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Fiche explicative de la leçon : L’équation de continuité pour les fluides Physique

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer le taux de transfert de fluides à écoulement régulier dans des canaux à sections transversales variables.

Commençons par le cas de liquides incompressibles. Cela signifie que les variations de pression n’ont aucun effet sur la densité du fluide. Rappelons qu’un fluide peut être un liquide ou un gaz;dans de nombreux cas, on peut supposer qu’un liquide tel que l’eau ou l’huile est incompressible.

Pour comprendre cela, imaginons un liquide qui remplit un récipient ayant une paroi qui peut se déplacer librement. Cette paroi mobile est poussée vers le bas par une certaine masse. Dans le cas d’un fluide compressible, lorsqu’une masse pousse la paroi mobile vers le bas, cela provoque un rapprochement des particules du fluide, augmentant ainsi sa densité. Ce phénomène est illustré sur le schéma ci-dessous.

Dans le cas d’un fluide incompressible, quelle que soit la masse placée sur la paroi mobile, les particules de fluide ne se rapprochent pas les unes des autres;la densité du fluide ne change pas. Il est fréquent que des liquides tels que l’eau et l’huile soient considérés comme des fluides incompressibles. Ceci est illustré par le diagramme suivant.

Définition: Fluide incompressible

Un fluide incompressible est un fluide dont la densité n’est pas affectée par les variations de pression.

Considérons un cas où un fluide passe à travers un tuyau cylindrique de section transversale d’aire 𝐴. Bien que toutes les particules aient des vitesses aléatoires, on peut constater qu’en moyenne, elles se déplacent toutes dans une seule direction avec une vitesse 𝑣. Le diagramme suivant illustre une section de ce tuyau.

Si on observe une section transversale du tuyau, pendant une durée de 𝑇secondes, une certaine quantité de liquide va passer à travers cette section transversale. On peut visualiser ceci sur le diagramme suivant, où le fluide passant à travers la section est mis en évidence.

Cette quantité de liquide occupe une section du tuyau ayant une section transversale d’aire 𝐴 et de longueur 𝑑. Ceci correspond à un volume, 𝑉, définit par 𝑉=𝐴𝑑.

Sachant que le fluide se déplace avec une vélocité 𝑣, la longueur de cette section est égale à 𝑑=𝑣𝑇.

En remplaçant ces termes dans l’équation du volume, on obtient 𝑉=𝐴𝑣𝑇.

Si l'on divise les deux côtés par 𝑇, on obtient une expression de la quantité de volume traversant la section transversale pendant 𝑇secondes:𝑉𝑇=𝐴𝑣.

Cette grandeur est appelée le débit volumétrique d’un fluide et a pour unités les mètres cubes par seconde (m3/s).

On peut également étudier la masse du fluide qui passe à travers la section, 𝑚.

Si le fluide a une densité 𝜌, la masse du fluide qui passe à travers la section est égale à 𝑚=𝜌𝑉.

En substituant l’équation du volume, 𝑉=𝐴𝑣𝑇 dans cette expression, on obtient 𝑚=𝜌𝐴𝑣𝑇.

Si on divise les deux côtés par 𝑇, on obtient une expression de la quantité de masse traversant la section transversale pendant 𝑇secondes:𝑚𝑇=𝜌𝐴𝑣.

Cette grandeur est appelée le débit massique d’un fluide et a pour unités les kilogrammes par seconde (kg/s).

Étudions à présent le débit massique d’un liquide.

Exemple 1: Calculer l’aire de la section transversale d’un tuyau à partir du débit massique

45 kg d’un liquide de densité constante 1‎ ‎055 kg/m3 s’écoule librement à travers un tuyau de 2,5 m de long en 1 seconde. Quelle est l’aire de la section transversale du tuyau?Donnez la réponse au millième près.

Réponse

Dans cette question, il est demandé de calculer l’aire de la section transversale d’un tuyau en fonction de la quantité de liquide qui a parcouru une certaine distance sur un intervalle de temps donné.

