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Simplifiez la fonction 𝑛 de 𝑥 est égal à neuf 𝑥 plus 72 sur 𝑥 plus un divisé par neuf 𝑥 plus 72 sur cinq 𝑥 plus cinq, et déterminez son domaine de définition.
Nous commençons par rappeler comment diviser deux fonctions rationnelles. Si 𝑔 de 𝑥 égale 𝑝 de 𝑥 sur 𝑞 de 𝑥 et ℎ de 𝑥 égale 𝑟 de 𝑥 sur 𝑠 de 𝑥, alors leur quotient 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑝 de 𝑥 multiplié par 𝑠 de 𝑥 divisé par 𝑞 de 𝑥 multiplié par 𝑟 de 𝑥. Lors de la division de deux fractions, nous multiplions la première fraction par l’inverse de la deuxième fraction.
Dans cette question, neuf 𝑥 plus 72 sur 𝑥 plus un divisé par neuf 𝑥 plus 72 sur cinq 𝑥 plus cinq est égal à neuf 𝑥 plus 72 sur 𝑥 plus un multiplié par cinq 𝑥 plus cinq sur neuf 𝑥 plus 72. Nous pouvons annuler des termes en divisant le numérateur et le dénominateur par neuf 𝑥 plus 72. En factorisant cinq 𝑥 plus cinq au numérateur, nous obtenons cinq fois 𝑥 plus un, nous pouvons donc diviser le tout par 𝑥 plus un. Nous pouvons annuler le facteur commun de 𝑥 plus un et il reste cinq. La fonction 𝑛 de 𝑥 dans sa forme la plus simple est égale à cinq.
On nous demande également de déterminer l’ensemble de définition de la fonction. En utilisant la définition des deux fonctions rationnelles ci-dessus, alors l’ensemble de définition de leur quotient est égal à l’ensemble des nombres réels moins 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑟 de 𝑥 moins 𝑍 de 𝑠 de 𝑥, où 𝑍 désigne les zéros de la fonction. Par exemple, 𝑍 de 𝑞 de 𝑥 est la valeur de 𝑥 pour laquelle 𝑞 de 𝑥 égale zéro. Nous devons exclure ces valeurs de l’ensemble des nombres réels car la fonction ne sera pas définie en ces valeurs.
Dans cette question, cela signifie que nous devons poser 𝑥 plus un, neuf 𝑥 plus 72 et cinq 𝑥 plus cinq comme étant tous égaux à zéro. Lorsque 𝑥 plus un est égal à zéro, 𝑥 est égal à moins un. Cela signifie que 𝑥 est égal à moins un ne peut pas être dans l’ensemble de définition de 𝑛 de 𝑥. Pour résoudre neuf 𝑥 plus 72 égale zéro, nous commençons par diviser par neuf, ce qui nous donne 𝑥 plus huit égale zéro. Puis, en soustrayant huit des deux côtés, nous avons 𝑥 est égal à moins huit. Moins huit ne sera donc pas inclus dans le domaine de notre fonction. Enfin, lorsque cinq 𝑥 plus cinq égale zéro, nous pouvons diviser par cinq de sorte que 𝑥 plus un égale zéro et donc 𝑥 égale moins un. Il s’agit de la même solution que pour la première équation.
Nous pouvons donc conclure que l’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des valeurs réelles moins l’ensemble contenant moins un et moins huit. La fonction 𝑛 de 𝑥 est définie pour toutes les valeurs réelles de 𝑥 à l’exception de moins un et moins huit. Nous avons maintenant répondu aux deux parties de la question.
