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Fiche explicative de la leçon : Résultante de forces coplanaires Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer la résultante d'un groupe de forces agissant sur un point.

Supposons que plusieurs forces agissent en un point, comme sur la figure ci-dessous.

On appelle la force nette exercée par la combinaison de toutes les forces la force résultante. Dans ce cas, il s’agit du vecteur 𝑅 ci-dessous.

Pour calculer la résultante d’un certain nombre de forces, nous pouvons additionner les forces par enchainement des vecteurs. C’est-à-dire que nous déplaçons le point de départ (l’origine) de 𝐹 jusqu’au point d’arrivée (ou l’extrémité) de 𝐹, on déplace l’origine de 𝐹 à l’extrémité de 𝐹, et ainsi de suite pour les forces que nous avons. Le résultat de ceci est montré ci-dessous.

On note que cela nous donne un polygone de forces où la force résultante est le côté formé en reliant le point de départ à l’extrémité de la dernière force, 𝐹.

Une autre façon de trouver la résultante est d’additionner les composantes perpendiculaires de chaque force. Supposons que nous ayons une force 𝐹 qui peut être décomposé en des composantes horizontales et verticales 𝐹 et 𝐹, et de même une force 𝐹 qui peut être décomposé en 𝐹 et 𝐹. Ensuite, nous pouvons déterminer la résultante de ces deux forces en additionnant les composantes, comme indiqué.

Les composantes perpendiculaires d’une force 𝐹 sont notées 𝐹 et 𝐹, comme indiqué sur la figure suivante.

L’intensité de 𝐹 est donnée par 𝐹=𝐹(𝜃)=𝐹(𝜙),cossin𝜃 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹, et 𝜙 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹.

La force 𝐹, la composante perpendiculaire à 𝐹, est donnée par 𝐹=𝐹(𝜃)=𝐹(𝜙).sincos

L’intensité de la résultante des composantes perpendiculaires d’une force est donnée par 𝐹=𝐹+𝐹.

Étudions un exemple de plusieurs forces agissant en un point.

Exemple 1: Déterminer l’intensité et la direction de la force résultante de trois forces agissant sur un corps

Un corps a une force de 10 newtons agissant sur lui horizontalement, 25 newtons en agissant verticalement vers le haut et une force de 5 newtons agissant sur lui à un angle de 45 par rapport à l’horizontale comme indiqué sur la figure. Quelle est l’intensité de la force résultante agissant sur le corps, et à quel angle agit-elle par rapport à l’horizontale?Donnez vos réponses au dixième près.

Réponse

La force de 5 newton force peut être décomposée en composantes perpendiculaires parallèles à l’axe des 𝑥 et à l’axe 𝑦 comme le montre la figure suivante.

La composante de la force résultante selon l’axe des 𝑥 est donnée par 𝐹=10+5(45)=10+522.cos

La composante de la force résultante selon l’axe des 𝑦 est donnée par 𝐹=25+5(45)=25+522.sin

Les forces 𝐹 et 𝐹 correspondent aux deux côtés les plus courts d’un triangle rectangle, comme indiqué sur la figure suivante.

La longueur de l’hypoténuse de ce triangle est égale à l’intensité de la force résultante, qui est, par conséquent, donnée par 𝐹=10+522+25+522𝐹=10+522+25+522.

On ne conserve que la racine positive de 𝐹, car l’intensité d’une force est toujours positive.

Au dixième près, elle est de 31,6 newtons.

L’angle 𝜃 par rapport l’horizontale selon lequel la force résultante agit peut être déterminé en utilisant l’équation tantan𝜃=𝐹𝐹𝜃=25+510+5.

On peut utiliser cette formule pour obtenir 𝜃:𝜃=25+510+5.arctan

Au dixième près, il est de 64,6.

Il n’y a pas de limite au nombre de forces qui peuvent agir en un point. Chaque force qui agit en un point peut être décomposée en composantes perpendiculaires. Étudions un exemple de six forces agissant en un point.

