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Un objet a une force de 10 newtons agissant sur lui horizontalement, une deuxième de 25 newtons agissant sur lui verticalement vers le haut, et une troisième de 5 newtons agissant sur lui à un angle de 45 ° par rapport à l'horizontale comme illustré par la figure. Quelle est l'intensité de la force résultante agissant sur l'objet, et à quel angle par rapport à l'horizontale agit-elle ? Donnez vos réponses arrondies au dixième près.
Commençons par appeler nos trois forces 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois. Remarquez comment je les ai notées comme des forces vectorielles car elles agissent dans deux sens. La première force, 𝐅 un, est de 10 newtons agissant dans le sens des 𝑥 positifs. On peut donc dire que son vecteur est 10𝐢. La deuxième force, 𝐅 deux, est de 25 newtons agissant dans le sens des 𝑦 positifs. Donc, cela donne 25𝐣. Mais qu’en est-il de 𝐅 trois ? Nous savons que sa valeur est cinq newtons et qu’elle agit suivant un angle de 45 degrés par rapport à l’horizontale. Nous allons décomposer cela en ses composantes horizontales et verticales. Remarquez que en dessinant ces deux droites, nous avons créé un triangle rectangle. Et il y a deux façons de trouver les longueurs des côtés manquants dans ce triangle. Nous pourrions utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle.
Alternativement, si nous remarquons que le troisième angle dans ce triangle est également de 45 degrés, nous voyons que nous avons un triangle isocèle. Et donc, nous savons que les longueurs des deux côtés les plus courts seront les mêmes. Et donc, nous utilisons le théorème de Pythagore pour trouver la valeur de 𝑥. Le théorème de Pythagore nous dit que la somme des carrés des deux plus petits côtés du triangle rectangle est égale au carré de l’hypoténuse. Donc, ici, 𝑥 carré plus 𝑥 carré est égal à cinq carrés. Cette équation se simplifie en deux 𝑥 au carré égal à 25, puis nous divisons tous les termes par deux. Donc, 𝑥 au carré est égal à 25 sur deux. En trouvant la racine carrée des deux côtés de notre équation, nous trouvons que 𝑥 est égal à cinq racine deux sur deux.
Notez que nous ne nous sommes pas inquiétés de prendre le plus racine carrée et le moins racine carrée de 25 sur deux. Pour le moment, nous considérons simplement cela comme les longueurs des côtés d’un triangle. Nous allons regarder leurs signes dans un instant. Et donc, nous avons trouvé les composantes horizontale et verticale de la troisième force. En fait, elles agissent toutes les deux dans le sens positif pour les composantes en 𝐢 et en 𝐣, respectivement. Ainsi, la troisième force est cinq racine deux sur deux 𝐢 plus cinq racine deux sur deux 𝐣.
Nous cherchons à trouver la norme de la force résultante agissant sur le corps. Et donc, nous rappelons que la force résultante est la somme vectorielle des trois forces. Donc, c’est 𝐅 un plus 𝐅 deux plus 𝐅 trois. Ici, c’est 10𝐢 plus 25𝐣 plus cinq racine deux sur deux 𝐢 plus cinq racine deux sur deux 𝐣. Nous rassemblons nos composantes horizontales et verticales. Et nous voyons que la force résultante est 10 plus cinq racine deux sur deux 𝐢 plus 25 plus cinq racine deux sur deux 𝐣.
Nous voulons trouver la norme. Maintenant, la norme d’un vecteur est simplement sa longueur. Libérons de l’espace et dessinons un schéma de la force résultante. En le décomposant en ses composantes horizontale et verticale, nous voyons que la norme de notre force peut être calculée en utilisant le théorème de Pythagore. C’est la racine carrée de 10 plus cinq racine deux sur deux au carré plus 25 plus cinq racine deux sur deux au carré. Cela nous donne 31,583 etcetera. Arrondi au dixième, c’est 31,6. Maintenant, nous travaillons en newtons, donc la magnitude de la résultante est de 31,6 newtons.
Nous n’avons pas tout à fait terminé, cependant. Nous voulons savoir quel angle cela fait avec l’horizontale. Appelons cela 𝜃. Cette fois, nous voyons que nous pouvons utiliser la trigonométrie dans un triangle rectangle pour calculer la valeur de 𝜃. Nous connaissons le côté opposé et le côté adjacent, donc nous allons utiliser la tangente. Tangente 𝜃 est égal à 25 plus cinq racine deux sur deux divisée par 10 plus cinq racine deux sur deux. C’est 2,108 etcetera. Nous trouvons la valeur de 𝜃 en prenant la réciproque de tangente ou l’arc tangente de cette valeur. C’est 64,62 etcetera, ce qui est, au dixième près, 64,6 degrés. Nous voyons sur notre schéma que c’est bien l’angle que la résultante fait avec l’horizontale. Et donc, nous avons terminé. La valeur de la force résultante est de 31,6 newtons. Et l’angle qu’elle fait avec l’horizontale est de 64,6 degrés.
