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Vidéo de la leçon : Résultante de forces coplanaires Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la résultante d’un groupe de forces agissant sur un point.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment déterminer la résultante d’un groupe de forces agissant sur un point.

Supposons que plusieurs forces agissent en un point, comme indiqué sur la figure. Nous appelons la force nette exercée par la combinaison de toutes les forces la force résultante. Dans ce cas, il s’agit du vecteur 𝐑. Pour calculer la résultante d’un nombre quelconque de forces, nous pouvons additionner les forces de sorte que chaque extrémité est enchainée à l’origine de la force suivante. C’est-à-dire que nous déplaçons le point de départ, ou l’origine, de 𝐅 deux au point d’arrivée, ou l’extrémité, de 𝐅 un. Nous déplaçons l’origine de 𝐅 trois à l’extrémité de 𝐅 deux, et ainsi de suite pour toutes les forces que nous avons. La force résultante est donnée par le vecteur issue du point de départ à l’extrémité de la force finale, 𝐅 trois. 𝐑 est la somme vectorielle des forces 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois.

Une autre façon de déterminer la résultante consiste à additionner les composantes perpendiculaires de chaque force. Supposons que nous ayons une force 𝐅 un qui peut être décomposée en composantes horizontale et verticale 𝐅 un 𝑥 et 𝐅 un 𝑦. De même, nous avons une force 𝐅 deux qui peut être décomposée en 𝐅 deux 𝑥 et 𝐅 deux 𝑦. Ensuite nous pouvons trouver la résultante de ces deux forces en additionnant les composants comme indiqué. 𝐑 est la somme vectorielle de 𝐅 un et 𝐅 deux. Et la composante horizontale de 𝐑, 𝐑 𝑥, est la somme des composantes horizontales 𝐅 un 𝑥 et 𝐅 deux 𝑥. La composante verticale de 𝐑, 𝐑 𝑦, est la somme des composantes verticales 𝐅 un 𝑦 et 𝐅 deux 𝑦.

La composante horizontale, 𝐅 𝑥, et la composante verticale, 𝐅 𝑦, d’une force 𝐅 peuvent être déterminées à partir de l’angle d’inclinaison de 𝐅. La composante horizontale 𝐅 𝑥 est donnée par l’intensité de la force 𝐅 multipliée par le cosinus de l’angle adjacent 𝜃 ou par le sinus de l’angle opposé 𝜑. La composante verticale 𝐅 est donnée par 𝐅 multiplié par sinus 𝜃 ou 𝐅 multiplié par cosinus 𝜑. L’intensité de la force 𝐅 est donnée par la racine carrée de la somme des carrés des composantes. De là, nous pouvons également déduire que la tangente de 𝜃 est égale à la composante verticale 𝐅 𝑦 sur la composante horizontale 𝐅 𝑥. Et il s’ensuit que 𝜃 est égal à la tangente réciproque de 𝐅 𝑦 sur 𝐅 𝑥.

Voyons maintenant un exemple qui inclut plusieurs forces agissant en un point.

Un corps a une force de 10 newtons agissant sur lui horizontalement, 25 newtons agissant sur lui verticalement vers le haut et cinq newtons agissant sur lui à un angle de 45 degrés par rapport à l’horizontale, comme indiqué sur la figure. Quelle est l’intensité de la seule force résultante agissant sur le corps, et à quel angle par rapport à l’horizontale agit-elle ? Donnez vos réponses au dixième près.

Pour commencer, la force de cinq newtons peut être décomposée en ses composantes horizontale et verticale. Nous pouvons ensuite ajouter ces composantes aux autres forces horizontales et verticales pour déterminer la force résultante. La composante horizontale est égale à l’intensité, cinq, multipliée par le cosinus de l’angle adjacent, 45 degrés. La composante verticale est égale à cinq multiplié par le sinus de l’angle adjacent, 45 degrés. En additionnant toutes les composantes horizontales, on obtient la composante horizontale de la force résultante, 𝐅 𝑥, égale à 10 plus cinq fois cosinus 45 degrés.

De même, la composante verticale de la force résultante, 𝐅 𝑦, est égale à 25 plus cinq fois sinus 45 degrés. Le cosinus de 45 degrés et le sinus de 45 degrés sont tous deux égaux à la racine carrée de deux sur deux. Ceux-ci deviennent donc 10 plus cinq fois la racine carrée de deux sur deux et 25 plus cinq fois la racine carrée de deux sur deux, respectivement.

