Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier l’équilibre d’un corps rigide sous l’action de deux couples coplanaires ou plus.
Un couple est une paire de forces parallèles d’intensités égales et de sens opposés mais leurs lignes d’action ne sont pas confondues.
Définition : Moment d’un couple
Le moment d’un couple agissant en et est donné par où .
Le moment dû à un couple est indépendant du point par rapport auquel il est calculé.
Le moment est un vecteur orthogonal au plan défini par et le couple. Dans un repère dans l’espace construit avec et le couple comme plan , est colinéaire à l’axe des . Selon la règle de la main droite pour le produit vectoriel, il pointe vers le haut (composante en positive) lorsque le couple produit une rotation dans le sens anti-horaire et il pointe vers le bas (composante en négative) lorsque le couple produit une rotation dans le sens horaire.
Cette fiche explicative traite de couples coplanaires. Les moments de couples coplanaires sont colinéaires (ils sont tous orthogonaux au plan dans lequel se situent les couples). Par conséquent, ils peuvent être traités comme des quantités scalaires qui correspondent à leurs composantes le long de l’axe perpendiculaire au plan défini par les couples.
Ce moment scalaire d’un couple agissant en et , noté , est alors donné par où est une des deux forces du couple, est la longueur du segment et est l’angle entre la droite et . Le signe de est positif pour une rotation dans le sens anti-horaire et négatif pour une rotation dans le sens horaire.
Comme est la distance dite perpendiculaire entre les lignes d’action des deux forces constituant le couple, on a où est l’intensité de .
On voit que la particularité d’un couple est que sa résultante est nulle, mais qu’il a un effet de rotation sur le corps sur lequel il agit. Par conséquent, le corps n’est pas en équilibre s’il est soumis à un seul couple.
Inversement, cela signifie qu’il y a deux conditions pour qu’un corps soit en équilibre.
Définition : Conditions d’équilibre
Pour qu’un corps soit en équilibre,
- la force résultante doit être nulle ;
- le moment résultant des forces agissant sur le corps par rapport à tous les points doit être nul.
Si un corps est soumis à deux ou plusieurs couples coplanaires, alors la force résultante agissant sur lui est nulle et, par conséquent, il est à l’équilibre si la somme des moments des couples est nulle.
Étudions un exemple dans lequel on considère le moment résultant de deux couples.
Exemple 1: Comprendre la relation entre deux couples et l’équilibre d’un corps
Les moments et de deux couples vérifient l’équation . Laquelle des affirmations suivantes est donc vraie ?
- Les deux couples sont en équilibre.
- Les deux couples ne sont pas en équilibre.
- Les deux couples sont équivalents à une force.
- Les deux couples sont équivalents.
Réponse
Un couple est constitué de forces parallèles d’intensité égale agissant dans des sens opposés. La somme de ces forces doit être nulle ; par conséquent, un couple ne peut pas produire une force nette. On peut donc immédiatement éliminer la possibilité que les deux couples soient équivalents à une force, à moins que l’on ne parle d’une force d’intensité nulle.
Si les couples sont équivalents, on doit avoir
Cela peut être exprimé par
La question indique que ce qui contredit la condition d’équivalence des couples.
Si les couples sont en équilibre, le moment dans le sens anti-horaire dû aux couples est égal au moment dans le sens horaire dû aux couples, ce qui peut être exprimé par
Cela peut aussi être exprimé par ce qui correspond à l‘énoncé de la question ; par conséquent, on conclut que les couples sont en équilibre.
Étudions maintenant un exemple dans lequel nous analysons un système de deux couples.
Exemple 2: Calculer une force et un angle inconnus pour lesquels un corps est en équilibre sous l’action de plusieurs couples
La barre est de longueur 90 cm et a un poids négligeable. Elle est suspendue horizontalement par un clou en son milieu. Deux forces, chacune d’intensité 7,5 N, agissent à ses extrémités, comme indiqué sur la figure. Elle est également tirée par une corde dont la tension est 25 N, dans une direction faisant un angle de avec la barre au point . Si une force agit sur la barre au point telle que la barre est en position d’équilibre horizontal, déterminez l’intensité de , sa direction , et la longueur de .
