Video Transcript
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à étudier l’équilibre d’un corps rigide sous l’action de deux ou plusieurs couples coplanaires. Nous allons commencer par rappeler la définition d’un couple coplanaire et de l’équilibre. Nous rappellerons également comment décomposer des forces horizontalement et verticalement et comment calculer un moment par rapport à un point.
Un système qui demeure immobile sous l’action de deux ou plusieurs forces est dit en équilibre. Lorsqu’un système est en équilibre, la force résultante agissant sur lui est nulle et il n’a donc pas d’accélération. Ceci signifie que lorsque l’on décompose les forces horizontalement, la somme des forces dans la direction des est nulle. Et on suppose généralement pour cela que le sens positif est vers la droite. De la même manière, lorsque l’on décompose les forces verticalement, la somme des forces dans la direction des est aussi égale à zéro. Cette fois, on suppose généralement que le sens positif est vers le haut.
On sait de plus que lorsqu’un système est en équilibre et que l’on calcule les moments par rapport à un point, la somme des moments sera elle aussi égale à zéro. Dans cette situation, on considère normalement que les moments dans le sens anti-horaire sont positifs. On sait que le moment d’une force est égal à l’intensité de la force multipliée par la distance perpendiculaire entre sa droite d’action et l’axe de rotation. Ceci donne l’équation que le moment d’une force égale force fois la distance perpendiculaire, où la force est mesurée en newtons et la distance en mètres ou en centimètres. Ceci signifie que les unités des moments sont des newtons mètres ou des newtons centimètres.
Dans cette vidéo, nous allons étudier des systèmes sous l’action de couples coplanaires. Lorsque toutes les forces agissent dans un même plan, on dit qu’elles sont coplanaires. Un couple est un ensemble de deux forces de même intensité, de même direction et de sens opposé n’ayant pas la même droite d’action. Par exemple, les forces verticales agissant en 𝐴 et 𝐵 sont toutes les deux d’intensité 𝐹 newtons. La force agissant en 𝐴 agit verticalement vers le haut, alors que la force en 𝐵 agit verticalement vers le bas. Ceci signifie qu’elles forment un couple coplanaire.
Les forces d’un couple coplanaire ne doivent pas nécessairement agir verticalement ou horizontalement. Par exemple, les deux forces s’affichant à l’écran ont une intensité de 𝑇 newtons. Elles sont parallèles donc de même direction mais agissent dans des sens opposés. On peut le voir car elles forment un angle de 𝜃 avec l’horizontale. Les forces n’ont pas la même droite d’action ; elles forment donc un couple coplanaire. Pour traiter des forces comme celles-ci, il faut généralement trouver leurs composantes verticales et horizontales. Si la force 𝐹 agit selon un angle de 𝜃 degrés par rapport à l’horizontale, nous pouvons utiliser nos connaissances en trigonométrie pour calculer ses composantes horizontale et verticale.
Sa composante horizontale sera égale 𝐹 cosinus 𝜃 et sa composante verticale égale a 𝐹 sinus 𝜃. Les formules trigonométriques nous indiquent en effet que le sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse et que le cosinus de 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Nous allons maintenant étudier quelques problèmes où nous devons calculer des forces, des angles ou des distances inconnus.
𝐴𝐵 est une barre de longueur 90 centimètres et de poids négligeable. Elle est posée horizontalement sur une pointe en son milieu. Deux forces d’intensité 7,5 newtons s’appliquent sur ses extrémités, comme illustré sur la figure. Elle est également tirée par une corde dont la tension est de 25 newtons dans une direction formant un angle de 30 degrés avec la barre au point C. Si une force 𝐹 agit sur la barre au point 𝐷 telle que la barre est dans une position d’équilibre horizontal, déterminez l’intensité de 𝐹, sa direction 𝜃 et la longueur de 𝐶𝐷.
Comme la barre est en équilibre, nous savons que la somme des forces dans la direction des , ou horizontale, est égale à zéro. De même, la somme des forces dans la direction des , ou verticale, est égale à zéro. De plus, la somme des moments par rapport à n’importe quel point du système sera aussi égale à zéro. On suppose que les sens positifs sont vers la droite, vers le haut et dans le sens anti-horaire. Il est indiqué que la barre a une longueur de 90 centimètres. Si on considère que le point 𝑂 est le centre ou le milieu de la barre, on sait que 𝐴𝑂 est égal à 𝑂𝐵, qui est égal à 45 centimètres car il s’agit de la moitié de 90.