Exemple 2: Déterminer la résultante de six forces agissant sur un hexagone régulier en un point

La figure montre un hexagone régulier, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, dont les diagonales se coupent en un point 𝑀. Les 6 forces représentées agissant en 𝑀 sont mesurés en newtons. Déterminez 𝑅, l’intensité de leur résultante et 𝜃, l’angle entre la résultante et l’axe des 𝑥 positifs. Arrondissez la valeur de 𝜃 à la minute près si nécessaire.

Réponse

L’hexagone est constitué de 6 triangles équilatéraux, l’angle entre deux forces qui correspondent aux côtés de l’un de ces triangles est donc de 60.

En prenant les angles par rapport à l’axe des 𝑥 dans le sens des aiguilles d’une montre, la composante de la force résultante selon l’axe des 𝑥 est donnée par 𝐹=63+27(60)+44(120)65+29(240)+60(300)𝐹=63+2722265292+30=5.coscoscoscosN

Rappelant que coscos(90)=(270)=0, la composante de la force résultante selon l’axe des 𝑦 est donnée par 𝐹=60(30)+27(150)+44(210)+29(330)𝐹=603227324432+2932𝐹=(60+292744)32=1832=93.coscoscoscos

Les forces 𝐹 et 𝐹 correspondent aux deux côtés les plus courts d’un triangle rectangle. La longueur de l’hypoténuse de ce triangle est égale à l’intensité de la force résultante, qui est, par conséquent, donnée par 𝐹=(5)+93𝐹=25+243=268𝐹=268=22682=267.N

On ne conserve que la racine positive de 𝐹 car l’intensité d’une force est toujours positive.

L’angle 𝜃 par rapport à l’horizontale selon lequel la force résultante agit peut être déterminé avec l’équation 𝜃=935.arctan

À la minute près, il est de 7213.

Une force peut être exprimée en fonction de ses composantes perpendiculaires, chaque composante étant exprimée comme un multiple d’un vecteur unitaire dans une direction perpendiculaire à celle de l’autre composante. Étudions un exemple dans lequel nous devons déterminer la résultante de forces exprimées sous cette forme.

Exemple 3: Déterminer l’intensité et la direction de la résultante de trois forces agissant en un point

La résultante des forces 𝐹=4𝑖+2𝑗N, 𝐹=5𝑖7𝑗N et 𝐹=2𝑖+9𝑗N forme un angle 𝜃 avec l’axe des 𝑥 positifs. Déterminez 𝑅, l’intensité de la résultante et la valeur de tan𝜃.

Réponse

La composante de la résultante de 𝐹, 𝐹 et 𝐹 selon l’axe des 𝑥 est la somme des composantes en 𝑖 de ces forces, donnée par 𝐹=4+5+2=3.

La composante de la résultante de 𝐹, 𝐹 et 𝐹 selon l’axe des 𝑦 est la somme des composantes en 𝑗 de ces forces, donnée par 𝐹=27+9=4.

Les composantes additionnées pour obtenir 𝐹 et 𝐹 sont représentées par des vecteurs de force sur la figure suivante. La ligne issue de l’origine de 𝐹 à l’extrémité de 𝐹 est la résultante 𝑅 des composantes.

L’intensité de 𝑅 peut être déterminée en utilisant le théorème de Pythagore:𝑅=3+4=9+16=25𝑅=25=5.N

La tangente de l’angle 𝜃 par rapport à l’horizontale selon lequel la force résultante agit peut être déterminée à l’aide de la formule tan𝜃=𝐹𝐹=43.

Étudions maintenant un exemple dans lequel les angles selon lesquels les forces agissent ne sont pas directement donnés.

Exemple 4: Déterminer la résultante de quatre forces agissant en un point d’un triangle

𝐴𝐵𝐶 est un triangle avec un angle droit en 𝐵, 𝐴𝐵=32cm, 𝐵𝐶=24cm, 𝐷𝐴𝐶 et 𝐵𝐷=𝐷𝐶. Quatre forces d’intensités 2, 3, 19 et 14 newtons agissent en un point 𝐵 dans les sens de 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐴 et 𝐵𝐷 respectivement. Déterminez l’intensité de la résultante de ces forces.