Étant donné la masse de liquide qui traverse le tuyau en 1 seconde, 45 kg, et la densité du liquide, 𝜌=1055/kgm, on peut calculer le volume de liquide qui passe à travers le tuyau en 1 seconde:𝑉=𝑚𝜌𝑉=451055/𝑉=0,0427.kgkgmm

L’aire de la section transversale du tuyau, 𝐴, peut ensuite être calculée en divisant le volume du liquide qui traverse le tuyau en 1 seconde par la distance parcourue par le liquide, 𝑑=2,5m:𝐴=𝑉𝑑=0,04272,5.mm

L’aire de la section transversale du tuyau est de 𝐴=0,017.m

Considérons un fluide incompressible qui s’écoule à travers un tuyau dont l’aire de la section transversale varie de 𝐴 à 𝐴. On verra que la vitesse du fluide varie également de 𝑣 à 𝑣. On peut s’intéresser à deux sections particulières:une avant le changement d’aire, au point 1, et une après, au point 2. La figure suivante illustre ce tuyau dont les sections transversales sont mises en évidence.

Comme dans l’exemple précédent, on peut mesurer le volume de liquide qui passe à travers chaque section, 𝑉 et 𝑉 en 𝑇secondes. On note la longueur du tuyau que chaque volume occupe 𝑑 et 𝑑. On peut visualiser ces volumes sur la figure suivante.

Ces volumes sont égaux à 𝑉=𝐴𝑑,𝑉=𝐴𝑑.

La longueur de chaque volume peut être calculée en multipliant la vitesse du fluide en ce point par le temps que le fluide met pour traverser ce volume:𝑑=𝑣𝑇,𝑑=𝑣𝑇.

En les substituant dans nos expressions du volume, on obtient 𝑉=𝐴𝑣𝑇,𝑉=𝐴𝑣𝑇.

Ici, puisqu’il s’agit d’un fluide incompressible, on peut établir que le volume passant à travers chaque section doit être égal. Par conséquent, on peut écrire 𝑉=𝑉,𝐴𝑣𝑇=𝐴𝑣𝑇.

Enfin, on peut diviser les deux côtés par 𝑇 pour donner une expression reliant la vitesse du fluide avant et après un changement d’aire transversale comme suit:𝐴𝑣=𝐴𝑣.

Il est important de remarquer que l’aire de la section transversale multipliée par la vitesse d’un fluide a pour unités les mètres cubes par seconde (m3/s). On appelle cette grandeur l’écoulement volumétrique d’un fluide:celui-ci est constant lorsque le fluide est incompressible.

Exemple 2: Utiliser l’équation de continuité pour modéliser l’écoulement d’un fluide incompressible

De l’eau s’écoule librement avec une vitesse 𝑣=1,25/ms à travers un tuyau cylindrique de rayon 𝑟=0,325m, comme indiqué sur la figure ci-dessous. L’eau traverse le tuyau en 0,955 s puis passe dans un deuxième tuyau cylindrique de rayon 𝑟=0,118m et longueur 𝐿=0,975m.

  1. Quelle est la longueur du premier tuyau?Donnez la réponse au centième près.
  2. Quel est l’intervalle de temps entre le moment où l’eau entre et sort du deuxième tuyau?Donnez la réponse au millième près.

Réponse

Partie 1

La première partie de cette question nous demande de calculer la longueur du premier tuyau en fonction du temps mis par l’eau pour le traverser et de la vitesse de l’eau.

Pour calculer la longueur du premier tuyau, 𝐿, on peut simplement multiplier la vitesse de l’eau dans le premier tuyau, 𝑣=1,25/ms, par le temps nécessaire pour traverser le premier tuyau, 𝑇=0,955s:𝐿=𝑣𝑇𝐿=1,25/×0,955𝐿=1,19.mssm

La longueur du premier tuyau est de 1,19 m.

Partie 2

Dans la seconde partie, la question nous demande de calculer le temps nécessaire pour que l’eau passe à travers le deuxième tuyau.

Tout d’abord, il nous faut calculer la vitesse de l’eau lorsqu’elle traverse le deuxième tuyau. Rappelons que l’équation de continuité pour les fluides incompressibles est 𝐴𝑣=𝐴𝑣,𝐴 est l’aire de la section transversale du premier tuyau, 𝑣 est la vitesse du fluide dans le premier tuyau, 𝐴 est l’aire de la section transversale du deuxième tuyau, et 𝑣 est la vitesse du fluide dans le deuxième tuyau.