Faisons maintenant un peu de place pour calculer les trois inconnues demandées. La force 25 newtons et la force 𝐹 newtons n’agissent pas horizontalement ou verticalement. Ceci signifie que nous devons déterminer leurs composantes horizontale et verticale avant de faire un bilan des forces dans ces directions. On peut les trouver grâce à nos connaissances en trigonométrie, où le sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse et le cosinus de 𝜃 est égal à au côté adjacent sur l’hypoténuse.
Si on considère la force au point 𝐶, on définit la composante horizontale de la force par 𝑥 et sa composante verticale par 𝑦. Ceci signifie que sinus de 30 degrés est égal à 𝑦 sur 25 et que cosinus de 30 degrés est égal à 𝑥 sur 25. On peut multiplier les deux membres de ces équations par 25. Et on obtient 𝑦 égale 25 fois sinus de 30 degrés, et 𝑥 égale 25 fois cosinus de 30 degrés. Sinus de 30 degrés égale un sur deux et cosinus de 30 degrés égale racine carrée de trois sur deux. Ceci signifie que sa composante verticale est de 25 sur deux, soit 12,5 newtons, et que sa composante horizontale est de 25 racine carrée de trois sur deux newtons.
On peut suivre le même raisonnement pour la force newtons s’appliquant au point 𝐷. Sa composante horizontale agissant vers la gauche est cette fois d’intensité 𝐹 cosinus 𝜃 et sa composante verticale agissant vers le bas est d’intensité 𝐹 sinus 𝜃. Nous pouvons à présent décomposer les forces dans les directions horizontale et verticale. Les forces agissant horizontalement sont celles de 25 racine carrée de trois sur deux et de 𝐹 cosinus 𝜃. Comme la somme des forces est égale à zéro et que la force de 𝐹 cosinus 𝜃 agit vers la gauche, on a 25 racine carrée de trois sur deux moins 𝐹 cosinus 𝜃 égale zéro. 25 sur deux égale 12,5, donc ceci se simplifie par 12,5 racine carrée de trois moins 𝐹 cosinus 𝜃 égale zéro. On peut alors ajouter 𝐹 cosinus 𝜃 aux deux membres, ce qui nous donne 𝐹 cosinus 𝜃 égale 12,5 racine carrée de trois. Appelons cette équation un.
Il y a quatre forces agissant verticalement. De gauche à droite, elles ont les composantes moins 7,5, plus 12,5, moins 𝐹 sinus 𝜃 et plus 7,5. Nous savons que leur somme doit aussi être égale à zéro. Les deux forces de 7,5 newton sont un exemple de couple coplanaire. Elles ont la même intensité mais agissent dans des sens opposés. Ceci signifie que lors de la décomposition verticale, ces forces s’annulent car moins 7,5 plus 7,5 égale zéro. Ajouter 𝐹 sinus 𝜃 aux deux membres de l’équation nous donne 12,5 égale 𝐹 sinus 𝜃. Appelons cette équation deux.
Nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues, 𝐹 et 𝜃. En divisant l’équation deux par l’équation un, on obtient 12,5 sur 12,5 racine carrée de trois égale 𝐹 sinus 𝜃 sur 𝐹 cosinus 𝜃. On peut diviser le numérateur et le dénominateur du membre gauche par 12,5, ce qui nous donne un sur racine carrée de trois. Et on peut diviser le numérateur et le dénominateur du membre droit par 𝐹. Ce qui laisse sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃, qui est égal à tangente 𝜃. On peut alors prendre la réciproque de la tangente de cette équation tel que 𝜃 égale tangente moins un sur racine carrée de trois. Ceci nous donne une mesure de 𝜃 égale à 30 degrés. Nous avons ainsi calculé la direction de la force 𝐹.
Nous devons ensuite remplacer 𝜃 par 30 degrés dans l’équation un ou deux. Si on remplace dans l’équation deux, on obtient 12,5 égale 𝐹 sin 30. Sinus de 30 degrés égale un sur deux. Donc, 12,5 égale 𝐹 fois un sur deux. On peut ensuite diviser les deux membres de cette équation par un sur deux, ou les multiplier par deux, pour obtenir une valeur de 𝐹 égale à 25 newtons. L’intensité de la force 𝐹 est donc de 25 newtons.
Nous allons maintenant faire un peu de place et utiliser les moments pour calculer la longueur de 𝐶𝐷. Avant de faire ceci, on remarque cependant que la force 𝐹 et la force de 25 newtons forment un couple coplanaire. Elles sont en effet de même intensité mais agissent dans des sens opposés. Ces deux forces agissent parallèlement l’une à l’autre. Ceci signifie que le système de forces de cette question est constitué de deux couples coplanaires. Nous allons maintenant calculer les moments par rapport au milieu 𝑂. Mais avant de faire ceci, mettons un peu d’ordre dans notre schéma afin de représenter les forces et les distances utiles pour calculer les moments.
