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Vidéo de la leçon : Ensemble de définition et ensemble image d’une fonction Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de fonctions à partir de leurs équations.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer l’ensemble de définition et l’ensemble image de fonctions à partir de leurs équations.

Commençons par rappeler qu’une fonction 𝑓 associe aux éléments d’un ensemble, par exemple 𝑋, des valeurs d’un second ensemble, 𝑌. On peut se représenter 𝑋 comme une source de valeurs d’entrée pour la fonction et 𝑌 comme une cible pour ses valeurs de sortie. Pour toute valeur 𝑥 de l’ensemble 𝑋, il existe une valeur 𝑓 de 𝑥 correspondante dans l’ensemble 𝑌. Cela nous amène aux définitions d’un ensemble de définition et d’un ensemble image. L’ensemble de définition de 𝑓 est l’ensemble de toutes les valeurs 𝑥 de l’ensemble 𝑋 telles que 𝑓 de 𝑥 est définie. L’ensemble image de 𝑓 est l’ensemble des valeurs prises par 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 varie sur l’ensemble de définition.

Dans notre premier exemple, nous déterminerons les couples de valeurs d’une fonction à partir de son ensemble de définition, son ensemble d’arrivée et son équation.

𝑋 et 𝑌 sont deux ensembles de nombres; l’ensemble 𝑋 contient les valeurs 10, un, deux et huit et l’ensemble 𝑌 contient les valeurs 12, sept, 60, six, 48 et quatre. La fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥, où 𝑓 associe à tout élément de 𝑋 un élément de 𝑌. Trouvez les couples qui vérifient la fonction et déterminez son ensemble image.

Pour répondre à cette question, on peut choisir de représenter la fonction 𝑓 à l’aide d’un diagramme sagittal. L’ensemble 𝑋 contient quatre éléments. Il s’agit des nombres 10, un, deux et huit. L’ensemble 𝑌 contient six éléments : les valeurs 12, sept, 60, six, 48 et quatre. On sait que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥. On rappelle que l’ensemble de définition de 𝑓 est l’ensemble des valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 est définie. Et l’ensemble image de 𝑓 est l’ensemble des valeurs correspondantes prises par la fonction.

La première valeur de l’ensemble 𝑋 est 10. Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥, 𝑓 de 10 est égale à six fois 10. Cela fait 60, donc l’image de la valeur 10 est 60. Le premier couple qui vérifie la fonction est 10, 60. 𝑓 de un est égale à six fois un, ce qui est égal à six. On obtient donc notre deuxième couple, un, six. Puis, pour la troisième valeur de l’ensemble 𝑋, on a 𝑓 de deux est égale à 12, donc deux, 12 est notre troisième couple. Enfin, on a 𝑓 de huit égale 48. Cela nous donne un quatrième couple, huit, 48. Les quatre couples qui vérifient la fonction sont 10, 60; un, six; deux, 12 et huit, 48.

On nous demande également de déterminer l’ensemble image de la fonction. Comme déjà mentionné, il s’agit de l’ensemble des valeurs prises par 𝑓 de 𝑥. Par conséquent, l’ensemble image de la fonction est l’ensemble des quatre valeurs 60, six, 12 et 48. Nous avons maintenant répondu aux deux parties de la question.

Dans la prochaine question, nous déterminerons l’ensemble image d’une fonction représentée dans un repère cartésien.

La figure ci-dessous montre le graphe de la fonction 𝑓. Quel est l’ensemble image de cette fonction?

On peut voir sur la figure que la fonction 𝑓 comporte quatre couples. Ces couples sont un, moins deux; deux, moins trois; trois, zéro et quatre, moins trois. On nous demande de déterminer l’ensemble image de cette fonction.

On commence par rappeler que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 est définie. Voici les valeurs de 𝑥 dans nos couples. Ce sont les nombres un, deux, trois et quatre. L’ensemble image d’une fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑦 prises par la fonction. Voici les valeurs de 𝑦 dans nos couples. Il s’agit des valeurs moins deux, moins trois, zéro et moins trois à nouveau.

Bien que la valeur moins trois apparaisse deux fois, on ne doit l’écrire qu’une seule fois dans l’ensemble image. L’ensemble image de la fonction représentée ici est l’ensemble constitué des valeurs moins deux, moins trois et zéro. Dans l’ordre croissant, cela nous donne moins trois, moins deux, zéro.

On pourrait aussi trouver ces valeurs directement sur la figure en traçant trois droites horizontales passant chacune par un point du graphe. On voit alors que ces trois droites coupent l’axe des 𝑦 en moins trois, moins deux et zéro.

Dans les deux prochains exemples, nous déterminerons l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de son graphe.

Déterminez l’ensemble de définition de la fonction dont le graphe est montré ci-dessous.

On commence par rappeler que l’ensemble de définition d’une fonction 𝑓 est l’ensemble des valeurs de 𝑥 telles que 𝑓 de 𝑥 est définie. Le point à l’extrémité gauche de notre courbe se trouve au point de coordonnées quatre, un. On en déduit que lorsque 𝑥 est égal à quatre, 𝑦 est égal à un. En utilisant la notation des fonctions, cela nous donne 𝑓 de quatre est égale à un.

