manipuler si l’expression contient des puissances fractionnaires ou des racines.

Points clés

  • On peut résoudre de nombreux problèmes impliquant des nombres imaginaires et complexes en appliquant les propriétés connues de l’arithmétique et de l’algèbre.
  • Il faut être prudent lorsque l’on utilise des puissances non entières de tout nombre qui n’est pas réel positif;certaines des formules connues ne s’appliquent pas aux nombres négatifs ou complexes. Par exemple, 𝑎𝑏=𝑎𝑏 n’est pas vrai pour des nombres complexes quelconques. Ce n’est en particulier pas vrai pour deux nombres négatifs.
  • Les puissances entières de 𝑖 forment un cycle:𝑖=1,𝑖=𝑖,𝑖=1,𝑖=𝑖.

En utilisant ces formules, on peut simplifier certains calculs impliquant des nombres complexes.

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