Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de son équation.
Rappelons que lorsque nous voulons représenter une fonction, nous utilisons généralement la notation suivante :
Soit une fonction , on appelle l’ensemble de définition de la fonction et l’ ensemble d’arrivée de la fonction.
Cela signifie qu’une fonction est une opération qui peut prendre tout élément appartenant à l’ensemble de définition et l’envoyer vers un élément appartenant à l’ensemble d’arrivée . Mathématiquement, on écrit , avec et . Ainsi, on peut considérer l’ensemble de définition comme l’ensemble de toutes les entrées possibles pour la fonction.
L’ensemble image d’une fonction, quant à lui, est l’ensemble de toutes les valeurs possibles qui peuvent être obtenues en appliquant à un élément . Une autre façon de penser à cela est que l’ensemble image représente toutes les sorties possibles de la fonction. C’est-à-dire que, si on calcule pour chaque valeur de l’ensemble de définition et que l’on rassemble ces nombres dans un ensemble, cet ensemble sera l’ensemble image de la fonction. En général, nous notons cet ensemble , c’est un sous-ensemble de l’ensemble d’arrivée.
Illustrons cela par la figure ci-dessous.
Ici, nous avons une fonction avec un : et un : . prend des éléments de et les associe à des éléments spécifiques de . Plus précisément, nous avons
Ainsi, l’ de la fonction est , car seuls 2 et 5 peuvent être obtenus en appliquant aux éléments de . Notez que dans ce cas, l’ensemble image est un sous-ensemble strict de l’ensemble d’arrivée, car il contient moins d’éléments.
De plus, remarquons que nous pouvons également représenter cette fonction comme l’ensemble de couples ordonnés :
En général, écrire une fonction comme un ensemble de couples ordonnés, revient à construire un ensemble contenant des éléments de la forme , pour chaque de l’ensemble de définition.
Après avoir vu un exemple basique d’ensemble de définition et d’ensemble image d’une fonction, définissons-les maintenant formellement.
Définition : Ensemble de définition et ensemble image d’une fonction
Soit une fonction , l’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs possibles telles que existe. On peut le définir mathématiquement ainsi
L’ensemble image est l’ensemble des valeurs que nous pouvons obtenir en appliquant aux éléments de . Mathématiquement, il est défini par
Il convient de souligner que dans la définition ci-dessus, nous précisons que l’ensemble de définition doit contenir uniquement des valeurs telles que est défini. Cela pose la question de savoir dans quelles situations n’est pas définie ? Un exemple simple est la fonction
Comme nous ne pouvons prendre que la racine carrée d’un nombre non négatif, cette fonction n’est définie pour aucune valeur négative. Par conséquent, l’ensemble de définition doit être les nombres non négatifs, .
Il est à noter que dans certains cas, comme dans l’exemple précédent, nous pouvons restreindre arbitrairement l’ensemble de définition d’une fonction à un petit ensemble de nombres, ou à un intervalle (dans ce cas, ce n’est pas le vrai ensemble de définition ; mais plutôt un sous-ensemble de l’ensemble de définition complet). Dans de nombreux cas, cependant, nous voulons que soit le plus grand ensemble possible de valeurs pour lesquelles existe. Pour présenter un exemple beaucoup plus classique d’ensemble de définition et d’ensemble image que nous pouvons rencontrer, supposons que nous ayons la fonction définie par
Ici, l’ensemble de définition est le plus grand ensemble de valeurs telle que est une opération définie pour chaque dans . Si nous prenions l’ensemble que nous avons considéré ci-dessus, , on verrait naturellement que est défini pour chaque élément de cet ensemble. Cependant, comme cette fonction fonctionne clairement pour tout nombre réel, il est plus logique de prendre , l’ensemble des nombres réels, de sorte que peut être appliquée à n’importe quel nombre.
Qu’en est-il de l’ensemble image ? L’ensemble image dépend toujours de l’ensemble de définition. Si l’ensemble de définition avait été , l’ensemble image aurait été
En revanche, si nous avions choisi , l’ensemble image aurait été également . En effet, chaque nombre réel peut être écrit sous la forme ; c’est-à-dire, qu’étant donné un nombre réel , il existe toujours un nombre réel , tel que .