Réponse

Il est utile de commencer par tracer 𝐴𝐵𝐶 pour déterminer ce que cela peut révéler sur les sens des forces de 19 N et 14 N. La figure suivante représente le triangle 𝐴𝐵𝐶.

La tangente de 𝜃 est donnée par tan𝜃=2432=34.

Dans le triangle 𝐴𝐵𝐶, on définit les longueurs des côtés opposé et adjacent à 𝜃 comme 3𝑙 et 4𝑙 respectivement, alors, l’hypoténuse de 𝐴𝐵𝐶 a une longueur donnée par =(3𝑙)+(4𝑙)=(25𝑙)=5𝑙.

On en déduit que sin𝜃=35 et cos𝜃=45.

Les directions selon lesquelles les forces agissent en 𝐵 sont représentées sur la figure suivante.

On voit que la composante de la force résultante dans la direction des 𝑥, en définissant 𝐴𝐵 comme le sens positif, est donnée par 𝐹=214𝜃19𝜃𝐹=233𝜃𝐹=23345=24,4.coscoscosN

La composante de la force résultante dans la direction des 𝑦, en définissant 𝐵𝐶 comme le sens positif, est donnée par 𝐹=3+14𝜃19𝜃𝐹=35𝜃𝐹=3535=33=0.sinsinsinN

L’intensité de la force résultante est égale à l’intensité de la composante dans la direction des 𝑥, soit 24,4 N.

Étudions maintenant un exemple dans lequel nous connaissons la résultante d’un ensemble de forces mais pas l’intensité de certaines des forces qui contribuent à la résultante.

Exemple 5: Déterminer les intensités de deux forces inconnues à partir d’un groupe de forces à partir d’un schéma des forces

Des forces d’intensités 𝐹, 16, 𝐾, 18 et 93newtons agissent en un point dans les directions indiquées sur le schéma. Leur résultante 𝑅 a une intensité de 20 N. Déterminez les valeurs de 𝐹 et 𝐾.

Réponse

L’angle entre l’horizontale et la force de 16 N est donnée par 9030=60.

La composante de la force résultante selon l’axe des 𝑥 est donnée par 𝐹=𝐹+16(60)18=𝐹+818=𝐹10.cos

La composante de la force résultante selon l’axe des 𝑦 est donnée par 𝐹=𝐾+16(60)93=𝐾+8393=𝐾3.sin

La résultante, 𝑅, a une intensité de 20 N. La résultante 𝑅 a une composante horizontale égale à 𝐹 et une composante verticale égale à 𝐹. On en déduit que 𝐹10=20(30)𝐹10=103𝐹=10+103.cos

On voit également que 𝐾3=20(30)𝐾3=10𝐾=10+3.sin

On peut confirmer que ces valeurs de 𝐹 et 𝐾 sont corrects en les substituant dans les expressions de 𝐹 et 𝐹:𝐹=10+10310=103,𝐹=10+33=10.

L’intensité de la résultante est donnée par 𝑅=𝐹+𝐹=103+10=100(3)+100=400=20,N qui est la valeur de 𝑅 indiqué dans la question.

Résumons ce que nous avons appris dans ces exemples.

Points clés

  • Plusieurs forces peuvent être ajoutées en additionnant leurs composantes perpendiculaires et en déterminant la résultante des composantes.
  • Si 𝐹 est l’une des composantes perpendiculaires d’une force 𝐹, l’intensité de 𝐹 est donnée par 𝐹=𝐹(𝜃),cos𝜃 est l’angle entre 𝐹 et 𝐹. La force 𝐹, la composante perpendiculaire à 𝐹, est donnée par 𝐹=𝐹(𝜃).sin
  • L’intensité de la résultante des composantes perpendiculaires d’une force est donnée par 𝐹=𝐹+𝐹.
  • Si une force 𝐹 est donnée sous la forme 𝐹=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘 et une force 𝐹 est donnée sous la forme 𝐹=𝑥𝑖+𝑦𝑗+𝑧𝑘, la résultante de ces forces est donnée par 𝐹+𝐹=(𝑥+𝑥)𝑖+(𝑦+𝑦)𝑗+(𝑧+𝑧)𝑘.

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