Transcription de la vidéo
Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36 par rapport à 𝑥.
Cette notation signifie qu’il faut chercher une fonction dont la dérivée est l'expression soulignée 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36. La première chose à noter est que nous pouvons trouver la primitive de chaque terme séparément. Pourquoi ? Et bien, si nous arrivons à trouver une fonction dont la dérivée est 25𝑥 au carré - autrement dit, la primitive de 25𝑥 au carré - et les primitives des autres termes également - c'est-à-dire deux autres fonctions dont les dérivées sont 65𝑥 et 36, respectivement - alors si on dérive cette combinaison des fonctions 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 plus ℎ de 𝑥, en utilisant l’une des propriétés de la dérivation, à savoir que la dérivée d'une somme ou d'une différence est égale à la somme ou à la différence des dérivées, on obtient 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36.
Vous pouvez mettre la vidéo en pause et prendre quelques secondes pour y réfléchir. Cette expression du second degré est celle dont nous voulons trouver la primitive. Donc nous avons pris notre problème pour trouver ce qui est dérivable en 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36. Et nous avons montré que la solution est possible si on trouve les primitives de 25𝑥 au carré 65𝑥 et 36, séparément. On a transformé un gros problème en trois petits problèmes.
Alors essayons de trouver les fonctions 𝑓, 𝑔, et ℎ avec les propriétés requises. Remarquez, chacune de ces dérivées est un monôme. C'est-à-dire qu'elles ont toutes la forme 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛, où 𝑛 est un nombre entier. Donc si on peut trouver la primitive d'une fonction de cette forme, alors on a terminé. Pouvez-vous penser à une fonction dont la dérivée est 36 ? Mettez la vidéo en pause pour y réfléchir.
La pente du graphique de cette fonction est constante. Elle est toujours égale à 36, partout. Il doit donc s'agir d'une droite. La fonction ℎ de 𝑥 peut donc être 36𝑥. Le graphique de cette fonction est une droite de pente 36. Et en effet, la dérivée de la fonction est 36, si on la calcule. Évidemment, la fonction ℎ de 𝑥 égale 36𝑥 plus un convient également ainsi que 36𝑥 moins sept. En fait, n'importe quelle constante pourrait fonctionner ici. On reviendra sur ce point plus tard. Mais pour le moment, essayons de trouver une fonction 𝑔 de 𝑥 dont la dérivée est 65𝑥.
Rappelez-vous que lorsque vous calculez la dérivée d'une puissance de 𝑥, vous réduisez les exposants par un. La dérivée de 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑛 fois 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Et de manière plus générale, on peut trouver la dérivée d'une constante fois une puissance de 𝑥. La dérivée de 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑎 fois 𝑛 𝑥 puissance 𝑛 moins un. Si on compare ce membre de droite, 𝑎 fois 𝑛𝑥 puissance 𝑛 moins un, à 65𝑥, on voit que 𝑎 fois 𝑛 est forcément 65. D'après le coefficient de ce terme et en regardant l'exposant, on peut voir que 𝑛 moins un doit être un. Il est alors facile de résoudre ces deux équations. 𝑛 doit être égal à deux. Et en utilisant cette valeur de 𝑛 dans l'autre équation, on voit que 𝑎 doit être 65 sur deux. Alors qu'est-ce qui se dérive pour donner 65𝑥 ? En utilisant les valeurs de 𝑎 et 𝑛 que nous avons trouvées, on voit que la réponse est 65 sur deux 𝑥 au carré. Vous pouvez vérifier, si vous le souhaitez, que la dérivée donne bien 65𝑥.
La dernière tâche consiste à trouver quelque chose qui se dérive en 25𝑥 au carré. On compare 25𝑥 au carré à 𝑎 fois 𝑛𝑥 puissance 𝑛 moins un. Et nous voyons que 𝑎 fois 𝑛 doit être 25 et 𝑛 moins un égale deux. La résolution de ces deux questions est très simple. 𝑛 égale trois et 𝑎 est 25 sur trois. Donc 𝑓 de 𝑥, qui est 𝑎 𝑥 puissance 𝑛, est 25 sur trois 𝑥 au cube. Nous avons trouvé 𝑓 de 𝑥, 𝑔 de 𝑥, et ℎ de 𝑥. Rappelez-vous que nous avons montré que la primitive que nous cherchons peut s'écrire en fonction de ces 𝑓, 𝑔, et ℎ. Et on peut substituer les expressions que nous avons trouvées. Est-ce notre réponse alors ? Eh bien, pas tout à fait.
Vous pouvez vérifier que cette fonction se dérive effectivement en 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36, mais il existe d'autres fonctions qui donnent la même chose. Pour toute constante 𝐶, qu'elle soit égale à un, à moins sept ou à un autre nombre, 25 sur trois 𝑥 au cube moins 65 sur deux 𝑥 au carré plus 36𝑥 plus 𝐶 donnera également comme dérivée l'expression du second degré requise. C'est donc la primitive de 25𝑥 au carré moins 65𝑥 plus 36. Ou encore, c'est l'intégrale indéfinie de cette expression du second degré. Vous ne devez pas oublier le 𝐶.
Nous avons répondu à cette question en utilisant ce que nous savions sur la dérivation. Par exemple, au début de la vidéo, nous avons montré, en utilisant les propriétés de la dérivation, que nous pouvons trouver la primitive de chaque terme séparément, puis les combiner. Et nous avons également utilisé ce que nous savons sur la dérivée d'une fonction monôme, 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛. Et nous avons constaté qu'en utilisant cette formule, il était possible de poser des systèmes d'équations à partir du coefficient et de l'exposant, que nous pouvons ensuite résoudre pour trouver les valeurs de 𝑎 et 𝑛 dont nous avons besoin.
Mais bien sûr, il aurait été plus pratique de savoir ce qu'il faut dériver pour obtenir 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛. Nous aurions alors pu éviter de résoudre une équation à chaque fois. Il s'avère que la chose que nous devons dériver pour obtenir 𝑎 fois 𝑥 puissance 𝑛 est 𝑎 sur 𝑛 plus un fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un. Cette formule fonctionne tant que 𝑛 n'est pas égal à moins un. Si 𝑛 égale moins un, alors on aura zéro au dénominateur, ce qui pose un problème. On peut aussi exprimer cette dernière formule en utilisant la notation d’intégrale indéfinie, où là encore il est important de ne pas oublier le 𝐶.