Réponse
La barre est en équilibre, ce qui signifie que la force résultante doit être nulle et que la somme des moments de toutes les forces doit être nulle.
Commençons par la force résultante. Les deux forces agissant en et sont un couple et leur somme est nulle. Le poids de la barre est négligeable, tout comme la réaction du clou. Il reste la force de 25 N et la force d’intensité . Pour que la somme de deux forces soit nulle, elles doivent former un couple, c’est-à-dire être parallèles, d’intensités égales et de sens opposés. Par conséquent, on a
On calcule maintenant le moment du couple agissant en et , noté . Il est positif car il produit une rotation dans le sens anti-horaire, où est l’intensité de l’une ou l’autre des forces du couple agissant en et :
La barre est suspendue par un clou, qui serait le pivot si la barre devait tourner. Il est à noter que comme le clou est au milieu de la barre, même si le poids n’était pas négligeable, il n’aurait aucun moment par rapport au pivot car sa ligne d’action passe par le milieu de la barre (à condition que la barre soit homogène). Par conséquent, comme la somme des moments doit être nulle pour que la barre soit en équilibre, le moment dû au couple restant doit être de (dans le sens horaire).
Le moment du couple agissant en et , noté , est alors
On a trouvé que , et que .
Étudions un exemple dans lequel le poids d’une barre contribue aux moments agissant sur elle.
Exemple 3: Calculer le poids et la force de réaction d’un corps sous l’action d’un couple
La barre homogène est de longueur 6 cm. Elle est libre de tourner autour d’un clou lisse passant par un petit trou dans la barre au point entre et , où . La barre est en équilibre horizontal, sous l’action de deux forces, chacune d’intensité 8 N, agissant à chaque extrémité selon un angle de avec la barre, comme indiqué sur la figure ci-dessous. Déterminez le poids de la barre et l’intensité de la réaction du clou.
Réponse
Deux couples agissent sur la barre ; un couple est dû aux forces agissant en et et l’autre couple est dû au poids de la barre agissant en son milieu et à la réaction du clou en . La résultante des forces est nulle et on a où est l’intensité du poids et est l’intensité de la réaction du clou.
On calcule le moment du couple agissant en et : où est l’intensité de l’une ou l’autre des forces du couple agissant en et .
Par conséquent,
Le couple du poids de la barre agissant au milieu de la barre homogène (on appelle ce point ) et de la réaction du clou en produit une rotation dans le sens horaire. Ces deux forces sont perpendiculaires à la barre. Par conséquent, le moment dû à ce couple agissant en et , noté , est donné par où est l’intensité du poids agissant en ou de la réaction du clou agissant en . Le point est situé à 3 cm de , c’est-à-dire à 1 cm de . Par conséquent, .
Cela donne
La somme des moments doit être nulle pour que la barre soit en équilibre ; par conséquent, on a
La réaction du clou sur la barre a une intensité égale au poids de la barre et cette intensité est de 24 N.
Étudions maintenant un exemple de deux couples agissant sur un corps où aucun couple ne se compose de forces agissant aux extrémités opposées du corps.
Exemple 4: Calculer l’intensité d’un couple pour laquelle un corps est en équilibre
La barre est de longueur 50 cm et a un poids négligeable. Deux paires de forces coplanaires agissent sur la barre comme indiqué sur la figure. Le premier couple est constitué de deux forces agissant perpendiculairement à la barre, chacune d’intensité 2 kgp, et le deuxième couple est constitué de deux forces, chacune d’intensité . Déterminez la valeur de qui met la barre en équilibre.
Réponse
Pour que la barre soit en équilibre, la résultante des forces et la somme des moments des forces doivent être toutes deux nulles.
La barre a un poids négligeable ; par conséquent, seuls deux couples agissent sur celle-ci. La résultante des forces est donc nulle car chaque couple est constitué de forces d’intensités égales mais de sens opposés.
On rappelle que le moment dû à un couple est indépendant du point par rapport auquel il est calculé. Pour que la barre soit en équilibre, la somme des moments doit être nulle.