On peut calculer l’aire de la section transversale du premier tuyau en utilisant l’équation de l’aire d’un cercle:𝐴=𝜋𝑟𝐴=𝜋×(0,325)𝐴=0,332.mm

De même, on utilise la même équation pour le deuxième tuyau:𝐴=𝜋𝑟𝐴=𝜋×(0,118)𝐴=0,0437.mm

L’équation de continuité peut être réorganisée en divisant les deux côtés par l’aire de la section transversale du deuxième tuyau, 𝐴:𝑣=𝑣𝐴𝐴.

Ensuite, les valeurs de 𝑣, 𝐴, et 𝐴 peuvent être remplacées dans cette équation:𝑣=1,25/×0,3320,0437𝑣=9,48/.msmmms

Cette vitesse peut ensuite être utilisée pour calculer la durée nécessaire à l’eau pour passer à travers le deuxième tuyau, 𝑇.

Pour calculer 𝑇, la longueur du deuxième tuyau, 𝐿=0,975m, est divisée par la vitesse de l’eau dans le deuxième tuyau, 𝑣=9,48/ms:𝑇=𝐿𝑣𝑇=0,9759,48/𝑇=0,103.mmss

L’intervalle de temps entre le moment où l’eau entre et sort du deuxième tuyau est de 0,103 s.

À présent, étudions le cas où le fluide est compressible. Commençons par le même exemple;un fluide passe à travers un tuyau dont la section transversale varie de 𝐴 à 𝐴. Cette fois, le fluide est compressible, c’est-à-dire que sa densité peut changer. On verra que la vitesse du fluide peut changer de 𝑣 à 𝑣 et aussi que la densité du fluide peut changer de 𝜌 à 𝜌. On peut visualiser ceci sur un schéma similaire au précédent, mais on remarquera que la densité du fluide est différente aux points 1 et 2.

Encore une fois, on peut mesurer le volume de liquide qui passe à travers chaque section, 𝑉 et 𝑉 en 𝑇secondes. On note la longueur du tuyau que chaque volume occupe 𝑑 et 𝑑. On peut visualiser ces volumes sur la figure suivante.

Ces volumes sont égaux à 𝑉=𝐴𝑑,𝑉=𝐴𝑑.

La longueur de chaque volume peut être calculée en multipliant la vitesse du fluide en ce point par le temps que le fluide met pour traverser ce volume:𝑑=𝑣𝑇,𝑑=𝑣𝑇.

En les substituant dans nos expressions du volume, on obtient 𝑉=𝐴𝑣𝑇,𝑉=𝐴𝑣𝑇.

Dans l’exemple précédent, on avait ensuite stipulé que les deux volumes étaient égaux. Or, dans le cas d’un fluide compressible, cela n’est pas nécessairement vrai car la densité du fluide peut changer. Au lieu de cela, il faut ici considérer la masse de fluide passant à travers chaque section.

La masse de fluide qui passe par la section transversale 1 doit être égale à la masse du fluide qui passe par la section transversale 2. Si les masses ne sont pas égales, alors les particules du fluide doivent être créées ou détruites quelque part dans le tuyau, ce qui n’est pas possible.

Soit la masse qui passe par la section 1 𝑚 et la masse qui passe par la section 2 𝑚. La masse qui passe à travers chaque section est égale au volume qui passe à travers chacune d’entre elles multiplié par la densité du fluide en ce point:𝑚=𝜌𝐴𝑣𝑇,𝑚=𝜌𝐴𝑣𝑇.

Ces masses sont égales, d’où:𝜌𝐴𝑣𝑇=𝜌𝐴𝑣𝑇.

On peut alors diviser les deux côtés par 𝑇 afin d’obtenir une expression reliant l’aire de la section transversale, la densité et la vitesse d’un fluide compressible en deux points quelconques dans un tuyau comme suit:𝜌𝐴𝑣=𝜌𝐴𝑣.

Exemple 3: Utiliser l’équation de la continuité pour modéliser l’écoulement d’un fluide compressible

Un gaz s’écoule librement à travers un tuyau. L’aire de la section transversale du tuyau diminue de 0,075 m2 à 0,025 m2. Le gaz pénètre dans le tuyau en se déplaçant à 1,8 m/s et sort du tuyau en se déplaçant à 2,0 m/s. La densité du gaz en entrée du tuyau est de 1,4 kg/m3. Quel est le rapport entre la densité du gaz en entrée du tuyau et sa densité en sortie du tuyau?Donnez la réponse au dixième près.

