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Vidéo de la leçon : L’équation de continuité des fluides Physique

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer le taux de transfert de fluides à écoulement régulier à travers des canaux avec des sections transversales variables.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons traiter de ce qu’on appelle l’équation de continuité des fluides. L’équation en question sert souvent à décrire comment certains fluides peuvent circuler d’un récipient à un autre où les volumes des deux contenants sont différents.

Donc, pour comprendre l’équation de continuité, imaginons d’abord le scénario suivant. Imaginons que nous ayons là un contenant cylindrique. Et dans ce récipient, nous avons un gaz qui coule de gauche à droite. A présent, nous considérons un gaz. Mais rappelez-vous, l’équation de continuité que nous allons étudier s’applique aux fluides, pas seulement aux gaz. Et rappelez-vous que les fluides s’écoulent. Par conséquent, il pourrait s’agir de liquides ou de gaz.

Mais, pour l’instant, nous ne considérerons qu’un gaz dans notre récipient cylindrique. En outre, une hypothèse importante que nous allons retenir ici est que le mouvement de toutes les molécules de gaz est principalement vers la droite. Le gaz coule en douceur de gauche à droite. En d’autres termes, nous ignorerons tout mouvement de molécules qui n’est pas vers la droite, car cela sera minime et n’affectera pas l’écoulement du fluide. Imaginons également que pour chaque seconde qui passe, un kilogramme de gaz se déplace de gauche à droite dans notre récipient.

Imaginons, par exemple, que nous devions considérer cette position sur la longueur de notre contenant. Nous pouvons mesurer la quantité de gaz traversant cette section par unité de temps. Et dans ce cas, nous trouvons qu’un kilogramme de gaz circule par seconde au travers de cette section transversale. C’est une quantité importante à retenir pour plus tard, car ce que nous avons trouvé, c’est le débit massique de notre gaz, un concept qui peut paraitre assez compliqué. Mais c’est juste une façon élégante de nommer la quantité de masse de gaz qui circule par seconde de gauche à droite.

Et nous pouvons en fait quantifier le débit massique de notre gaz comme étant la masse du gaz qui coule de gauche à droite divisée par la durée nécessaire pour que s’écoule cette quantité particulière de masse. Et dans cette situation particulière, la façon dont nous avons fait cela était de mesurer la quantité de gaz passant par ce point dans notre récipient. Et dans ce scénario particulier, nous imaginons que nous avons trouvé un kilogramme de gaz qui coule par seconde.

Maintenant, tout ce concept sur le débit massique est assez important car imaginons maintenant que notre récipient ressemble à ceci. Imaginons que le long du sens de circulation du gaz de gauche à droite, le récipient se rétrécisse. En d’autres termes, le gaz arrive dans une région avec une plus petite section, où la section est précisément l’aire du cercle que nous avons tracé ici. Comme nous pouvons le voir, la section transversale du récipient était beaucoup plus grande là où se trouvait précédemment le gaz. On peut dire que cette aire est 𝐴 indice un. Et maintenant, dans la plus petite région du récipient, nous pouvons voir que la section transversale est différente. Nous appellerons donc cette aire en coupe transversale A indice deux.

Maintenant, voici la chose intéressante. Notre gaz circule toujours de gauche à droite dans le récipient malgré le fait qu’il se rétrécit soudainement. Alors, comment notre gaz réagit-il à ce rétrécissement du récipient ? Eh bien, parce que nous imaginons un scénario où les molécules de gaz sont simplement laissées à elles-mêmes, se déplaçant de gauche à droite et nous n’exerçons aucune force extérieure sur ces molécules de gaz. Cela signifie que le débit massique dans la deuxième partie du récipient doit être le même que le débit massique dans la première partie.

La raison pour cela est que dans la première partie du récipient, une certaine quantité de masse circule par seconde de gauche à droite. Et cette masse ne peut pas disparaître soudainement au point où la taille du récipient change. Cette quantité de masse doit toujours circuler de gauche à droite dans la partie la plus étroite du récipient. Par conséquent, si nous avons un kilogramme de gaz qui coule de gauche à droite par seconde dans la partie la plus large du récipient, alors nous avons également un kilogramme de gaz qui coule de gauche à droite par seconde dans la partie la plus étroite du récipient.