On remarque que l’ensemble d’arrivée peut être n’importe quel ensemble suffisamment grand pour contenir l’ensemble image. Dans ce cas, nous pouvons voir que est suffisant, et dans presque tous les cas, ce sera la valeur par défaut que nous prendrons. Cependant, le choix d’un ensemble d’arrivée égal à l’ensemble image est souvent la meilleure option, car il élimine toute ambiguïté.
Pour notre premier exemple, revenons à l’écriture d’une fonction sous la forme d’un ensemble de couples ordonnés que nous avons abordé plus tôt et utilisons ce que nous avons appris sur l’ensemble de définition et l’ensemble image.
Exemple 1: Déterminer les couples ordonnés d’une fonction en fonction de son ensemble de définition et de son équation
Soit et deux ensembles de nombres définis par et . Soit la fonction , telle que . Déterminez les couples ordonnés qui représentent la fonction et l’ensemble image de la fonction.
Réponse
Pour déterminer l’ensemble des couples ordonnés qui représentent , on prend simplement chacun des éléments de l’ensemble de définition et on leur applique , l’un après l’autre, pour constituer des couples de la forme . L’ensemble de définition est l’ensemble
Prenons le premier élément 10. Lui appliquer , où nous donne
Par conséquent, le premier couple est . Nous répétons cela pour chaque élément de l’ensemble de définition. Cela nous donne les couples
Maintenant, l’ensemble image est l’ensemble des valeurs que nous obtenons en appliquant aux éléments de . Plus précisément, ces valeurs sont les seconds éléments de chacun des couples ci-dessus :
En regroupant tout cela, la fonction est et l’ensemble image .
Tout comme nous pouvons trouver l’ensemble image d’une fonction en fonction de son ensemble de définition et de son expression algébrique, nous pouvons également utiliser sa représentation graphique pour déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image. Cela peut être fait en examinant la courbe représentative de près et en déterminant les valeurs auxquelles les points de la courbe correspondent. C’est ce que nous allons faire ci-dessous.
Exemple 2: Déterminer l’ensemble image d’une fonction discrète à partir de sa représentation graphique
La figure ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction .
Quelle est l’ensemble image de la fonction ?
Réponse
On remarque que dans cet exemple, les abscisses, , correspondent à l’ensemble de définition, , et les ordonnées, , correspondent à l’ensemble image, . Chaque point de la figure représente une valeur transformée en . Par exemple, prenons le point le plus à gauche, illustré ci-dessous.
Ici, la valeur de est 1 et la valeur de est . Cela correspond à la relation suivante entre l’entrée et la sortie :
Pour obtenir l’ensemble image de cette fonction, nous prenons les valeurs de de chaque point sur le graphique et en formons un ensemble. Au total, les quatre points nous donnent quatre valeurs de :
Ainsi, l’ensemble image est l’ensemble de ces valeurs, en ne conservant qu’une seule fois chaque nombre :
Note
On peut aussi trouver l’ensemble de définition de la fonction de manière similaire. L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs de des points sur la figure. C’est-à-dire
Jusqu’à présent, nous avons principalement étudié des fonctions discrètes dans nos exemples (avec un nombre fini de valeurs dans l’ensemble de définition et dans l’ensemble image). Mais, généralement, nous cherchons à étudier des fonctions continues qui ont un nombre infini de valeurs dans l’ensemble de définition et dans l’ensemble image. Lorsque l’on étudie des fonctions continues, on doit souvent manipuler des intervalles de valeurs. Rappelons qu’un intervalle est l’ensemble des nombres réels entre deux valeurs. Par exemple, est l’intervalle de tous les nombres réels entre 5 et 7 avec 5 inclus. On peut aussi utiliser la notation pour signifier tous les nombres réels entre 4 et c’est-à-dire tous les nombres supérieurs à 4.
Dans l’exemple suivant, nous allons étudier l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction continue, où nous devrons déterminer, graphiquement, les intervalles qui leurs correspondent.
