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Déterminez l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à la racine carrée de 𝑥.
Pour répondre à cette question, commençons par rappeler la définition de l’ensemble de définition d’une fonction. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs d’entrée pour lesquelles la fonction est définie. Donc dans le cas de notre fonction, il s’agit de l’ensemble des valeurs de 𝑥 pour lesquelles la racine carrée de 𝑥 est définie. On pourrait reformuler la question ainsi: quelles sont les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la racine carrée de 𝑥 est définie?
La racine carrée de quatre est définie. Elle est égale à deux. On en déduit que quatre appartient à l’ensemble de définition de notre fonction. La racine carrée de deux est un nombre irrationnel, mais elle existe en tant que nombre réel. Par conséquent, deux appartient à l’ensemble de définition de notre fonction. La racine carrée de zéro est zéro. Donc la racine carrée de zéro est définie et zéro appartient à notre ensemble de définition. Nous ne sommes pas limités aux entiers. La racine carrée de deux tiers, par exemple, est définie, donc deux tiers appartient à notre ensemble de définition. La racine carrée d’un nombre irrationnel tel que 𝜋 est également définie.
Pour mieux comprendre pourquoi, on peut imaginer un carré qui n’est à l’origine qu’un simple point et ne cesse de grandir. Après un certain temps, l’aire du carré est égale à un. Et puisque la longueur du côté d’un carré est égale à la racine carrée de l’aire, la longueur du côté de ce carré est égale à racine de un. Mais pendant que l’aire du carré passait de zéro, lorsqu’il n’était qu’un point, à un, il y a forcément eu un instant où l’aire était égale à deux tiers.
Et à cet instant, la longueur du côté du carré était égale à la racine carrée de deux tiers. Par conséquent, il existe une longueur réelle qui correspond à la racine carrée de deux tiers.
Supposons que notre carré continue de grandir pour atteindre une aire égale à deux. La longueur du côté du carré est alors égale à la racine carrée de deux. Si notre carré grandit encore et atteint une aire de quatre, la longueur de son côté sera égale à la racine carrée de quatre, c’est-à-dire deux. Mais pendant que l’aire du carré passait de deux à quatre, il y a forcément eu un instant où elle était égale à 𝜋. Et à cet instant, la longueur du côté du carré était égale à la racine carrée de 𝜋.
On peut donc voir que la racine carrée de 𝑥 est définie pour toute valeur réelle positive de 𝑥 . On sait donc ce qu’il se passe quand 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Mais que se passe-t-il pour 𝑥 strictement inférieur à zéro? Si on essayait d’évaluer la racine carrée de moins un à l’aide d’une calculatrice, on obtiendrait sûrement un message d’erreur. La racine carrée de moins un n’est pas définie car il n’existe pas de nombre réel dont le carré est égal à moins un.
La racine carrée de moins un ne peut pas être un nombre positif, car multiplier un nombre positif par un nombre positif donne un nombre positif. Or, pour que la racine carrée de moins un soit définie, il faudrait que la racine carrée de moins un fois la racine carrée de moins soit égal à moins un, un nombre négatif. La racine carrée de moins un ne peut pas non plus être un nombre négatif, car multiplier un nombre négatif par un nombre négatif donne aussi un nombre positif.
Notons également que la racine carrée de moins un ne peut pas être égale à zéro, car zéro fois zéro égale zéro. Par conséquent, on a montré qu’aucun nombre réel n’a pour carré la valeur moins un. On ne peut pas déterminer la racine carrée de moins un. Et cela ne se vérifie pas que pour la valeur moins un. Cela se vérifie en fait pour tout nombre strictement négatif.
Si 𝑥 est strictement inférieur à zéro, alors la racine carrée de 𝑥 n’est pas définie. Par conséquent, l’ensemble de définition de notre fonction, l’ensemble des valeurs pour lesquelles la racine carrée de 𝑥 est définie, est l’ensemble des valeurs de 𝑥 telles que 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Sous forme d’intervalle, notre ensemble de définition s’écrit crochet, zéro, point-virgule, plus l’infini, parenthèse.
Le crochet du début indique que la borne inférieure, zéro, est incluse dans l’ensemble de définition et la parenthèse de fin indique que la borne supérieure, plus l’infini, est exclue de l’ensemble de définition.