Maintenant, si nous donnons un symbole à notre débit massique, admettons que nous lui donnons le symbole 𝑅, alors nous pouvons dire que le débit massique dans la région un, nous l’appellerons 𝑅 indice un, doit être égal au débit massique dans la deuxième région 𝑅 indice deux. Nous sommes alors arrivés à une jolie petite conséquence du fait qu’une certaine quantité de gaz circulant de gauche à droite dans la première partie du contenant ne peut pas changer en fonction de la forme du contenant. Et par conséquent, les débits massiques dans les deux régions doivent être les mêmes, car les particules de gaz ne peuvent pas apparaître ou disparaître de manière aléatoire lorsqu’elles traversent la limite entre la première et la deuxième région.

Maintenant, au lieu de considérer une valeur spécifique pour le débit massique de notre gaz, donc au lieu de dire qu’un kilogramme de gaz circule de gauche à droite par seconde. Admettons que dans la première région, une masse 𝑚 un de gaz se déplace de gauche à droite dans un intervalle de temps Δ𝑡. Maintenant, ce qui est intéressant, c’est que nous pouvons imaginer qu’au début de notre intervalle de temps Δ𝑡, en nous focalisant sur les molécules de gaz qui ont commencé ici, à la fin de l’intervalle de temps Δ𝑡, ces molécules de gaz finiraient à une certaine distance le long du cylindre. En d’autres termes, elles finiraient quelque part par-là. Et par conséquent, nous pourrions dire que dans notre intervalle de temps Δ𝑡, les molécules ont parcouru cette distance-ci. Appelons cette distance d indice un.

Désormais, nous pouvons constater que si nos molécules de gaz parcourent cette distance, 𝑑 un dans un intervalle de temps de Δ𝑡, alors elles doivent se déplacer avec une vitesse 𝑣 un de 𝑑 un divisée par Δ𝑡. Parce que, rappelez-vous, la vitesse d’un objet est égale à la distance parcourue divisée par la durée mise pour parcourir cette distance. Maintenant, il convient de noter que 𝑣 un est la vitesse à laquelle la majeure partie du gaz se déplace de gauche à droite car les molécules individuelles peuvent également avoir des vitesses un peu plus lentes ou rapides. Mais, en moyenne, elles se déplaceront avec une vitesse de 𝑣 un.

Et une autre chose intéressante à noter est que le gaz qui a commencé ici au début de notre intervalle de temps et a fini ici a occupé cette quantité de volume. C’est un volume cylindrique naturellement parce que notre récipient est un cylindre avec une aire de section transversale de 𝐴 un, identique à cette aire de section transversale ici, et une longueur de 𝑑 un. Etant donné cela, nous pouvons rappeler que le volume d’un cylindre donné par ce que nous appellerons 𝑉 majuscule est égal à 𝐴, l’aire de la section transversale du cylindre, multipliée par 𝑑, la longueur du cylindre.

Et par conséquent, nous pouvons dire que le volume occupé par le gaz que nous considérons, en particulier le gaz de masse 𝑚 un se déplaçant de gauche à droite sur une distance 𝑑 un dans un intervalle de temps Δ𝑡, est donné par un V majuscule indice un. Est égal à 𝐴 un, la section du cylindre, multipliée par 𝑑 un, la distance que le gaz parcourt de gauche à droite.

Et d’ailleurs, nous devons faire attention et bien faire la différence entre 𝑣 minuscule, la vitesse du gaz lorsqu’il se déplace de gauche à droite, et V majuscule, le volume occupé par le gaz. Maintenant, à ce stade, nous nous demandons peut-être, à quoi bon écrire toutes ces équations ? Eh bien, rappelez-vous que nous essayons de relier le comportement de notre gaz à son débit massique. Et nous considérons la masse de gaz qui se déplace de gauche à droite sur un intervalle de temps Δ𝑡.

Nous savons que la quantité particulière de gaz que nous considérons a une masse de 𝑚 un et occupe un volume de 𝑉 un, ce qui signifie qu’à ce stade, nous pouvons rappeler une quantité appelée masse volumique, signifiée par la lettre 𝜌. La masse volumique d’un objet est égale à sa masse divisée par le volume qu’il occupe. Et ainsi nous pouvons quantifier la masse de notre gaz, dans ce cas, 𝑚 un, en fonction de la masse volumique du gaz et du volume qu’il occupe. Parce que nous pouvons aussi dire que dans la première région du cylindre, le gaz a une masse volumique 𝜌 indice un.