Exemple 3: Déterminer graphiquement l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction continue
Déterminez l’ensemble de définition de la fonction représentée sur la figure ci-dessous.
Réponse
Appelons la fonction représentée ci-dessus. En suivant la convention habituelle, on remarque, dans cette question, que l’axe des correspond à l’ensemble de définition de la fonction, , et l’axe des à l’ensemble image, . Chaque point de la courbe relie une abscisse à une ordonnée . Nous notons également que la flèche sur la courbe montre que quand tend vers , continue dans la même direction, c’est-à-dire reste constante. À l’autre extrémité, la courbe se termine par un point plus épais, ce qui signifie que le point d’abscisse fait partie de la courbe.
Nous pouvons déterminer l’ensemble de définition de cette fonction en observant quelles valeurs de l’axe des correspondent à des points de la courbe, comme indiqué ci-dessous.
Comme nous pouvons le voir, l’ensemble de définition correspond exactement aux valeurs de qui sont sous la courbe. La courbe commence à , et continue indéfiniment suivant . Ainsi, l’ensemble de définition est l’intervalle
Note
Bien que cela ne soit pas demandé, tout comme nous avons trouvé l’ensemble de définition, nous pouvons déterminer l’ensemble image de la fonction en projetant la courbe sur l’axe des . On voit alors que la courbe commence à , puis augmente jusqu’à , où elle reste constante. Ainsi, l’ensemble image de est l’intervalle
On a vu des exemples où l’on doit calculer l’ensemble image d’une fonction connaissant son ensemble de définition, mais qu’en est-il du cas contraire ? Si l’on nous donne l’expression de la fonction, et son ensemble image, peut-on calculer son ensemble de définition ?
La réponse est, oui, nous pouvons, en raisonnant en sens inverse pour déterminer quelles sont les valeurs qui ont un sens. Supposons que nous ayons une fonction, dont on sait que l’ensemble image est . On sait que cet intervalle correspond aux valeurs possibles que l’on peut obtenir en appliquant à tous les de l’ensemble de définition. La manière la plus simple de voir cela est d’observer la représentation graphique de la fonction.
On peut voir que sur l’axe des , l’ a été tracé. En prolongeant cette région jusqu’à la droite et en projetant la partie de la courbe obtenue sur l’axe des , on trouve que l’ de la fonction est (nous notons que ce n’est pas l’ensemble de définition complet de cette fonction qui est ).
Notez qu’il n’est pas nécessaire de tracer la courbe pour le trouver ; on pourrait utiliser le fait que est une fonction croissante et que les extrémités et correspondent à et , l’ensemble de définition doit donc être compris entre 2 et 6. Cependant, il est toujours utile de voir ce qu’il se passe.
Dans notre prochain exemple, nous allons appliquer cela et considérer un problème où nous devons trouver l’ensemble de définition d’une fonction (éventuellement une restriction de son ensemble complet), connaissant son ensemble image.
Exemple 4: Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction connaissant son expression et son ensemble image
Déterminez l’ensemble de définition de la fonction , sachant que son ensemble image est .
Réponse
La meilleure façon d’aborder ce genre de question est de commencer par déterminer quelles sont les valeurs possibles qui peuvent entrer dans la fonction et tracer la représentation graphique de la fonction.
En prenant la racine carrée d’un nombre, il est nécessaire que ce nombre ne soit pas négatif pour que le résultat soit un nombre réel. Ainsi, nous devons avoir
Esquissons maintenant la courbe représentative de cette fonction. Cela n’a pas besoin d’être exact, mais pour avoir une idée de ce à quoi ressemble la courbe, nous pouvons tracer quelques points préliminaires et voir comment ils se rejoignent. Par exemple, nous avons
| 0 | 1 | 2 | 3 | |||
| 0 | 1 | 2 |
et ainsi de suite. En remarquant que la courbe continue d’augmenter, avec une pente qui diminue, nous obtenons la courbe suivante.