Rappelons maintenant que l’intensité de toute force en deux dimensions est donnée par la valeur positive de la racine carrée de la somme du carré de ses composantes horizontale et verticale. L’angle d’inclinaison 𝜃 est donné par la tangente réciproque de la composante verticale, 𝐅 𝑦, sur la composante horizontale, 𝐅 𝑥. Par conséquent, l’intensité de la force résultante, 𝐅 𝑅, est donnée par la racine carrée de 10 plus cinq fois la racine carrée de deux sur deux au carré plus 25 plus cinq fois la racine carrée de deux sur deux au carré. En effectuant ce calcul, nous obtenons que l’intensité de la force résultante au dixième près est de 31,6 newtons.

L’angle d’inclinaison 𝜃 est égal à la tangente réciproque de 25 plus cinq fois la racine carrée de deux sur deux divisé par 10 plus cinq fois la racine carrée de deux sur deux. Effectuer ce calcul nous donne que l’angle que la force résultante forme avec l’horizontale est de 64,6 degrés au dixième près.

Notez qu’il n’y a pas de limite au nombre de forces qui peuvent agir en un point. Et les forces qui agissent en un point peuvent être décomposées en composantes perpendiculaires.

Voyons maintenant un exemple de six forces agissant en un point.

La figure montre un hexagone régulier, 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, dont les diagonales se coupent au point 𝑀. Les six forces représentées agissant en 𝑀 sont mesurées en newtons. Déterminez 𝑅, l’intensité de leur résultante, et 𝜃, l’angle entre leur résultante et l’axe des 𝑥 positifs. Arrondissez votre valeur de 𝜃 à la minute près si nécessaire.

L’hexagone régulier se compose de six triangles équilatéraux superposables, qui ont un angle interne de 60 degrés. Considérez la force agissant le long de 𝑀𝐹. La composante horizontale de la force sera donnée par l’intensité, 60 newtons, multipliée par le cosinus de l’angle que la force forme avec l’axe des 𝑥 positifs, 60 degrés. De même, la composante verticale de la force est égale à l’intensité, 60 newtons, multipliée par le sinus de l’angle que la force forme avec l’axe des 𝑥 positifs, 60 degrés.

Pour le reste des forces, la même formule va être appliquée, mais l’angle va changer. Les angles que les forces dans les directions de 𝐸, 𝐷, 𝐶, 𝐵 et 𝐴 forment avec l’axe des 𝑥 positifs sont chacun 60 degrés plus grands que le dernier : 120 degrés, 180 degrés, 240 degrés, 300 degrés et 360 degrés, respectivement.

Nous pouvons additionner ces composantes horizontales pour obtenir la composante horizontale de la force résultante, comme indiqué. Nous pouvons faire de même pour la composante verticale de la force, cette fois en prenant le sinus des angles avec l’axe des 𝑥 positifs, comme indiqué. Ces composantes trigonométriques donnent des valeurs assez simples, que nous pouvons substituer.

Nous effectuons maintenant une simplification sur la composante horizontale de la force 𝐅 𝑥. En effectuant ce calcul, nous trouvons que 𝐅 𝑥 est égal à cinq. Nous pouvons faire de même avec les composantes verticales, pour lesquelles les composantes trigonométriques sont également assez simples. Encore une fois, nous effectuons quelques étapes de simplification. Ici, nous constatons que nous pouvons prendre un facteur commun de la racine carrée de trois pour simplifier notre réponse. Nous constatons alors que 𝐅 𝑦 est égal à neuf fois la racine carrée de trois. Nous allons laisser cela sous forme de racine pour calculer la force résultante.

Maintenant que nous avons les composantes horizontales et verticales de la force résultante, nous pouvons trouver son intensité en prenant la valeur positive de la racine carrée de la somme du carré de chaque composante. Et nous pouvons trouver l’angle d’inclinaison de la force en prenant la tangente réciproque de la composante verticale sur la composante horizontale. Pour l’intensité de la force, cela nous donne la racine carrée de cinq au carré plus neuf fois la racine carrée de trois au carré. Cela se simplifie en deux fois la racine carrée de 63 newtons.

Pour l’angle d’inclinaison 𝜃, nous avons la tangente réciproque de neuf fois la racine carrée de trois sur cinq. Cela est égal à environ 72,21 degrés, ce qui, à la minute près, est égal à 72 degrés et 13 minutes.

Les forces peuvent également être exprimées en fonction de leurs composantes perpendiculaires. Dans un repère cartésien en 2D, cela se fait avec des multiples des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, qui agissent respectivement dans les directions 𝑥 et 𝑦.

Voyons maintenant un exemple de détermination de la résultante de plusieurs forces exprimées de cette manière.

La résultante des forces 𝐅 un est égale à moins quatre 𝐢 plus deux 𝐣 newtons, 𝐅 deux est égal à cinq 𝐢 moins sept 𝐣 newtons et 𝐅 trois est égal à deux 𝐢 plus neuf 𝐣 newtons forme un angle de 𝜃 avec l’axe des 𝑥 positifs. Déterminez 𝑅, l’intensité de la résultante, et trouvez la valeur de tangente 𝜃.