La flèche à l’autre extrémité de la courbe nous indique que la fonction est définie pour tous les nombres réels à droite de ce point. On peut en conclure que la fonction est définie pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures ou égales à quatre. Si le point quatre, un n’avait pas été représenté par un disque plein, alors 𝑓 de 𝑥 aurait été définie pour 𝑥 strictement supérieur à quatre. L’inégalité 𝑥 est supérieur ou égal à quatre est l’ensemble de définition de la fonction. On peut également l’écrire sous forme d’intervalle. L’ensemble de définition de notre fonction est l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de quatre à ∞.

Il serait aussi possible de déterminer l’ensemble image à partir du graphe, mais nous verrons cela dans le prochain exemple.

Déterminez l’ensemble image de la fonction dont le graphe est montré ci-dessous.

On commence par rappeler que l’ensemble image d’une fonction 𝑓 est l’ensemble des valeurs de 𝑦 prises par la fonction. On doit déterminer toutes les valeurs de 𝑦 qui se trouvent sur la courbe. Le graphe a la forme d’une parabole. Il semblerait que notre fonction soit une fonction du second degré. Elle admet un maximum au point de coordonnées moins sept, un. Cela signifie que 𝑓 de moins sept est égale à un et donc que la valeur maximale de la fonction est un. Il n’existe aucune valeur de 𝑥 telle que 𝑓 de 𝑥 soit strictement supérieure à un.

En examinant le graphe, on voit que la fonction semble prendre toutes les valeurs inférieures ou égales à un. On peut en conclure que l’ensemble image de la fonction est l’ensemble des réels inférieurs ou égaux à un. On peut aussi exprimer cet ensemble image comme l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite de moins ∞ à un.

Dans les deux derniers exemples, nous déterminerons l’ensemble de définition et l’ensemble image d’une fonction à partir de son équation.

Déterminez l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥, qui est égale à racine carrée de valeur absolue de 𝑥 moins 33.

On commence par rappeler que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs telles que 𝑓 de 𝑥 est définie. On sait que la fonction racine carrée ne peut être appliquée qu’aux nombres positifs. Cela signifie que la valeur absolue de 𝑥 moins 33 doit être supérieure ou égale à zéro. En additionnant 33 aux deux côtés de notre inégalité, on trouve que la valeur absolue de 𝑥 est supérieure ou égale à 33. On trace le graphe de la fonction 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥, puis la droite horizontale 𝑦 égale 33, on observe que la valeur absolue de 𝑥 est supérieure ou égale à 33 lorsque 𝑥 est inférieur ou égal à moins 33 ou que 𝑥 est supérieur ou égal à 33. On peut réécrire ces inégalités comme une union de deux intervalles : l’intervalle ouvert à gauche et fermé à droite de moins ∞ à moins 33 et l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de 33 à ∞.

C’est une réponse tout à fait valide pour un ensemble de définition, même si ce n’est pas un intervalle. On peut aussi l’écrire sous la forme du complémentaire d’un intervalle. L’ensemble de définition de la fonction est l’ensemble des réels privé de l’ensemble des réels sur l’intervalle ouvert de moins 33 à 33.

On pourrait, ici aussi, déterminer l’ensemble image de la fonction. Mais nous verrons cela dans le prochain et dernier exemple.

Sachant que 𝑓 associe à tout élément de l’intervalle fermé de deux à 21 un élément de l’ensemble des réels, que 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 moins 10, trouvez l’ensemble image de 𝑓.

Dans cette question, on nous donne la fonction affine 𝑓 de 𝑥 égale trois 𝑥 moins 10. On sait que le graphe de 𝑦 égale trois 𝑥 moins 10 est une droite, comme montré ici. On sait que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs telles que la fonction est définie. Dans cette question, on nous dit qu’il s’agit de l’intervalle fermé de deux à 21. Notre fonction est définie pour toutes les valeurs comprises entre les deux points mis en évidence sur le graphe.

On peut calculer les valeurs de 𝑓 de 𝑥 correspondantes en remplaçant 𝑥 par deux et par 21 dans la fonction. Quand 𝑥 est égal à deux, 𝑓 de 𝑥 est égale à trois fois deux moins 10. Ce qui fait moins quatre. De la même manière, quand 𝑥 est égal à 21, 𝑓 de 𝑥 est égale à trois fois 21 moins 10. Ce qui fait 53. Comme l’ensemble image d’une fonction 𝑓 est l’ensemble des valeurs prises par 𝑓 de 𝑥, on peut en conclure que 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à moins quatre et inférieure ou égale à 53. Sous forme d’intervalle, l’ensemble image de la fonction 𝑓 sur l’ensemble de définition donné est l’intervalle fermé de moins quatre à 53.

Récapitulons à présent les points clés de cette vidéo. Dans cette vidéo, nous avons introduit les définitions d’ensemble de définition et d’ensemble image d’une fonction. L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des valeurs de 𝑥 telles que la fonction est définie. L’ensemble image est l’ensemble des valeurs 𝑓 de 𝑥 correspondantes prises par la fonction. Dans plusieurs exemples, nous avons déterminé l’ensemble de définition et l’ensemble image de fonctions à partir de leur diagramme sagittal, de leur graphe ou de leur équation.

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