Donc, en prenant cette équation et en la réarrangeant en multipliant les deux côtés de l’équation par le volume 𝑉, nous constatons que la masse du gaz, 𝑚 un, est égale à la masse volumique du gaz, 𝜌 un, multipliée par le volume qu’il occupe, 𝑉 un. Nous nous rapprochons donc de la quantification de notre débit massique dans la première région du récipient en fonction de certaines propriétés du gaz et du récipient. Plus précisément, la masse volumique du gaz et le volume du récipient occupé par ce gaz. Ce que nous allons maintenant exprimer en termes de section transversale du cylindre et de distance parcourue par le gaz. En d’autres termes, on peut dire que le volume 𝑉 un est égal à 𝐴 un 𝑑 un.

Et maintenant, enfin, nous pouvons remplacer dans notre équation de débit massique le fait que le débit massique sur le côté gauche du cylindre, soit 𝑅 un, et nous savons que cela est égal à 𝑚 un divisé par Δ𝑡, est en fait égal à 𝜌 un 𝐴 un 𝑑 un divisé par Δ𝑡. Nous avons donc exprimé le débit massique dans la première partie du récipient en fonction de la masse volumique du gaz, de l’aire de la section transversale du cylindre et de la distance parcourue par le gaz dans un intervalle de temps Δ𝑡.

Mais alors, à ce stade, nous pouvons également regarder cette partie de notre fraction ici, 𝑑 un divisé par Δ𝑡. Et rappelons que 𝑑 un divisé par Δ𝑡 est en fait égal à 𝑣 minuscule, la vitesse à laquelle le gaz se déplace de gauche à droite. Nous trouvons donc que le débit massique dans la première partie du récipient est égal à la masse volumique du gaz multipliée par la section transversale du cylindre multipliée par la vitesse à laquelle le gaz se déplace de gauche à droite. Or, toutes ces quantités sont connues sur le côté droit.

Et voici où les choses deviennent intéressantes. Rappelez-vous que nous sommes arrivés à une conclusion tout à l’heure comme quoi le débit massique dans la deuxième partie du récipient doit être le même que le débit massique dans la première partie du récipient. Par conséquent, si nous admettons également que le débit massique dans la deuxième partie du conteneur, 𝑅 deux, est égal à la masse volumique du gaz dans la deuxième partie du récipient. Multiplié par la section transversale de la deuxième partie du récipient multipliée par la vitesse avec laquelle le gaz se déplace de gauche à droite dans la deuxième partie du récipient. Et puis nous utilisons l’équation 𝑅 un est égal à 𝑅 deux et substituons dans la partie droite des deux équations. Ensuite, nous arrivons à cette équation-ci. On l’appelle l’équation de continuité des fluides.

C’est une équation très utile et importante pour l’analyse d’un fluide en écoulement régulier. Et bien que nous n’avons pas besoin de savoir par cœur comment nous arrivons à cette équation. Il est important d’avoir vu comment elle s’obtient afin de comprendre le sens profond de ces symboles. Maintenant, chose intéressante, cette équation s’applique assez généralement, et elle peut nous dire comment notre fluide doit se comporter lorsqu’il coule. Dans ce schéma particulier, nous considérons un gaz circulant de gauche à droite à travers un récipient qui a une aire de section transversale plus petite dans la deuxième région par rapport à la première.

Donc, une chose que nous pouvons dire est que l’aire de la section transversale de la première région du récipient, 𝐴 un, est plus grande que l’aire de la section transversale de la deuxième région, 𝐴 deux. Mais alors, si 𝜌 un 𝐴 un 𝑣 un doit être égal à 𝜌 deux 𝐴 deux 𝑣 deux et 𝐴 un est plus grand que 𝐴 deux. Alors cela doit être compensé par une augmentation de la valeur de 𝜌 deux, la masse volumique du gaz, ou une augmentation de la valeur de 𝑣 deux, la vitesse à laquelle le gaz se déplace, ou les deux. En d’autres termes, soit nous trouvons que 𝜌 un est inférieur à 𝜌 deux ou 𝑣 un est inférieur à 𝑣 deux ou des aspects de ces deux conditions.

Et si nous y réfléchissons, cela a également un sens intuitif. Nous avons un récipient plus grand sur le côté gauche. Et un gaz se déplace à une certaine vitesse de gauche à droite à travers ce récipient. Et lorsqu’il arrive dans un récipient plus étroit, le gaz doit s’écouler plus rapidement pour que la même quantité de masse soit transférée de gauche à droite dans le même laps de temps. Ou toutes les particules doivent être contenues dans un volume plus petit, de sorte que la masse volumique augmente, ou un peu des deux. Maintenant, dans cette situation particulière parce que nous envisageons un gaz, il est probable qu’un peu des deux se produisent. Dans la partie la plus étroite du récipient, la masse volumique et la vitesse de déplacement du gaz augmenteront.

