Video Transcript
De l’eau avec une vitesse 𝑣 un égale à 3,15 mètres par seconde s’écoule doucement à travers un tuyau cylindrique de rayon 𝑟 un égale à 1,25 mètres, puis s’écoule doucement à travers un deuxième tuyau cylindrique de rayon 𝑟 deux est égale à 0,951 mètres, comme le montre la figure. Le premier tuyau a une longueur 𝐿 un égale à 1,44 mètre, et le second tuyau a une longueur 𝐿 deux égale à 1,21 mètre. Quel est le rapport entre le temps nécessaire pour l’eau pour passer à travers le premier tuyau et le temps nécessaire pour passer à travers le deuxième tuyau ?
Ici, sur notre schéma, nous voyons le premier tuyau de longueur 𝐿 un et le deuxième tuyau de longueur 𝐿 deux. Ces tuyaux ont des rayons différents, 𝑟 un et 𝑟 deux. Et on nous dit que la vitesse de l’eau lorsqu’elle pénètre dans le premier tuyau que nous appellerons 𝑣 un est de 3,15 mètres par seconde. Sachant cela, avec les valeurs des longueurs de tuyau, 𝐿 un et 𝐿 deux, nous voulons résoudre le rapport entre le temps nécessaire pour l’eau pour traverser ce premier tuyau et le temps nécessaire pour l’eau pour passer à travers ce deuxième tuyau. Libérons de l’espace sur l’écran et commençons par attribuer des variables à ces deux valeurs de temps.
Disons que le temps nécessaire pour que l’eau passe d’un bout à l’autre du tuyau un est 𝑡 un, et le temps nécessaire pour que l’eau passe à travers le tuyau deux est 𝑡 deux. Ce que nous essayons de résoudre, c’est le rapport 𝑡 un sur 𝑡 deux. Chaque fois qu’un fluide incompressible, comme l’eau que nous avons ici, traverse un récipient à parois rigides, lorsque ce fluide coule doucement, il suit ce qu’on appelle l’équation de continuité. Cette équation est une description de la façon dont un volume de fluide est transmis à travers un récipient. Elle indique que le taux auquel un volume de fluide traverse une section transversale d’un récipient est égale au taux auquel ce même volume traverse une autre section transversale du récipient. Dans notre cas, les sections transversales auxquelles nous pensons sont les sections transversales de nos deux tubes avec les rayons 𝑟 un et 𝑟 deux.
L’équation de continuité indique que le volume d’eau qui traverse cette section transversale de notre tuyau pendant un certain temps, disons une seconde, est égal au volume d’eau qui traverse cette section de notre tuyau avec un rayon différent pour une même durée. Au début, il n’est cependant peut-être pas clair que l’équation de continuité pourra nous aider, parce que nous voulons résoudre pour un rapport de temps. Mais l’équation de continuité inclut les vitesses. 𝑣 un et 𝑣 deux sont respectivement les vitesses d’entrée et de sortie du fluide à travers ce système de conduites. Et nous pouvons rappeler que, en général, la vitesse 𝑣 d’un objet est égale à la distance parcourue par cet objet divisée par le temps nécessaire pour parcourir cette distance.
Pour notre eau qui traverse le premier tuyau, disons, la distance qu’elle parcourt est 𝐿 un, et le temps nécessaire pour parcourir cette distance est 𝑡 un. De même, 𝑣 deux, la vitesse de sortie de l’eau à travers le système de conduites, est égale à 𝐿 deux divisé par 𝑡 deux. Tout cela signifie que nous pouvons écrire l’équation de continuité de cette façon. Ici, 𝑣 un est remplacé par 𝐿 un sur 𝑡 un, et 𝑣 deux est remplacé par 𝐿 deux sur 𝑡 deux. Comme nous l’avons vu, cela est en accord avec la formule générale des vitesses. Puisque nous essayons de résoudre 𝑡 un divisé par 𝑡 deux, réorganisons cette équation de sorte que 𝑡 un sur 𝑡 deux soit d’un seul côté.
Nous pouvons commencer à le faire en multipliant les deux membres par 𝑡 un, supprimant ainsi ce facteur à gauche. Ensuite, nous divisons les deux membres de l’équation par S deux fois 𝐿 deux. Cela entraînerait l’annulation de S deux et 𝐿 deux du membre droit de l’équation. Et lorsque toutes les annulations sont faites, nous avons exactement ce que nous voulions, 𝑡 un divisé par 𝑡 deux isolé, d’un côté de notre équation.
Pour résoudre ce rapport, nous devrons connaître les valeurs de ces variables. 𝐿 un et 𝐿 deux nous sont donnés dans l’énoncé du problème. Et bien que nous ne connaissions pas directement S un et S deux, nous connaissons les rayons 𝑟 un et 𝑟 deux. Et nous savons également que les sections transversales de ces tuyaux sont circulaires. En termes de rayon 𝑟, la section d’un cercle est égale à 𝜋 fois 𝑟 au carré. On peut alors écrire que S un est égal à 𝜋 fois 𝑟 un carré et S deux égale 𝜋 fois 𝑟 deux au carré.
Notez que dans cette fraction, le facteur 𝜋 s’annule. En remplaçant 𝑟 un, 𝐿 un, 𝑟 deux et 𝐿 deux, nous obtenons cette fraction. Au numérateur et au dénominateur, nous avons des unités de mètres cubes, donc elles s’annulent toutes. Et notre réponse finale sera sans unité. En arrondissant cette fraction à trois chiffres significatifs, nous obtenons 2,06. Il s’agit du rapport entre le temps nécessaire pour l’eau pour traverser le premier tuyau et le temps nécessaire pour l’eau pour traverser le deuxième tuyau. Et notez que notre réponse nous dit qu’il faut un peu plus de deux fois plus de temps pour que l’eau passe par le premier tuyau que pour traverser le deuxième tuyau.
Nous voyons alors que l’eau doit augmenter ça vitesse lorsqu’elle traverse le deuxième tuyau. Et c’est parce que ce deuxième tuyau a un rayon plus petit que le premier.