Soit le point auquel la force vers le bas d’intensité agit et le point auquel la force vers le bas d’intensité 2 kgp agit.
Alors, pour , le moment du couple de 2 kgp agissant en et , et , le moment du couple de agissant en et , on a
Notez que le kilogramme-poids est une unité de force : 1 kgp est la force équivalente au poids d’une masse de 1 kg. Par conséquent, , où est l’accélération de la pesanteur.
Le couple de 2 kgp produit une rotation dans le sens horaire, tandis que le couple de produit une rotation dans le sens anti-horaire. Par conséquent, on a où est l’intensité de l’une ou l’autre des forces du couple agissant en et et est l’intensité de l’une ou l’autre des forces du couple agissant en et .
Par conséquent,
La valeur de qui met la barre en équilibre est .
Étudions un exemple dans lequel aucune figure n’est fournie.
Exemple 5: Résoudre un problème impliquant une barre en équilibre sous l’action d’un ou plusieurs couples
La barre est de poids négligeable et de longueur 54 cm. Elle est suspendue horizontalement par un clou en son milieu. Des forces d’intensité agissent à chaque extrémité, l’une d’elles verticalement vers le haut en et l’autre verticalement vers le bas en . La barre est tirée par une corde attachée au point , inclinée selon un angle de par rapport à . La tension dans la corde a une intensité de 192 N. La barre est maintenue en équilibre horizontal par une quatrième force agissant sur la barre au point avec un angle de par rapport à . En supposant qu’il n’y a pas de réaction due au clou, déterminez l’intensité de et la longueur de .
Réponse
Il est toujours utile de commencer par tracer un schéma. La seule chose que l’on doit déterminer lors du tracé du schéma est le sens de la force d’intensité 192 N et celui de la force . La barre étant à l’équilibre, la somme des moments doit être nulle. Cela signifie que le moment de la force d’intensité 192 N et celui de la force doivent produire une rotation dans le sens opposé à celui du moment des forces de .
La première condition pour que la barre soit en équilibre est que la résultante des forces soit nulle. Le poids et la réaction due au clou sont négligeables. Les forces d’intensité N forment un couple car elles sont parallèles, de sens opposé et ont la même intensité. Leur somme est nulle. La somme des deux autres forces doit donc être nulle, ce qui signifie qu’elles sont parallèles, de sens opposé et de même intensité. Par conséquent, on a
La deuxième condition pour que la barre soit en équilibre est que la somme des moments de toutes les forces soit nulle. On a ici deux couples coplanaires agissant sur la barre. On rappelle que le moment d’un couple est indépendant du point par rapport auquel il est calculé. Avec , le moment du couple agissant en et , et , le moment du couple agissant en et , on a
Le couple de produit une rotation dans le sens horaire, tandis que le couple de 192 N produit une rotation dans le sens anti-horaire. Par conséquent, on a où est l’intensité de l’une ou l’autre des forces du couple agissant en et et est l’intensité de l’une ou l’autre des forces du couple agissant en et .
Par conséquent,
L’intensité de est de 192 N et la longueur de est de 38,25 cm.
Résumons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Un couple a une force résultante nulle mais il a un effet de rotation sur le corps sur lequel il agit, décrit par son moment .
- Le moment d’un couple est indépendant du point par rapport auquel il est calculé.
- Il y a deux conditions pour qu’un corps soit en équilibre :
- La force résultante doit être nulle.
- Le moment résultant des forces agissant sur le corps par rapport à tous les points doit être nul.
- Les moments de couples coplanaires peuvent être traités comme des quantités scalaires correspondant à leur composante le long de l’axe perpendiculaire au plan défini par les couples. Pour un couple agissant en et , le moment scalaire est alors donné par où est une des forces du couple, est la longueur du segment , est l’angle (géométrique) entre la droite et , est l’intensité de et est la distance perpendiculaire entre les lignes d’action des deux forces du couple. Le signe de est positif pour une rotation dans le sens anti-horaire et négatif pour une rotation dans le sens horaire.
- Pour qu’un corps soumis à l’action de plusieurs couples coplanaires soit en équilibre, la somme des moments scalaires de tous les couples doit être nulle.