Commençons par une figure contenant les forces 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois agissant à partir d’un point. Nous pouvons déterminer les composantes horizontales et verticales de la résultante en additionnant les composantes horizontales et verticales de chaque force. Les composantes horizontales de 𝐅 un, 𝐅 deux et 𝐅 trois sont données par la question comme étant respectivement moins quatre, cinq et deux newtons. De même, les composantes verticales sont respectivement données par deux, moins sept et neuf newtons.

Par conséquent, la composante horizontale de la résultante, 𝑅 𝑥, est donnée par moins quatre plus cinq plus deux, ce qui est égal à trois newtons. De même, la composante verticale de la résultante, 𝑅 𝑦, est donnée par deux moins sept plus neuf, ce qui est égal à quatre newtons. Cela nous donne que la force résultante 𝑅 est égale à trois 𝐢 plus quatre 𝐣 newtons.

Nous pouvons voir une représentation visuelle de cela à l’échelle sur le schéma et noter que cela semble correct. L’intensité de la résultante 𝑅 est donnée par la racine carrée de la somme du carré des composantes horizontale et verticale, 𝑅 𝑥 et 𝑅 𝑦. Dans ce cas, nous avons la racine carrée de trois au carré plus quatre au carré. Cela se simplifie à la racine carrée de 25, ce qui est égal à cinq newtons.

La tangente de l’angle que la résultante forme avec l’axe des 𝑥 positifs est donnée par le rapport de la composante verticale, 𝑅 𝑦, sur la composante horizontale, 𝑅 𝑥. Dans ce cas, par conséquent, tangente 𝜃 est égal à quatre sur trois, soit quatre tiers.

Puisque nous avons les composantes précises de ces forces et que nous pouvons les tracer à l’échelle, nous pouvons également trouver la résultante en utilisant la méthode de l’enchainement des forces de l’origine d’une force vers l’extrémité de la suivante. Nous commençons par tracer 𝐅 un. Nous traçons ensuite 𝐅 deux à partir de l’extrémité de 𝐅 un. Enfin, nous traçons 𝐅 trois à partir de l’extrémité de 𝐅 deux.

La force résultante est donnée par le vecteur issue du point de départ initial à l’extrémité de la force finale, 𝐅 trois. Sur un schéma à l’échelle, nous pourrions mesurer les composantes 𝑥 et 𝑦 de 𝑅 pour obtenir la force résultante, ce qui est égal à trois 𝐢 plus quatre 𝐣 newtons. Nous remarquons que cela correspond à notre résultat précédent. Nous calculerions la norme de ce vecteur en utilisant exactement la même méthode que précédemment. Et nous trouverions que cela est égal à cinq newtons. De même, nous obtiendrions la même réponse pour tangente 𝜃, que nous calculerions en prenant le rapport de la composante verticale sur la composante horizontale. Et c’est quatre sur trois.

Terminons cette vidéo en récapitulant quelques points clés. Plusieurs forces peuvent être additionnées en additionnant les composantes perpendiculaires des forces et en déterminant la résultante de ces composantes. Si 𝐅 𝑥 est la composante horizontale d’une force 𝐅, l’intensité de 𝐅 𝑥 est donnée par l’intensité de 𝐅 multipliée par le cosinus de l’angle entre 𝐅 et 𝐅 𝑥. Nous appelons cet angle 𝜃.

De même, si 𝐅 𝑦 est la composante verticale de la force, qui est perpendiculaire à 𝐅 𝑥, elle est donnée par 𝐅 fois sinus 𝜃. L’intensité de la résultante des composantes perpendiculaires d’une force est donnée par 𝐅 égale racine carrée de 𝐅 𝑥 au carré plus 𝐅 𝑦 au carré. Si une force 𝐅 𝐴 est donnée par 𝑥 𝑎 fois 𝐢 plus 𝑦 𝑎 fois 𝐣 plus 𝑧 𝑎 fois 𝐤 et une force 𝐅 𝐵 est donnée par 𝑥 𝑏 fois 𝐢 plus 𝑦 𝑏 fois 𝐣 plus 𝑧 𝑏 fois 𝐤, la résultante de ces forces est donnée par 𝐅 𝐴 plus 𝐅 𝐵. Cela est égal à 𝑥 𝑎 plus 𝑥 𝑏 fois 𝐢 plus 𝑦 𝑎 plus 𝑦 𝑏 fois 𝐣 plus 𝑧 𝑎 plus 𝑧 𝑏 fois 𝐤.

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