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Déterminez l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale racine cubique de 64 plus racine carrée de cinq 𝑥 moins un.
Nous rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de toutes les valeurs de 𝑥 pour lesquelles 𝑓 de 𝑥 est définie. Pour déterminer l’ensemble de définition d’une fonction, nous devons identifier toutes les restrictions imposées par les différentes parties de la fonction. La fonction qui nous a été donnée n’est pas simple ; il s’agit de la composée d’une fonction linéaire, d’une fonction racine carrée et d’une fonction racine cubique. Voyons ce que nous savons de l’ensemble de définition de chacun de ces types de fonction.
Tout d’abord, nous rappelons que l’ensemble de définition de la fonction racine cubique est l’ensemble des réels. Autrement dit, la fonction racine cubique n’impose aucune restriction à son ensemble de définition. Ensuite, l’ensemble de définition de la fonction racine carrée est l’ensemble des réels positifs. Autrement dit, tous les réels qui appartiennent à l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de zéro à plus l’infini, ou toutes les valeurs de 𝑥 qui vérifient 𝑥 supérieur ou égal à zéro. L’ensemble de définition d’une fonction linéaire est l’ensemble des réels, donc aucune restriction n’est imposée à l’ensemble de définition. Par conséquent, seule la partie racine carrée de la fonction 𝑓 de 𝑥 impose une restriction à son ensemble de définition.
Pour la composée d’une racine carrée et d’une autre fonction, nous allons devoir utiliser une définition plus générale de l’ensemble de définition de la racine carrée de 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons identifier l’ensemble de définition de la fonction composée racine carrée de 𝑔 de 𝑥 en déterminant les valeurs de 𝑥 qui vérifient l’inéquation 𝑔 de 𝑥 supérieur ou égal à zéro. Dans notre cas, 𝑔 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 moins un. Par conséquent, nous pouvons déterminer l’ensemble de définition de 𝑓 de 𝑥 en résolvant l’inéquation cinq 𝑥 moins un supérieur ou égal à zéro.
Pour déterminer 𝑥, nous additionnons un de chaque côté de l’inéquation. Puis nous divisons par cinq des deux côtés pour obtenir 𝑥 supérieur ou égal à un cinquième. Cela signifie que la fonction 𝑓 de 𝑥 est définie pour tout 𝑥 compris dans l’intervalle fermé à gauche et ouvert à droite de un cinquième à plus l’infini.