Comme nous avons deux couples coplanaires et comme la barre est en équilibre, la distance 𝐶𝑂 doit être égale à la distance 𝑂𝐷. Appelons cette distance 𝑥 centimètres. On sait que le moment d’une force est égal à son intensité multipliée par la distance perpendiculaire. La force en 𝐴 agit dans le sens anti-horaire. Par conséquent, son moment est donc égal à 7,5 fois 45. La force en 𝐶 agit dans le sens anti-horaire ; donc, ceci est égal à moins 12,5𝑥. La force verticale agissant en 𝐷 a la même intensité. Et elle agit dans le sens anti-horaire donc son moment est égal à moins 12,5𝑥. Enfin, le moment de la force en B agit dans le sens anti-horaire et est à nouveau égal à 7,5 fois 45. On sait que la somme de ces quatre valeurs est égale à zéro.
Ceci se simplifie par 337,5 moins 12,5 moins 12,5𝑥 plus 337,5 égale zéro. En regroupant les termes semblables, on a 675 moins 25𝑥 égale zéro. En ajoutant 25𝑥 aux deux membres, on obtient 25𝑥 égale 675. Diviser enfin les deux membres par 25 nous donne 𝑥 égale 27. Ceci signifie que les longueurs 𝐶𝑂 et 𝑂𝐷 sont de 27 centimètres. 27 plus 27 égale 54. Par conséquent, la longueur de 𝐶𝐷 est de 54 centimètres. Nous avons maintenant répondu aux trois questions. L’intensité de 𝐹 est 25 newtons, sa direction 𝜃 est 30 degrés, et 𝐶𝐷 mesure 54 centimètres.
Dans le prochain exemple, nous devons déterminer l’intensité d’une force qui maintient une barre en équilibre.
𝐴𝐵 est une barre de longueur 50 centimètres et de poids négligeable. Deux couples de forces coplanaires agissent sur la barre comme illustré sur la figure ci-dessous. Le premier couple est constitué de deux forces agissant perpendiculairement à la barre, chacune d’intensité deux kilogramme poids. Et le second couple est constitué de deux forces, chacune d’intensité 𝐹. Déterminez la valeur de 𝐹 telle que la barre est en équilibre.
On rappelle qu’un couple coplanaire est constitué de deux forces de même intensité et de sens opposé. Et nous avons deux couples coplanaires dans ce problème. Pour calculer 𝐹, nous devons calculer les moments par rapport à un point de la barre. On sait que lorsque la barre est en équilibre, la somme des moments est égale à zéro. On sait de plus que le moment d’une force est égal à l’intensité de la force multipliée par la distance perpendiculaire. Ceci signifie que nous devons d’abord calculer les composantes verticales des forces 𝐹.
En utilisant nos connaissances en trigonométrie pour les angles droits, nous savons que le sinus de l’angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Dans ce cas, sinus de 45 degrés est donc égal à 𝑦 sur 𝐹. Les composantes verticales sont donc 𝐹 fois sinus de 45 degrés. Et sinus de 45 degrés égale racine carrée de deux sur deux. Nous allons maintenant calculer les moments par rapport au point 𝐵, en prenant le sens anti-horaire comme positif.
La première force d’intensité deux newtons donne un moment égal à deux fois 10 car elle s’applique à 10 centimètres de 𝐵. Ensuite, on a racine carrée de deux sur deux 𝐹 fois 30. Et la dernière force agit dans le sens anti-horaire, ce qui nous donne moins deux fois 50. Et la somme de ces moments est égale à zéro. L’équation se simplifie par 20 plus 15 racine carrée de deux 𝐹 moins 100 égale zéro. 20 moins 100 égale moins 80, et on peut l’ajouter aux deux membres. Diviser les deux membres par 15 racine carrée de deux nous donne alors 𝐹 égale 16 sur trois racine carrée de deux. On peut ensuite rendre rationnel le dénominateur, ce qui donne une intensité 𝐹 de huit racine carrée de deux sur trois kilogramme poids.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons découvert dans cette vidéo qu’un système immobile est dit en équilibre. Comme la force résultante agissant sur lui est nulle, la somme des composantes des forces dans la direction horizontale, ou des 𝑥, est égale à zéro. De même, la somme des composantes des forces dans la direction verticale est égale à zéro, et la somme des moments par rapport à tout point est égale à zéro. On peut utiliser la trigonométrie des angles droits pour calculer les composantes horizontale et verticale d’une force. Enfin, nous avons vu qu’un couple coplanaire est constitué de deux forces de même intensité agissant dans des sens opposés.
