Transcription de la vidéo
Soit 𝑦 égale deux puissance moins neuf 𝑒 puissance neuf 𝑥 plus sinus 𝑥, déterminez d𝑦 sur d𝑥.
On nous donne une fonction 𝑦 qui est assez compliquée, dont l'exposant est une fonction de 𝑥. On peut utiliser la règle de dérivation en chaîne pour dériver 𝑦, mais on va utiliser une autre méthode. Il s'agit de la dérivation logarithmique. Comment cela fonctionne-t-il ? Eh bien, si on a une fonction 𝑦 qui est en fonction de 𝑥, la première étape consiste à appliquer le logarithme népérien aux deux membres afin que le logarithme népérien de 𝑦 soit celui de 𝑓 de 𝑥, sachant que le logarithme népérien est le logarithme de base 𝑒, où 𝑒 est le nombre d'Euler qui vaut approximativement 2,71828 ainsi de suite.
Dans notre cas, notre fonction 𝑦 est deux puissance moins neuf 𝑒 puissance neuf 𝑥 plus sinus 𝑥. Et pour que cette première étape soit bien valide, c'est-à-dire prendre les logarithmes népériens, il faut préciser que 𝑦 est supérieure à zéro. En effet, la fonction logarithme n'existe pas pour les valeurs négatives et le logarithme de zéro est indéfini. Et puisque deux à toute puissance est positif, notre 𝑦 est effectivement supérieure à zéro.
Nous avons pris le logarithme népérien, mais la fonction semble plus compliquée qu’avant. C'est là que les lois des logarithmes s'avèrent utiles. La deuxième étape consiste à utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier ou développer le membre droit. Et puisque notre fonction de départ a un exposant compliqué, on peut utiliser la règle de la puissance dans un logarithme pour la simplifier. La règle de la puissance dit que le logarithme de base 𝑎 de 𝑏 puissance 𝑐 est 𝑐 fois le logarithme de base 𝑎 de 𝑏. Autrement dit, on met notre exposant devant le logarithme et on multiplie.
Dans notre problème, notre exposant est moins neuf 𝑒 puissance neuf 𝑥 plus sinus 𝑥. Et en appliquant la règle de la puissance, on met cet exposant devant et on multiplie par celui-ci. Nous avons donc le logarithme népérien de 𝑦 égale moins neuf 𝑒 puissance neuf 𝑥 plus sinus 𝑥 fois le logarithme népérien de deux. Donc, sur notre membre droit, on a la constante, le logarithme népérien de deux, fois moins neuf 𝑒 de neuf 𝑥 plus sinus 𝑥 qui est une fonction de 𝑥. Et on sait comment dériver cela.
Ce qui nous amène à la troisième étape de la dérivation logarithmique, c'est-à-dire dériver les deux membres par rapport à 𝑥. On peut prendre le logarithme népérien de deux à l'extérieur de notre membre droit, car c'est une constante. Et puisque la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, on a le logarithme népérien de deux fois d sur d𝑥 de moins neuf 𝑒 de neuf 𝑥 plus d sur d𝑥 sinus 𝑥. Et là encore, puisque moins neuf est une constante, on peut la prendre à l'extérieur. Ensuite, sur notre membre droit, la première chose que nous voulons dériver est 𝑒 puissance neuf 𝑥. Pour cela, on peut utiliser le résultat connu qui stipule que pour 𝑢, une fonction dérivable de 𝑥, d sur d𝑥 de 𝑒 puissance 𝑢 égale d𝑢 sur d𝑥 fois 𝑒 puissance 𝑢.
Dans notre cas, on a donc 𝑢 égale neuf 𝑥 et d𝑢 sur d𝑥 égale neuf. On a donc d sur d𝑥 de 𝑒 puissance neuf 𝑥 est neuf, soit d𝑢 sur d𝑥, fois 𝑒 puissance neuf 𝑥. Notre deuxième terme du membre droit est d sur d𝑥 sinus 𝑥. Et on sait que d sur d𝑥 sinus 𝑥 est cosinus 𝑥. Sur notre membre gauche, on a la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de 𝑦. Mais rappelez-vous que 𝑦 est une fonction de 𝑥. Et là encore, on peut utiliser le résultat connu pour la dériver, puisque la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de 𝑢 où 𝑢 est une fonction dérivable de 𝑥 est un sur 𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥 pour 𝑢 supérieure à zéro.
Dans notre membre gauche, on a donc un sur 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Et cela correspond pour le membre gauche à l'algorithme népérien de deux fois moins neuf fois neuf 𝑒 puissance neuf 𝑥 plus cosinus 𝑥. Moins neuf fois neuf est moins 81, et nous avons presque terminé mais pas tout à fait fini.
Notre dernière étape consiste à calculer d𝑦 sur d𝑥. Pour ce faire, il suffit de noter que nous avons un facteur de un sur 𝑦 dans le membre gauche. Et pour simplifier ça, on peut multiplier les deux membres par 𝑦. Dans notre membre gauche, on a un, et dans le membre droit, nous allons devoir réinjecter notre fonction originale 𝑦 de sorte que si 𝑦 égale deux puissance moins neuf 𝑒 puissance neuf 𝑥 plus sinus 𝑥, d𝑦 sur d𝑥 égale deux puissance moins neuf 𝑒 puissance neuf 𝑥 plus sinus 𝑥 fois moins 81𝑒 puissance neuf 𝑥 plus cosinus 𝑥 le tout fois le logarithme népérien de deux.