Réponse

Cette question nous demande de calculer le rapport de la densité d’un gaz circulant à travers un tuyau après que l’aire de la section transversale de ce tuyau subisse une variation.

On nous dit que, initialement, le tuyau a une aire de section transversale de 𝐴=0,075m, et le gaz qui le traverse a une vitesse de 𝑣=1,8/ms et une densité de 𝜌=1,4/kgm. Au point où le gaz sort du tuyau, l’aire de la section transversale du tuyau est égale à 𝐴=0,025m, et le gaz a une vitesse de 𝑣=2,0/ms.

Rappelons l’équation de continuité pour les fluides compressibles:𝜌𝐴𝑣=𝜌𝐴𝑣.

On nous demande de calculer le rapport entre la densité du gaz en entrée du tuyau et sa densité en sortie du tuyau:𝜌𝜌.

On peut réorganiser l’équation de continuité pour trouver ce rapport. D’abord, on divise les deux côtés par 𝐴𝑣:𝜌=𝜌𝐴𝑣𝐴𝑣.

Ensuite, on divise les deux côtés par 𝜌:𝜌𝜌=𝐴𝑣𝐴𝑣.

Notons que pour calculer ce rapport, il n’est pas nécessaire de connaître 𝜌 ou 𝜌.

On peut maintenant remplacer les valeurs qui nous sont données dans l’équation:𝜌𝜌=0,025×2,0/0,075×1,8/,mmsmms ce qui, au dixième près, donne un rapport de 𝜌𝜌=0,4.

Pour mieux comprendre pourquoi on peut supposer que certains fluides, tels que l’eau, sont incompressibles, on peut calculer l’effet d’infimes variations de leur densité sur l’équation de continuité.

Imaginons un fluide qui traverse un tuyau et qui est comprimé de 0,001% sous l’effet d’une pression;la section du tuyau qu’il traverse ne change pas. La densité de ce fluide avant et après compression est égale à 𝜌=0,99999×𝜌.

En utilisant ces valeurs dans l’équation de continuité, on obtient 𝜌𝐴𝑣=𝜌𝐴𝑣𝜌𝐴𝑣=0,99999×𝜌𝐴𝑣.

En divisant les deux côtés par 𝜌𝐴, on peut obtenir une expression reliant la vitesse du fluide avant et après compression comme suit:𝑣=0,99999×𝑣.

Cette différence est inférieure à l’incertitude des mesures de débit.

Cette hypothèse d’incompressibilité est généralement appliquée aux liquides. Par exemple, le volume d’eau ne changera que d’environ 5×10% par pascal.

On peut également utiliser l’équation de continuité pour comprendre ce qui se passe lorsque des tuyaux se divisent en deux branches.

Voyons d’abord un fluide incompressible s’écoulant avec une vitesse 𝑣 dans un tuyau d’aire de section transversale 𝐴. Le tuyau se divise en deux petits tuyaux, d’aires de section transversale respectivement 𝐴 et 𝐴. La vitesse du fluide dans chacun de ces tuyaux est 𝑣 et 𝑣. Ce tuyau se divisant en deux tuyaux plus petits est schématisé sur la figure suivante.

On sait que, sur une durée déterminée, 𝑇, la masse de fluide qui pénètre dans le premier tuyau, 𝑚, doit être égale à la masse de fluide qui sort des deux plus petits tuyaux, 𝑚+𝑚:𝑚𝑇=𝑚𝑇+𝑚𝑇.

Rappelons que la masse, 𝑚, de fluide qui passe à travers un tuyau sur un temps donné, 𝑇, est égale à la densité du fluide, 𝜌 multipliée par sa vitesse, 𝑣, multipliée par l’aire de la section du tuyau, 𝐴, comme suit:𝑚𝑇=𝜌𝐴𝑣.

En appliquant ceci aux trois tuyaux, on obtient 𝑚𝑇=𝜌𝐴𝑣,𝑚𝑇=𝜌𝐴𝑣,𝑚𝑇=𝜌𝐴𝑣.