Cependant, il existe un type particulier de matériau qui se comporte de manière à ne produire qu’un seul de ces changements. Un exemple d’un tel matériau est, en fait, l’eau. L’eau est ce qu’on appelle un fluide incompressible. Et essentiellement, cela signifie qu’il ne peut pas être compressé. Si nous regardons les molécules d’eau individuelles, il s’avère que les molécules d’eau ne peuvent pas être forcées ensemble dans un plus petit volume.

En d’autres termes, supposons que nous ayons ici 100 molécules d’eau et qu’elles occupent un volume spécifique. Nous ne pouvons pas exercer une force sur ce volume-ci pour que ces molécules d’eau occupent un plus petit volume. Nous ne pouvons pas rapprocher ces molécules d’eau. C’est pourquoi l’eau est incompressible. Et une conséquence de cela est qu’un certain nombre de molécules occuperont toujours un certain volume. Et ce volume ne peut pas être compressé de sorte que ces molécules occupent un volume plus petit. Et parce que ce nombre donné de molécules a une certaine masse, essentiellement, ce que nous disons, c’est que pour une masse particulière de molécules d’eau, le volume occupé par cette masse doit être constant. Ou, en d’autres termes, la masse par unité de volume est constante pour l’eau, et donc la masse volumique de l’eau est constante.

Cela signifie que lorsque l’eau coule de gauche à droite, de la partie la plus large du cylindre à la partie la plus étroite du cylindre, la masse volumique ne peut pas changer. Donc, ce que nous avons dans ce scénario particulier, lorsque nous passons de gauche à droite, c’est que l’aire de la section transversale de la première partie du cylindre est supérieure à l’aire de la section transversale de la deuxième partie du cylindre. Mais parce que c’est de l’eau qui coule à travers ce contenant, la masse volumique des deux côtés du récipient doit être la même. C’est un fluide incompressible. Et par conséquent, la seule façon de garantir que 𝜌 un 𝐴 un 𝑣 un est égal à 𝜌 deux 𝐴 deux 𝑣 deux est d’entraîner une augmentation correspondante de 𝑣 deux, la vitesse avec laquelle l’eau se déplace dans cette partie du récipient.

Puisque l’eau ne peut pas être comprimée, la même masse d’eau doit occuper le même volume. Mais la section transversale diminue. La longueur du cylindre occupé par l’eau doit donc augmenter. L’eau doit couler plus vite vers la droite. En d’autres termes, nous constatons que 𝑣 un, la vitesse à laquelle l’eau se déplace dans la première partie du récipient, est inférieure à 𝑣 deux, la vitesse à laquelle elle se déplace dans la deuxième partie du récipient. Et c’est ce qui se passe lorsque nous appliquons l’équation de continuité à un fluide incompressible, tel que l’eau. À ce stade, nous avons vu l’obtention de l’équation de continuité et comment elle peut être appliquée à quelques fluides différents.

Alors résumons maintenant ce dont nous avons parlé dans cette leçon. Tout d’abord, nous avons vu que l’équation de continuité relie les débits massiques d’un fluide qui coule en différents points de son trajet d’écoulement. Plus précisément, nous avons vu que pour un écoulement de fluide comparé à deux positions différentes le long de son écoulement, les positions un et deux, l’équation de continuité nous dit que la masse volumique du fluide multipliée par la section du récipient qu’il traverse multipliée par la vitesse à laquelle le fluide circule en position un doit être égale à la masse volumique du fluide multipliée par la section transversale multipliée par la vitesse à laquelle le fluide circule en position deux.

Et nous l’avons vu appliquée dans un contexte où les positions un et deux étaient en fait les régions un et deux. Et la région deux présentait un changement dans la section transversale du contenant par rapport à la région un. Ce qui nous amène à notre dernier point, à savoir que l’équation est couramment utilisée pour décrire les effets d’un changement dans la section transversale du récipient par lequel passe le fluide. Mais l’équation ne se limite pas à cette utilisation. L’équation de continuité peut servir à décrire les changements dans les propriétés d’un écoulement de fluide lorsque l’une de ces quantités change. Et voilà un aperçu de l’équation de continuité des fluides.

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