Maintenant, rappelons-nous que l’ est . L’ensemble image correspond à l’axe des sur la figure, donc nous commençons par marquer , et tout ce qui se trouve au-dessus, sur l’axe des . On note que l’intervalle est fermé à gauche ; par conséquent, 2 est inclus.
On prolonge cette zone au-dessus de 2 sur l’axe des jusqu’à la courbe et on projette la partie de la courbe obtenue sur l’axe des . Cette région correspond à l’. Une fois tout cela réalisé, nous obtenons ce qui suit.
Les segments en pointillés, qui représentent les limites inférieures de l’ensemble de définition et de l’ensemble image, coupent l’axe des en 2 et l’axe des en 2. Le point d’intersection des pointillés correspond à , que nous avons calculé dans le tableau ci-dessus. Comme est inclus dans l’ensemble image, 2 doit également être inclus dans l’ensemble de définition. De l’autre côté, l’ensemble de définition et l’ensemble image n’ont clairement pas de limite supérieure.
On peut donc dire que l’ensemble de définition est .
Maintenant, nous avons vu qu’il est possible de trouver l’ensemble de définition d’une fonction connaissant son expression et son ensemble image ; mais que se passe-t-il si nous n’avons que son expression algébrique ? Jusqu’à présent, nous avons étudié des questions où l’ensemble de définition et l’ensemble image pouvaient être des restrictions des ensembles de définitions et des ensembles image complets de la fonction. Cependant, de manière générale, l’ensemble de définition désigne l’ensemble des valeurs le plus large possible pour lesquelles la fonction est définie, et l’ensemble image est celui qui lui correspond.
Voyons cela dans un exemple.
Exemple 5: Déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction connaissant son expression algébrique
Déterminez l’ensemble de définition et l’ensemble image de la fonction .
Réponse
Ici, on nous demande de trouver l’ensemble le plus large possible des valeurs d’entrée de la fonction et l’ensemble résultant des sorties.
Tout d’abord, nous devons nous demander si il existe des valeurs de pour lesquelles n’est pas définie ? C’est-à-dire, étant donné un certain , pouvons-nous toujours suivre toutes les étapes ci-dessous ?
Les deux opérations ci-dessus peuvent être effectuées pour tout . Par conséquent, l’ensemble de définition est l’ensemble le plus large possible, soit .
Pour déterminer l’ensemble image, nous devons déterminer l’ensemble possible des valeurs de sortie après application de à tout . La meilleure façon de procéder est probablement de tracer la courbe représentative de la fonction pour voir comment se comporte pour quelques valeurs de . Comme l’allure de la courbe peut ne pas être évidente, nous commençons par calculer quelques points :
| 0 | 1 | 2 | |||
| 5 | 2 | 1 | 2 | 5 |
Si nous joignons ces points et prolongeons la courbe vers le haut, nous obtenons la figure suivante.
On note que semble être le point le plus bas de la courbe, donnant , et que, de chaque côté, la courbe continue vers le haut. Nous pouvons confirmer que tel est le cas en remarquant que pour tout . Ainsi,
Donc, est un minimum. Pour trouver l’ensemble image, nous devons trouver toutes les valeurs possibles que peut prendre. Puisque est la plus petite valeur et que lorsque augmente (ou diminue), augmente, on peut conclure que l’intervalle est l’intervalle de 1 à l’infini. C’est-à-dire
En conclusion, l’ensemble de définition de est et l’ensemble image est .
Récapitulons les points clés que nous avons appris au cours de cette fiche explicative.
Points Clés
- Pour une fonction , l’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs possibles telles que est définie :
- L’ensemble image est l’ensemble des valeurs que nous pouvons obtenir en appliquant à des éléments de :
- On peut trouver l’ensemble de définition en déterminant quelles sont les valeurs de pour lesquelles est définie.
- On peut trouver l’ensemble image en calculant les valeurs possibles que peut prendre, étant donné son ensemble de définition.
- Les représentations graphiques peuvent être très utiles pour nous aider à déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image. L’axe des correspond généralement à l’ensemble de définition et l’axe des à l’ensemble image.