Ensuite, on peut les remplacer dans l’équation équilibrant la masse de fluide circulant à travers les tuyaux comme suit:𝜌𝐴𝑣=𝜌𝐴𝑣+𝜌𝐴𝑣.

Enfin, comme le fluide est incompressible, on peut diviser les deux côtés par 𝜌 pour nous donner une équation qui relie la vitesse du fluide dans chaque tuyau et l’aire de la section transversale de chaque tuyau comme suit:𝐴𝑣=𝐴𝑣+𝐴𝑣.

Voyons à présent un exemple où un tuyau se divise en deux tuyaux secondaires.

Exemple 4: Application de l’équation de continuité à une dérivation

De l’eau s’écoule librement à travers un tuyau primaire qui se divise en deux tuyaux secondaires. Les tuyaux secondaires changent d’épaisseur tout au long de leurs longueurs, comme indiqué sur le schéma ci-dessous. L’aire de la section transversale du tuyau au niveau de la dérivation est identique à l’aire de la section transversale où l’eau pénètre. L’eau s’écoule à 0,25 m/s en sortie du tuyau secondaire dont la section de sortie est la plus grande. L’eau s’écoule à 1,0 m/s en sortie du tuyau secondaire dont la section de sortie est la plus petite.

  1. Quelle est la différence entre les sections des tuyaux secondaires au niveau de la dérivation lorsque l’eau pénètre dans ces tuyaux?Donnez la réponse au centième près.
  2. Quelle est la différence entre la vitesse d’écoulement de l’eau au niveau de la dérivation lorsque l’eau pénètre dans ces tuyaux secondaires?
  3. Quelle est la vitesse d’écoulement de l’eau en entrée du tuyau primaire?Donnez la réponse au centième près.

Réponse

Partie 1

La première partie de la question nous demande de calculer la différence entre les aires des sections secondaires des tuyaux secondaires au niveau où l’eau pénètre dans ceux-ci.

Appelons l’aire de la section transversale du tuyau secondaire supérieur où l’eau pénètre 𝐴 et le tuyau secondaire inférieur 𝐴. On cherche à calculer 𝐴𝐴.

On sait que l’aire de la section totale des tuyaux secondaires où l’eau pénètre est égale à l’aire de la section transversale du tuyau principale, 𝐴=1,00m. On peut écrire ceci comme 𝐴+𝐴=𝐴𝐴+𝐴=1,00.m

On sait aussi que la vitesse de l’eau au tout début des tuyaux secondaires dans chaque tuyau, est égale à la vitesse de l’eau qui coule dans le tuyau primaire, 𝑣. On peut écrire ceci comme 𝑣=𝑣=𝑣.

À l’extrémité des tuyaux secondaires, l’aire de la section transversale du tuyau supérieur est 𝐴=0,75m et la vitesse est 𝑣=0,25/ms, et la section du tuyau inférieur est égale à 𝐴=0,50m et la vitesse est 𝑣=1,0/ms.

On peut appliquer l’équation de continuité pour les fluides incompressibles à chaque tuyau secondaire pour relier la vitesse du fluide au début et à la fin de chaque tuyau.

En l’appliquant au tuyau supérieur, on obtient 𝐴𝑣=𝐴𝑣.

En divisant les deux côtés par 𝐴𝑣 on obtient 𝐴𝑣𝐴𝑣=1.

En l’appliquant au tuyau inférieur, on obtient 𝐴𝑣=𝐴𝑣.

En divisant les deux côtés par 𝐴𝑣 on obtient 𝐴𝑣𝐴𝑣=1.

En écrivant l’égalité entre l’expression pour le tuyau supérieur et l’expression pour le tuyau inférieur, on obtient 𝐴𝑣𝐴𝑣=𝐴𝑣𝐴𝑣.

En divisant les deux côtés par 𝐴𝑣 on obtient 𝐴𝑣𝐴𝑣𝐴𝑣=1𝐴𝑣.

Puis, en multipliant les deux côtés par 𝐴𝑣 on a 𝐴𝑣𝐴𝑣=𝐴𝑣𝐴𝑣.

Sachant que 𝑣=𝑣, celles-ci s’annulent:𝐴𝐴=𝐴𝑣𝐴𝑣.

En remplaçant par les valeurs connues de 𝐴, 𝑣, 𝐴, et 𝑣 on a 𝐴𝐴=0,25×0,75/1,0×0,5/𝐴𝐴=0,375.mmsmms

En multipliant les deux côtés par 𝐴, on peut obtenir une expression reliant 𝐴 et 𝐴:𝐴=0,375𝐴.

En substituant cette valeur dans l’expression 𝐴+𝐴=1,00 on obtient 1,375𝐴=1,00,𝐴=0,727,𝐴=0,273.mm

La différence d’aire de section entre les deux tuyaux est donc 𝐴𝐴=0,45,m de sorte que la différence des aires de section transversale des tuyaux secondaires au niveau où l’eau pénètre est de 0,45 m2.

Partie 2

La deuxième partie de la question nous demande de calculer la différence de vitesse du fluide lorsqu’il pénètre dans les tuyaux secondaires supérieur et inférieur.

Comme mentionné précédemment, à l’instant même où le fluide pénètre dans les tuyaux secondaires, il doit avoir la même vitesse que le fluide dans le tuyau primaire.

Cela peut être écrit comme 𝑣=𝑣=𝑣.

Par conséquent, la différence entre 𝑣 et 𝑣 est 𝑣𝑣=0/.ms

Ainsi, la différence de vitesse de l’eau entre les deux tuyaux secondaires est égale à 0 m/s.

Partie 3

La troisième partie de la question nous demande de calculer la vitesse du flux de l’eau où l’eau pénètre dans le tuyau primaire.

On peut appliquer l’équation de continuité pour les fluides incompressibles à l’ensemble du tuyau, en reliant le fluide sortant des deux tuyaux secondaires au fluide entrant dans le tuyau primaire. Rappelons notre équation de continuité pour un tuyau qui se divise en deux:𝐴𝑣=𝐴𝑣+𝐴𝑣.

On peut diviser les deux côtés par 𝐴 pour exprimer la vitesse de l’eau dans le premier tuyau:𝑣=1𝐴(𝐴𝑣+𝐴𝑣).

Ensuite, on peut remplacer avec les valeurs de 𝐴, 𝐴, 𝐴, 𝑣, et 𝑣:𝑣=11,000,25×0,75/+1,0×0,5/𝑣=0,69/mmmsmmsms

Ainsi, la vitesse du fluide circulant dans le tuyau primaire est de 0,69 m/s.

On notera que cette réponse aurait pu être obtenue en appliquant l’équation de continuité pour les fluides incompressibles individuellement à l’un des tuyaux secondaires, car on avait déjà calculé l’aire de la section transversale de chaque tuyau secondaire au point où le liquide les pénètre.

Résumons ce que l’on a appris dans cette fiche explicative à travers les points clés suivants.

Points clés

  • Le débit volumétrique d’un fluide circulant dans un tuyau est égal au volume de fluide, 𝑉, qui passe par une section transversale du tuyau divisé par le temps, 𝑇, la section est mesurée pour et est égale à l’aire de la section transversale du tuyau, 𝐴 multipliée par la vitesse du fluide, 𝑣:𝑉𝑇=𝐴𝑣.
  • Le débit massique d’un fluide traversant un tuyau est égal à la masse du fluide, 𝑚, qui passe par une section transversale du tuyau divisée par le temps, 𝑇, la section est mesurée pour et est égale à la densité du fluide, 𝜌, multipliée par l’aire de la section du tuyau, 𝐴 multipliée par la vitesse du fluide, 𝑣:𝑚𝑇=𝜌𝐴𝑣.
  • Lorsqu’un fluide incompressible passe à travers un tuyau, son débit est constant:𝐴𝑣=.constant
  • Pour tout fluide traversant un tuyau, son débit massique doit être constant. Cette relation est appelée équation de continuité pour les fluides:𝜌𝐴𝑣=.constant
  • Lorsqu’un tuyau primaire se divise en plusieurs petits tuyaux, le débit massique total du fluide à travers tous les plus petits tuyaux est égal au débit massique du fluide à travers le tuyau primaire:𝜌𝐴𝑣=𝜌𝐴𝑣+𝜌𝐴𝑣++𝜌𝐴𝑣.

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